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| Aufgabe | Mit folgender Aufgabe einer Klassenarbeit hatte ich so meine Probleme (Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt):
Zwei existierende gerade Straßenstücke ( [mm] g_1(x)=x,x\le-1 [/mm] und
[mm] g_2(x)=-1,x\ge1 [/mm] ) sollen durch ein neues Straßenstück miteinander verbunden werden. An den Anschlussstellen sollen weder Knicke noch Krümmungssprünge auftreten.
a) Begründen Sie, weshalb keine Knicke oder Krümmungssprünge an den Übergangsstellen auftreten sollen.
b) Modellieren Sie unter Verwendung des Gauß-Algorithmusses (verbindlich!) eine ganzrationale Funktion möglichst geringen Gerades, die alle Bedingungen erfüllt.
Anleitung für b):
i) Überlegen Sie zunächst, ob die gesuchte Funktion Symmetrien aufweist.
ii) Stellen Sie die Bedingungen auf.
iii) Schreiben Sie die allgemeine Funktionsvorschrift auf, die sich nach der Anzahl der Bedingungen ergibt, auf.
iv) Falls Sie beim Aufschreiben des linearen Gleichungssystems unnötige Gleichungen weglassen, so begründen Sie dies kurz.
v) Schreiben Sie Ihre Bedingungen in mathemathischer Kurzschreibweise auf, schreiben die Gleichungen in Matrixschreibweise auf und ermitteln Lösungen mih Hilfe des Gaußalgorithmus. |
Ich hatte erhebliche Probleme beim Aufstellen der geforderten Gleichungen und Bedingungen...Hier meine zur Berichtigung angefertigte Rechnung:
a) Mir fiel nur ein, dass die Funktion monoton und stetig sein muss, da die "Straße" durchgehend befahren werden muss.
b)
i)Die beiden Geraden [mm] g_1(x) [/mm] und [mm] g_2(x) [/mm] sowie deren gesuchte Verbindungslinie haben jeweils gleiche Werte für x und -x, d.h es gilt f(x)=f(-x). Damit besteht eine Symmetrie zur y-Achse.
ii) Ich fand folgende Bedingungen:
f(-1)=-1 Punkt der Geraden und der gesuchten Parabel [-1,-1]
f(1)=-1 Punkt der Geraden und der gesuchten Parabel [1,-1]
f'(1)=-1 Steigung der Geraden [mm] g_1(x) [/mm] und des Parabelgraphen im Punkt [-1,-1]
f'(-1)=1 Steigung der Geraden [mm] g_2(x) [/mm] und des Parabelgraphen im Punkt [-1,-1]
f(0)=0 Punkt des gesuchten Parabelgraphen durch den Ursprung [0,0]
iii) Bei der allgemeinen Funktionsvorschrift berücksichtigte ich gleich die Achsensymmetrie f(x)=f(-x), also dürfte es keine ungeraden Exponenten geben:
Ich nahm die Funktion 5.Grades [mm] f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f [/mm] und ließ die ungeraden Exponenten weg, es blieb:
[mm] f(x)=bx^4+dx^2+f.
[/mm]
Gleichzeitig bestimmte ich schon mal die 1. und 2.Ableitung der allgemeinen Funktionsvorschrift:
[mm] f'(x)=4bx^3+2dx
[/mm]
[mm] f''(x)=12bx^2+2d
[/mm]
iv) nun setzte ich die Bedingungen in die Gleichungen ein und bekam die linearen Gleichungen:
[mm] f(0)=0=b*0^4+d*0^2+f \Rightarrow [/mm] f=0
f(-1)=-1=b+d
f'(-1)=1=-4b-2d
f(1) und f'(-1) können wegen der Symmetrie weggelassen werden. Weshalb ich f'(0) weglassen konnte, kann ich nicht angeben.
