Stationäre Verteilung... < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgende Aufgabenstellung:
Von gesunden Beschäftigten werden jeden Tag 2% krank, von den Kranken jeden Tag 20% gesund. Wo pendelt sich der Krankenstand ein? |
Es ist ja hier nach der stationären Verteilung gefragt. Wir haben hier den Ansatz 0,02*g = 0,2*(1-g) genommen und sind für g auf einen Wert von 10/11 gekommen (g = Gesund). Der Krankenstand pendelt sich also bei 1/11 ein. Mit meinem Taschenrechner habe ich das überprüft und das Ergebnis stimmt. Ich verstehe diesen Ansatz aber überhaupt nicht. Könnt Ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich würde diese Aufgabenstellung als Markovkette [mm] $X=(X_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit Zustandsraum [mm] $T=\{g,k\}$ [/mm] und Übergangsmatrix [mm] $P=(p_{ij})_{i,j\in T}$ [/mm] modellieren, wobei $g$ für "gesund" und $k$ für "krank" steht. Dann gilt für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$:
[mm] $p_{gg}=P(X_n=g|X_{n-1}=g)=0.98$
[/mm]
[mm] $p_{gk}=P(X_n=k|X_{n-1}=g)=0.02$
[/mm]
[mm] $p_{kg}=P(X_n=g|X_{n-1}=k)=0.2$
[/mm]
[mm] $p_{kk}=P(X_n=k|X_{n-1}=k)=0.8$
[/mm]
also [mm] $\displaystyle P=\pmat{ p_{gg} & p_{gk} \\ p_{kg} & p_{kk}}=\pmat{ 0.98 & 0.02 \\ 0.2 & 0.8}$.
[/mm]
Nun ist die stationäre Verteilung [mm] $\pi=(\pi_g,\pi_k)$ [/mm] von $X$ gesucht. Diese ist gegeben durch die Linkseigenvektoren der Matrix $P$ und die zusätzliche Bedingung [mm] $\pi_g+\pi_k=1$. [/mm] Die Linkseigenvektoren findest du durch Lösen des linearen Gleichungssytems [mm] $\pi P=\pi$.
[/mm]
Du erhältst dann genau die Lösungen [mm] $\pi_g=\frac{10}{11}$ [/mm] und [mm] $\pi_k=\frac{1}{11}$ [/mm] und beim Ausschreiben des obigen Gleichungssystems erhältst du auch genau deinen "Ansatz".
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