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Forum "mathematische Statistik" - Statistik Grundlagen
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Statistik Grundlagen: Ein paar Fragen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 So 30.06.2013
Autor: starki

Aufgabe
Aus einer Grundgesamtheit mit Mittelwert [mm] \mu [/mm] und Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] werden 5 unabhängige Ziehungen durchgeführt, die Zufallsvariablen [mm] X_1, [/mm] ..., [mm] X_5. [/mm] Es werden die folgenden Schätzstatistiken betrachtet:

[mm] H_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}(X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] X_3) [/mm]

[mm] H_2 [/mm] = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm]

[mm] H_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{8} [/mm] ( [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] X_3 [/mm] + [mm] X_4) [/mm] + [mm] \frac{1}{2}X_5 [/mm]

Welche dieser Schätzfunktionen sind erwartungstreu für [mm] \mu? [/mm] Erläutern Sie, warum der Mittelwert (der fünf Ziehungen) als Schätzfunktion, den angegebenen Schätzern vorzuziehen ist?

Also ich hab erst einmal nur eine kleine Frage:

Verstehe ich das richtig, dass ich also folgendes berechnen muss?

[mm] E(H_1) [/mm]
[mm] E(H_2) [/mm]
[mm] E(H_3) [/mm]

und dann überprüfe, welche dieser drei Erwartungswerte am nähesten zum Mittelwert [mm] \mu [/mm] ist?
        
Bezug
Statistik Grundlagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 So 30.06.2013
Autor: luis52

Moin, Erwartungstreue bedeutet, dass gilt [mm] $E(H_j)=\mu$. [/mm]

vg Luis
Bezug
                
Bezug
Statistik Grundlagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 So 30.06.2013
Autor: starki

Das ging jetzt aber schnell :) Also ich habe mal gerechnet und bin auf folgendes gekommen:

Ich gehe jetzt hier mal davon aus, dass E(X) = [mm] \mu. [/mm] Kann ich das einfach so machen?

[mm] E(H_1) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}E[X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] X_3] [/mm] =
= [mm] \frac{1}{3} [/mm] [ [mm] E(X_1) [/mm] + [mm] E(X_2) [/mm] + [mm] E(X_3) [/mm] ] = [mm] \frac{1}{3} [/mm] * 3 * [mm] \mu [/mm] = [mm] \mu [/mm]

[mm] E(H_2) [/mm] = [mm] E(X_1) [/mm] + [mm] E(X_2) [/mm] = [mm] \mu [/mm] + [mm] \mu [/mm] = [mm] 2\mu [/mm]

[mm] E(H_3) [/mm] = [mm] \frac{1}{8} E[X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + [mm] X_3 [/mm] + [mm] X_4] [/mm] + [mm] \frac{1}{2}[X_5] [/mm] =
[mm] \frac{1}{8} [/mm] * 4 * [mm] \mu [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \mu [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \mu [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Statistik Grundlagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 So 30.06.2013
Autor: luis52


> Das ging jetzt aber schnell :) Also ich habe mal gerechnet
> und bin auf folgendes gekommen:
>  
> Ich gehe jetzt hier mal davon aus, dass E(X) = [mm]\mu.[/mm] Kann
> ich das einfach so machen?
>  

Ja.

> [mm]E(H_1)[/mm] = [mm]\frac{1}{3}E[X_1[/mm] + [mm]X_2[/mm] + [mm]X_3][/mm] =
>  = [mm]\frac{1}{3}[/mm] [ [mm]E(X_1)[/mm] + [mm]E(X_2)[/mm] + [mm]E(X_3)[/mm] ] = [mm]\frac{1}{3}[/mm] *
> 3 * [mm]\mu[/mm] = [mm]\mu[/mm]

[ok]

>  
> [mm]E(H_2)[/mm] = [mm]E(X_1)[/mm] + [mm]E(X_2)[/mm] = [mm]\mu[/mm] + [mm]\mu[/mm] = [mm]2\mu[/mm]

[ok]

>  
> [mm]E(H_3)[/mm] = [mm]\frac{1}{8} E[X_1[/mm] + [mm]X_2[/mm] + [mm]X_3[/mm] + [mm]X_4][/mm] +
> [mm]\frac{1}{2}[X_5][/mm] =
> [mm]\frac{1}{8}[/mm] * 4 * [mm]\mu[/mm] + [mm]\frac{1}{2} \mu[/mm] = [mm]\frac{1}{4} \mu[/mm]  

[notok] [mm] 4\mu/8+\mu/2=\mu$ [/mm]
Bezug
                                
Bezug
Statistik Grundlagen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 So 30.06.2013
Autor: starki

Ups ... hab n doofen Rechenfehler gehabt ... -_-

Aber danke für die Antwort :)
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