v) Ich hatte nun 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten:
I) b+d=-1 und
II: -4b-2d=1
Ich schrieb diese Gleichungen nun als Matrix für die Berechnung mittels Gauß-Algorithmus:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 1 } [/mm] ^{*2 -}
-----------------------------------------------------
[mm] \vmat{ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & -1 } [/mm] _{:-2}
-----------------------------------------------------
[mm] \vmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -\bruch{1}{2} }_{*(-1)+}
[/mm]
-----------------------------------------------------
[mm] \vmat{ 0 & 1 & -\bruch{3}{2} \\ 1 & 0 & -\bruch{1}{2} }
[/mm]
Lösung: [mm] b=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] d=-\bruch{3}{2}.
[/mm]
Die gesuchte Funktionsvorschrift muesste also lauten: [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^4-\bruch{3}{2}x^2.
[/mm]
Habe ich es so richtig gemacht, oder gibt es Ergänzungen bzw. Berichtigungen ?
Schorsch
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Hallo Schorsch,
das sieht nicht gut aus. Fährst Du Auto? Hast Du Dir mal die beiden Geraden und Deine Verbindungsfunktion angeschaut? Ich möchte da nicht fahren, vor allem nicht bei x=1.
> Mit folgender Aufgabe einer Klassenarbeit hatte ich so
> meine Probleme (Ich habe diese Frage in keinem anderen
> Internetforum gestellt):
>
> Zwei existierende gerade Straßenstücke ( [mm]g_1(x)=x,x\le-1[/mm] und
> [mm]g_2(x)=-1,x\ge1[/mm] ) sollen durch ein neues Straßenstück
> miteinander verbunden werden. An den Anschlussstellen
> sollen weder Knicke noch Krümmungssprünge auftreten.
Gesucht ist f(x) für -1<x<1.
> a) Begründen Sie, weshalb keine Knicke oder
> Krümmungssprünge an den Übergangsstellen auftreten sollen.
> [...]
> Ich hatte erhebliche Probleme beim Aufstellen der
> geforderten Gleichungen und Bedingungen...:
>
> a) Mir fiel nur ein, dass die Funktion monoton und stetig
> sein muss, da die "Straße" durchgehend befahren werden
> muss.
Das stimmt nicht. Monotonie ist schon deswegen nicht zu fordern, weil ja die Funktionswerte [mm] g_1(-1)=g_2(1)=-1 [/mm] sind. Die beiden Punkte wären monoton ja nur durch den Sonderfall einer konstanten Funktion zu verbinden, also durch Fortsetzung von [mm] g_2(x). [/mm] Streng monoton wäre gar keine Verbindung möglich.
Natürlich muss die Straße verbunden sein, also muss f(x) die geforderten Randwerte haben und im Definitionsbereich stetig sein.
Die Straße darf keinen Knick haben, weil sonst eine plötzliche Änderung der Bewegungsrichtung nötig wäre. Das geht schon aufgrund der Massenträgheit für ein bewegtes Fahrzeug nicht. Man müsste also am Knick anhalten, das stehende Fahrzeug entsprechend drehen, und dann weiterfahren.
Mathematisch heißt das: f(x) muss stetig differenzierbar sein und an den Rändern des Definitionsbereiches genau die gleiche Ableitung haben wie die dann fortsetzenden Funktionen [mm] g_1 [/mm] bzw. [mm] g_2.
[/mm]
Krümmungssprünge dürfen nicht auftreten, weil man sonst die Lenkeinrichtung (Lenker bei Zweirädern, Lenkrad bei Autos) unstetig, nämlich sprunghaft, bewegen müsste. Es besteht ein direkter Zusammenhang zwischen Krümmungsradius und Lenkeinschlag, welcher auch immer. Das muss hier nicht geklärt werden.
Mathematisch aber ist klar: auch f''(x) muss stetig sein und an den Rändern des Definitionsbereiches genau den gleichen Wert haben wie die zweiten Ableitungen der beiden fortsetzenden Funktionen [mm] g_1 [/mm] bzw. [mm] g_2.
