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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Do 13.12.2012 | | Autor: | Trick21 |
| Aufgabe | An einer Autobahnbaustelle wird die Stauentwicklung im Berufsverkehr untersucht. Aus den an einem bestimmten Tag erhobenen Messdaten wird die momentane Änderungsrate der Staulänge (stark vereinfacht) durch die Funktion f mit der Gleichung
f(t)= [mm] 3/4t^3 -9/2t^2 [/mm] +6t, [mm] 0\le [/mm] t [mm] \ge [/mm] 4,
modelliert (t in Stunden, f(t) in Kilometern pro Stunde). Um 06.00Uhr (t=0) beginnen sich die Fahrzeuge zu stauen. Der Graph von f ist in "Abbildung 1" dargestellt.
a) Berechnen Sie die Nullstellen von f und erklären Sie die Bedeutung positiver und negativer Funktionswerte von f im Sachzusammenhang
b) Bestimmen Sie rechnerisch die Zeitpunkte, zu denen die Staulänge am schnellsten zunimmt bzw. abnimmt.
c)
1. Begründen Sie, warum die Funktion F mit der Gleichung F(t)= [mm] 3/16t^4 -3/2t^3 [/mm] + [mm] 3t^2, [/mm] 0 le t ge 4, die Staulänge zum Zeitpunkt t beschreibt.
2. Berechnen Sie die Staulänge für 6.30Uhr.
3. Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 6.30Uhr bis 7.00Uhr zunimmt, und geben Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge an.
4. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge ihr Maximum erreicht, und berechnen Sie diese maximale Staulänge. |
Hallo liebe Community,
ich habe mich mal an der Mathematik Abiturprüfung Grundkurs 2010 gewagt und würde mich nun riesig freuen, wenn Jemand von euch die Zeit hätte mir ein Paar Korrekturhinweise oder generelle Tipps zu geben, falls es etwas zu bemängeln gäbe. Ich habe selber ein sehr gutes Gefühl was meine Lösungen angeht, bin da aber noch nicht so ganz sicher mit der Materie, weil das alles mehr oder weniger neu für mich ist.
Im folgenden nun meine Lösungsvorschläge:
a) f(t) = 0, t1= 4, t2= 2, t3= 0
Der Graph f(t) gibt die momentane Änderungsrate der Staulänge an. Man kann an dem Graphen für einen Zeitpunkt von 06:00 - 10:00 Uhr die momentane Änderung der Stauentwicklung in km/h ablesen. Die positiven Werte veranschaulichen dabei einen Stau-Zuwachs und negativen Werte eine Stau-Abnahme in km/h.
b) Hierzu müsste man entweder die "Hochleitung" von f(t) bilden oder die Extrema von f(t) berechnen. Ich habe mich für letzteres entschieden.
f'(t) = [mm] 9/4t^2 [/mm] -9t +6, f'(t) = 0, t1= 3,1547, t2= 0,8453
Zeitpunkt der größten Zunahme: 0,8453 * 60 = 50min, also: 06:50 Uhr
Zeitpunkt der größten Abnahme: 3,1547 * 60 =189,282min, also: 09:09 Uhr
(Auf dem Arbeitsblatt ist der Graphen eingezeichnet, dort kann man Maxima und Minima ablesen)
c)
1. f(t) veranschaulicht ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, wenn man es "hochleiten" würde, erhielte man das daraus resultierende Weg-Zeit-Diagramm. Zur Kontrolle leiten wir F(t) ab und kontrollieren ob es mit der Funktion f(t) übereinstimmt.
2. t-Wert für 06:30 Uhr = 0,5, F(0,5) = 0,574km
3. F(1) - F(0,5) = 1,1135km. Durchschnittliche Änderungsrate mit Hilfe des Differenzenquotienten gebildet.. (0,5 / 0,574), (1 / 1,6875)
= 2,227km/h
4. Am Graphen können wir die Nullstellen 0,2 und 4 ablesen. durch VZW-Kriterium habe ich raus gefunden, dass bei t=2 ein Hochpunkt vorhanden ist. Das heißt um 08:00 Uhr hat die Staulänge ihr Maximum von 3km erreicht F(2) = 3
Ich bin für jede Anregung und Korrektur dankbar!.
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!.
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Do 13.12.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> An einer Autobahnbaustelle wird die Stauentwicklung im
> Berufsverkehr untersucht. Aus den an einem bestimmten Tag
> erhobenen Messdaten wird die momentane Änderungsrate der
> Staulänge (stark vereinfacht) durch die Funktion f mit der
> Gleichung
>
> f(t)= [mm]3/4t^3 -9/2t^2[/mm] +6t, [mm]0\le[/mm] t [mm]\ge[/mm] 4,
>
> modelliert (t in Stunden, f(t) in Kilometern pro Stunde).
