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| Aufgabe | Sei [mm] $U\sim U[0,2\pi]$ [/mm] (Gleichverteilung auf [mm] [0,2\pi]) [/mm] und $a [mm] \in \IR$. [/mm] Sei [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] eine [mm] 2\pi-periodische [/mm] Funktion.
Warum gilt [mm] $\IP^{f(U)} [/mm] = [mm] \IP^{f(U+a)}$ [/mm] ? |
Hallo!
Ich überlege gerade an einem Beweis der obigen Aussage.
Es geht darum, warum $f(U)$ und $f(U+a)$ die gleiche Verteilung haben.
Anschaulich ist das logisch, weil sowohl U als auch U+a eine Zufallsvariable beschreiben, die gleichverteilt auf einem Intervall der Länge [mm] 2\pi [/mm] sind.
Allerdings scheitere ich gerade an einem formalen Beweis. Es müsste eigentlich ganz einfach sein, aber ich sehe es gerade nicht :-( Kann mir da jemand helfen?
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mi 08.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> Sei [mm]U\sim U[0,2\pi][/mm] (Gleichverteilung auf [mm][0,2\pi])[/mm] und [mm]a \in \IR[/mm].
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] eine [mm]2\pi-periodische[/mm] Funktion.
>
> Warum gilt [mm]\IP^{f(U)} = \IP^{f(U+a)}[/mm] ?
> Hallo!
>
> Ich überlege gerade an einem Beweis der obigen Aussage.
> Es geht darum, warum [mm]f(U)[/mm] und [mm]f(U+a)[/mm] die gleiche
> Verteilung haben.
>
> Anschaulich ist das logisch, weil sowohl U als auch U+a
> eine Zufallsvariable beschreiben, die gleichverteilt auf
> einem Intervall der Länge [mm]2\pi[/mm] sind.
... und da $f$ [mm] $2\pi$-periodisch [/mm] ist :)
> Allerdings scheitere ich gerade an einem formalen Beweis.
> Es müsste eigentlich ganz einfach sein, aber ich sehe es
> gerade nicht :-( Kann mir da jemand helfen?
Du musst doch zeigen, dass [mm] $\IP(U \in f^{-1}(V)) [/mm] = [mm] \IP(U \in f^{-1}(V) [/mm] - a)$ ist fuer jede Teilmenge $V [mm] \subseteq \IR$. [/mm] Wenn du $V' := [mm] f^{-1}(V)$ [/mm] setzt, ist dies aequivalent zu [mm] $\IP(U \in [/mm] V') = [mm] \IP(U \in [/mm] V' - a)$ fuer jede [mm] $2\pi$-periodische [/mm] Menge $V'$ (bedeutet: aus $x [mm] \in [/mm] V'$ folgt $x + k 2 [mm] \pi \in [/mm] V'$ fuer alle $k [mm] \in \IZ$).
[/mm]
Schreibe jetzt $a = 2 [mm] \pi [/mm] k + b$ mit $0 [mm] \le [/mm] b < 2 [mm] \pi$ [/mm] und $k [mm] \in \IZ$. [/mm] (Dies geht auf genau eine Art und Weise.) Dann ist $V' - a = V' - 2 [mm] \pi [/mm] k - b = V' - b$. Weiterhin ist [mm] $\IP(U \in [/mm] V') = [mm] \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} 1_{V'}(t) \; [/mm] dt$ und [mm] $\IP(U \in [/mm] V' - b) = [mm] \IP(U [/mm] + b [mm] \in [/mm] V') [mm] \frac{1}{2\pi} \int_b^{2\pi+b} 1_{V'}(t) \; [/mm] dt$.
Teile das zweitere Integral nun in die Teile [mm] $\int_b^{2 \pi}$ [/mm] und [mm] $\int_{2 \pi}^{2 \pi + b}$ [/mm] auf und verwende, dass $V'$ [mm] $2\pi$-periodisch [/mm] ist. Dann siehst du, dass das zweite Integral gleich dem ersten ist.
LG Felix
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Danke Felix,
ich denke damit bekomme ich es hin :)
Stefan
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