[/mm]
Noch zwei Vorüberlegungen:
1) Ganz bildlich gesprochen komme ich in einem gewissen Tempo die schräge Gerade heraufgefahren. Die Straßenführung muss mich nach rechts bringen (ich schlage das Lenkrad also rechts ein). Ab x=1 muss ich das Lenkrad aber wieder gerade haben. Also muss dem Rechtseinschlag ein Linkseinschlag folgen; die gesuchte Funktion hat im Definitionsbereich einen Wendepunkt.
2) Es gibt unendlich viele Wege zwischen den Abbruchpunkten der beiden Geraden. Zeichne Dir mal ein paar davon auf, dann siehst Du vielleicht klarer.
Weitere Randbedingungen sind ja nicht gegeben, so dass es eher Sportsgeist ist, eine möglichst einfache Funktion f(x) zu finden, die vielleicht auch noch möglichst kleine Werte von f''(x) einnimmt. Bildlich: eine Verbindung, die man mit möglichst hohem Tempo durchfahren kann.
Schließlich noch ein Tipp: (2*editiert)
Ein Polynom dritten Grades in x wird womöglich reichen. Da Du sechs Bedingungen hast, solltest Du aber (wie bisher auch schon) ein Polynom fünften Grades ansetzen. Es muss keineswegs symmetrisch sein! Du kannst auch ganz andere Ansätze nehmen, je nachdem was Du lieber rechnest: [mm] f(x)=a*e^{bx}+c*\sin{(dx+e)}+h [/mm] ist genauso legitim, oder vielleicht [mm] f(x)=a*\ln(bx+c)+d*\wurzel{ex+h}. [/mm]
Nebenbei ist [mm] g_1 [/mm] punktsymmetrisch zu jedem Punkt (p,p), [mm] g_2 [/mm] aber achsensymmetrisch zu jeder Achse x=q. (/2*editiert)
...und eine Mitteilung:
Bauingenieure verwenden für solche Problemstellungen im Straßenbau ![[]](/images/popup.gif) Klothoiden. Das wäre hier mathematisch zu kompliziert.
Ach, und die schlechte Nachricht: Deine Rechnung ist zwar ganz ok, geht aber eben von falschen Voraussetzungen aus. Du wirst noch einmal von vorn anfangen müssen. Tut mir leid.
Liebe Grüße,
reverend
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Danke für die Ausführungen, Reverend !
Diese Aufgabe ist wirklich fürchterlich, vor allem, wenn man sich vorstellt, die Strecke mit dem Auto tatsächlich fahren zu müssen.
Zuvor wurden im Unterricht mal gerade 2 Modellieraufgaben geübt und in der Klassenarbeit dann gleich sowas !
Schorsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 So 18.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Georg,
das ist in der Tat ein bisschen viel verlangt. In der Pädagogik heißt das "Transfererwartung", aber diese ist recht hoch aufgehängt.
Wenn Du eine neue Lösung hast (auch unvollständig), kannst Du sie natürlich gerne einstellen.
Viel Erfolg!
reverend
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Werde diese Aufgabe nochmals aufgreifen...Habe inzwischen verstanden, wie das mit den Krümmungssprüngen bearbeitet werden kann. Die 1. und 2.Ableitungen der beiden Geraden und der gesuchten Funktion müssen übereinstimmen. Wie dies auch reverend gesagt hat. 1. Ableitung die Steigungen in den Verbindungspunkten müssen gleich sein und die 2.Ableitung an den Verbindungspunkten muss gleich Null sein, damit keine Sprünge da sind !
Die Einsicht kam mir erst beim Bearbeiten einer ähnlichen Aufgabe (gekrümmte Rampe vor und hinter Eisenbahnbrücke).
Stelle meine neue Antwort dann demnächst hier ein !