> Um 06.00Uhr (t=0) beginnen sich die Fahrzeuge zu stauen.
> Der Graph von f ist in "Abbildung 1" dargestellt.
>
> a) Berechnen Sie die Nullstellen von f und erklären Sie
> die Bedeutung positiver und negativer Funktionswerte von f
> im Sachzusammenhang
>
> b) Bestimmen Sie rechnerisch die Zeitpunkte, zu denen die
> Staulänge am schnellsten zunimmt bzw. abnimmt.
>
> c)
>
> 1. Begründen Sie, warum die Funktion F mit der Gleichung
> F(t)= [mm]3/16t^4 -3/2t^3[/mm] + [mm]3t^2,[/mm] 0 le t ge 4, die Staulänge
> zum Zeitpunkt t beschreibt.
>
> 2. Berechnen Sie die Staulänge für 6.30Uhr.
>
> 3. Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 6.30Uhr
> bis 7.00Uhr zunimmt, und geben Sie für diesen Zeitraum die
> durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge an.
>
> 4. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge ihr
> Maximum erreicht, und berechnen Sie diese maximale
> Staulänge.
> Hallo liebe Community,
> ich habe mich mal an der Mathematik Abiturprüfung
> Grundkurs 2010 gewagt und würde mich nun riesig freuen,
> wenn Jemand von euch die Zeit hätte mir ein Paar
> Korrekturhinweise oder generelle Tipps zu geben, falls es
> etwas zu bemängeln gäbe. Ich habe selber ein sehr gutes
> Gefühl was meine Lösungen angeht, bin da aber noch nicht
> so ganz sicher mit der Materie, weil das alles mehr oder
> weniger neu für mich ist.
>
> Im folgenden nun meine Lösungsvorschläge:
>
> a) f(t) = 0, t1= 4, t2= 2, t3= 0
>
> Der Graph f(t) gibt die momentane Änderungsrate der
> Staulänge an. Man kann an dem Graphen für einen Zeitpunkt
> von 06:00 - 10:00 Uhr die momentane Änderung der
> Stauentwicklung in km/h ablesen. Die positiven Werte
> veranschaulichen dabei einen Stau-Zuwachs und negativen
> Werte eine Stau-Abnahme in km/h.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Hierzu müsste man entweder die "Hochleitung" von f(t)
Oh mein Gott ![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]") . Die Bezeichnungen für die Stammfunktion bzw. das Integral werden ja immer schlimmer. Sagt Dein Lehrer etwa auch 'Hochleitung', oder 'Aufleitung'?
> bilden oder die Extrema von f(t) berechnen. Ich habe mich
> für letzteres entschieden.
> f'(t) = [mm]9/4t^2[/mm] -9t +6, f'(t) = 0, t1= 3,1547, t2= 0,8453
>
> Zeitpunkt der größten Zunahme: 0,8453 * 60 = 50min, also:
> 06:50 Uhr
> Zeitpunkt der größten Abnahme: 3,1547 * 60 =189,282min,
> also: 09:09 Uhr
> (Auf dem Arbeitsblatt ist der Graphen eingezeichnet, dort
> kann man Maxima und Minima ablesen)
>
> c)
>
> 1. f(t) veranschaulicht ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm,
> wenn man es "hochleiten" integrieren würde, erhielte man das daraus
> resultierende Weg-Zeit-Diagramm. Zur Kontrolle leiten wir
> F(t) ab und kontrollieren ob es mit der Funktion f(t)
> übereinstimmt.
Von dem grässlichen Wort abgesehen stimmt das.
>
> 2. t-Wert für 06:30 Uhr = 0,5, F(0,5) = 0,574km
>
> 3. F(1) - F(0,5) = 1,1135km. Durchschnittliche
> Änderungsrate mit Hilfe des Differenzenquotienten
> gebildet.. (0,5 / 0,574), (1 / 1,6875)
> = 2,227km/h
>
> 4. Am Graphen können wir die Nullstellen 0,2 und 4
> ablesen. durch VZW-Kriterium habe ich raus gefunden, dass
> bei t=2 ein Hochpunkt vorhanden ist. Das heißt um 08:00
> Uhr hat die Staulänge ihr Maximum von 3km erreicht F(2) =
> 3
>
>
> Ich bin für jede Anregung und Korrektur dankbar!.
>
> Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!.
>
> Mit freundlichen Grüßen
Sieht also ganz gut aus.
Gruß,
notinX
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