Schorsch
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| Aufgabe | Zwei existierende gerade Straßenstücke ( g1(x)=x, x [mm] \le [/mm] -1 und g2(x) = -x, [mm] x\ge [/mm] 1 ) sollen durch ein neues Straßenstück miteinander verbunden werden. An den Anschlussstellen sollen weder Knicke noch Krümmungssprünge auftreten.
a) Begründen Sie, weshalb keine Knicke oder Krümmungssprünge an den Übergangsstellen auftreten sollen.
b) Modellieren Sie unter Verwendung des Gauß-Algorithmusses (verbindlich!) eine ganzrationale Funktion möglichst geringen Gerades, die alle Bedingungen erfüllt.
Anleitung für b):
i) Überlegen Sie zunächst, ob die gesuchte Funktion Symmetrien aufweist.
ii) Stellen Sie die Bedingungen auf.
iii) Schreiben Sie die allgemeine Funktionsvorschrift auf, die sich nach der Anzahl der Bedingungen ergibt, auf.
iv) Falls Sie beim Aufschreiben des linearen Gleichungssystems unnötige Gleichungen weglassen, so begründen Sie dies kurz.
v) Schreiben Sie Ihre Bedingungen in mathemathischer Kurzschreibweise auf, schreiben die Gleichungen in Matrixschreibweise auf und ermitteln Lösungen mih Hilfe des Gaußalgorithmus. |
Ich war die Aufgabe mit unvollständigen bzw. falschen bedingungen angegangen. Siehe hierzu die Antworten und die Mitteilung von reverend.
Grund war u.a., dass ich die Fragestellung bezüglich der Knicke und Krümmungssprünge nicht verstanden hatte.
zu a) Wie reverend schon erläutert hatte, sollte man eine Funktion finden, um an den Anschlussstellen möglichst zügig weiterfahren zu können.
Ich habe die Aufgabe nun so verstanden, dass man eine möglichst einfache Funktion suchen soll, um die Kurve in möglichst hoher Geschwindigkeit durchfahren zu können. Dafür müssen die 1. und 2.Ableitung der Geradenfunktionen und der gesuchten Funktion f übereinstimmen . Vor allem muss die 2.Ableitung jeweils gleich Null sein.
zu b) Man sollte eine ganzrationale Funktion möglichst kleinen Gerades modellieren, die alle Bedingungen erfüllt.
Es gibt wie reverend sagte, viele Möglichkeiten einer Verbindungsfunktion.
Eine ganzrationale Funktion 3.Grades, die möglichst auch noch symmetrisch sein soll, legte ich schnell beiseite, da dann nur die quadratische Potenz übrigbliebe und die 2.Ableitung nicht wie gefordert gleich Null wäre:
aus [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
würde [mm] f(x)=bx^2+d [/mm] (wegen der Symmetrie nur gerade Potenzen von x)
f'(x)=2bx
f''(x)=2b und damit [mm] \not=0
[/mm]
Nun nahm ich (wie bei meinem ersten falschen Lösungsversuch) die ganzrationale Funktion 5.Gerades:
[mm] f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
[/mm]
zu i) Die gesuchte Funktion müsste wie die beiden vorhandenen Geradenstücke von g1 und g2 symmetrisch zur y-Achse sein. Es müsste also gelten f(x)=f(-x) (wie bei den Endpunkten von g1 und g2 , den Punkten P (-1 | -1) und Q (1 | -1) !) Um Symmetrisch zu sein, dürfen bei dieser Funktion keine ungeraden Potenzen von x auftauchen.
[mm] f(x)=bx^4+dx^2+f
[/mm]
[mm] f'(x)=4bx^3+2dx
[/mm]
[mm] f''(x)=12bx^2+2d
[/mm]
zu ii)
folgende Bedingungen müssen zutreffen:
Für die Werte von P:
I: f(-1)=-1=b+d+f
II: f'(-1)=1=-4b-2d
III: f''(-1)=0=12b+2d
IV: f(1)=-1=b+d+f
V: f'(1)=-1=4b+2d
VI= f''(1)=0=12b+2d
zu iii)
Die allgemeine Funktionsvorschrift heißt dann:
[mm] f(x)=bx^4+dx^2+f
[/mm]
zu iv)
Die Bedingungen IV bis VI, die nach Einsetzen der Werte von Q, vorliegen, stimmen mit den Bedingungen I bis III überein.
Sie können also weggelassen werden.
Es bleiben 3 Bedingungen eines linearen Gleichungssystems mit den Variablen b, d und f übrig:
zu v)
Die Gleichungen aus I, II und III nur mit den Variablen heißen:
b + d + f = -1
-4b - 2d + 0f = 1 und
12b +2d + 0f = 0
für die Berechnung durch Gauß-Algorithmus nun als Matrix:
1 1 1 : -1
-4 -2 0 : 1 |
12 2 0 : 0 | +
____________
1 1 1 : -1
-4 -2 0 : 1 | :-2
8 0 0 : 1 | :8
_____________
1 1 1 : 1
2 1 0 : [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] | -
1 0 0 : [mm] \bruch{1}{8} [/mm] | *2
____________
1 1 1 : -1 | -
0 -1 0 : [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] | *-1 |
1 0 0 : [mm] \bruch{1}{8} [/mm] |
____________
0 -1 -1 : [mm] -\bruch{9}{8} [/mm] | *-1 |
0 1 0 : [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] | -
1 0 0 : [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
____________
0 0 -1 : [mm] \bruch{3}{8} [/mm] | *-1
0 1 0 : [mm] -\bruch{3}{4}
[/mm]
1 0 0 : [mm] \bruch{1}{8} [/mm]
____________
0 0 1 : [mm] -\bruch{3}{8}
[/mm]
0 1 0 : [mm] -\bruch{3}{4}
[/mm]
1 0 0 : [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
_________________________
somit ist [mm] b=\bruch{1}{8} [/mm] ; [mm] d=-\bruch{3}{4} [/mm] und [mm] f=-\bruch{3}{8}
[/mm]
Die gesuchte Funktionsvorschrift lautet also:
f(x)= [mm] \bruch{1}{8}x^4-\bruch{3}{4}x^2-\bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}x^3-\bruch{3}{2}x
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{3}{2}x^2-\bruch{3}{2}
[/mm]
Wie man sieht, stimmen die 1.Ableitungen (Steigungen) in P und Q sowie die 2.Ableitungen für P und Q ! sowhl für f als auch fur die Geraden sind die 2.Ableitungen gleich Null !
Habe ich die Aufgabe nun richtig angepackt ? Die Graphen der Geraden und von f(x) sehen schon mal ganz gut aus.
Mit der Bitte um Tipps ! Anm.: Ich wusste nicht, wie man bei den Matrixen Pfeile reinschreibt, auch die Matrixen sind schlecht aufgestellt...
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Ich kann keinen Fehler entdecken, das sieht sehr gut aus! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Was für Pfeile meinst Du?
\Rightarrow ergibt [mm]\Rightarrow[/mm]
\rightarrow ergibt [mm]\rightarrow[/mm]
\gdw ergibt [mm]\gdw[/mm]
\vmat{ 1 & 2 & | & 5 \\ 3 & 4 & | & 6 } ergibt [mm]\vmat{ 1 & 2 & | & 5 \\ 3 & 4 & | & 6 }[/mm]
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | ich meine die senkrechten Pfeile beim Gaußalgorithmus mit den Operatoren +, - für die entsprechenden Gleichungen |
Loddar, danke für den Tipp mit den Matrixen. Ich habe früher in der Schule mal mit Determinaten gerechnet...ist schon lange her...
Mit Matrixen habe ich so gut wie keine Erfahrung...muss mich auch mal mit den Vektoren beschäftigen...
Schorsch
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