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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 3, deren Graph durch die angegebenen Punkte geht.
A(1;0)
B(0;2)
C(-2;2) |
Ich habe jetzt eine Matrix aufgestellt und diese in meinen GTR eingegeben, dabei habe ich auch eine Lösung erhalten. Leider ist diese falsch, da die "richtige" Lösung nur mit Parametern und ohne Zahlen sein soll:
Das ist diese Lösung:
f(x) = [mm] ax^3+(a-(2/3))x^2-(2a+(4/3))x+2
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Mi 24.01.2018 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 3,
> deren Graph durch die angegebenen Punkte geht.
> A(1;0)
> B(0;2)
> C(-2;2)
> Ich habe jetzt eine Matrix aufgestellt
Zeig mal diese Matrix !
> und diese in meinen
> GTR eingegeben, dabei habe ich auch eine Lösung erhalten.
> Leider ist diese falsch, da die "richtige" Lösung nur mit
> Parametern und ohne Zahlen sein soll:
> Das ist diese Lösung:
> f(x) = [mm]ax^3+(a-(2/3))x^2-(2a+(4/3))x+2[/mm]
Die gesuchte Funktion hat die Form [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
[/mm]
Also 4 Unbekannte ! Du hast aber nur 3 Punkte A,B und C. Damit ist das resultierende LGS nicht eindeutig lösbar. Es bleibt also ein freier Parameter, in obigem Resultat also a.
Fazit: für jedes a geht der Graph von [mm] f_a(x) [/mm] = [mm]ax^3+(a-(2/3))x^2-(2a+(4/3))x+2[/mm] durch die Punkte A,B,C.
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Ich habe festgestellt, dass meine Matrix falsch war, da ich von 4 Bedingungen ausgegangen bin, es aber nur 3 sind.
Jetzt fehlt mir ehrlich gesagt die Idee wie ich weitermachen könnte. Parameter kann ich ja nicht in den GTR eingeben ?!
vielen Dank
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Hallo,
> Ich habe festgestellt, dass meine Matrix falsch war, da ich
> von 4 Bedingungen ausgegangen bin, es aber nur 3 sind.
> Jetzt fehlt mir ehrlich gesagt die Idee wie ich
> weitermachen könnte. Parameter kann ich ja nicht in den
> GTR eingeben ?!
Das ist auch keine Aufgabe für den GTR. Hier geht es darum, durch Einsetzen der gegebenen Punkte ('Bedingungen') folgendes LGS aufzustellen:
[mm]\begin{aligned}
I.\ \ \ f(1)=0\ &\gdw\ a+b+c+d&=0\\
II.\ \ f(0)=2\ &\gdw\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d&=2\\
III.\ f(-2)=2\ &\gdw\ -8a+4b-2c+d&=2
\end{aligned}[/mm]
Und das soll jetzt in Abhängigkeit des Parameters a gelöst werden, von Hand natürlich (das ist ja in der Schule heutzutage der Sinn solcher Aufgaben).
Gruß, Diophant
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Hallo, ich habe jetzt die Bedingungen so vereinfacht, dass ich diese 2 Gleichungen erhalte:
a+b+c=-2
-8a+4b-2c=0
Ich verstehe jetzt nur nicht, was es heißt, in Abhängigkeit von a ermitteln.
Danke
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Hallo,
> Hallo, ich habe jetzt die Bedingungen so vereinfacht, dass
> ich diese 2 Gleichungen erhalte:
> a+b+c=-2
> -8a+4b-2c=0
>
> Ich verstehe jetzt nur nicht, was es heißt, in
> Abhängigkeit von a ermitteln.
Bringe a auf die rechte Seite und betrachte es als bekannt. Jetzt hast du ein 2x2-LGS für die Unbekannten b und c.
Gruß, Diophant
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Hallo,
ich habe jetzt nach a umgestellt:
a= 0,5b-0,25c
a= -2-b-c
Anschließend habe ich versucht, b und c rauszubekommen, allerdings drehe ich mich da im Kreis.
Mit welcher Methode muss ich das LGS lösen?
Danke
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Hallo,
> ich habe jetzt nach a umgestellt:
>
> a= 0,5b-0,25c
> a= -2-b-c
>
Das habe ich dir aber nicht geraten, und es ist auch völlig nutzlos.
> Anschließend habe ich versucht, b und c rauszubekommen,
> allerdings drehe ich mich da im Kreis.
> Mit welcher Methode muss ich das LGS lösen?
Dein LGS heißt:
[mm]\begin{aligned}
b+c&=-2-a\\
4b-2c&=8a
\end{aligned}[/mm]
Man muss ein LGS nicht mit einer bestimmten Methode lösen. Aber sicherlich wird man hier das Additionsverfahren wählen. Multipliziere etwa die erste Gleichung mit 2 und addiere anschließend.
EDIT: Vorzeichenfehler berichtigt.
Beachte, dass deine Lösungen von a abhängen. Das bedeutet, dass sie den Parameter a enthalten werden.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mi 24.01.2018 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Diophant, kleiner Vorzeichenfehler
(1) b+c=-2-a
(2) 4b-2c=8a
somit Gleichung (1) mit 2 multiplizieren
Gruß Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Mi 24.01.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo Steffi21,
> Hallo Diophant, kleiner Vorzeichenfehler
>
> (1) b+c=-2-a
> (2) 4b-2c=8a
>
> somit Gleichung (1) mit 2 multiplizieren
danke für den Hinweis: ich habe es oben ausgebessert.
Gruß, Diophant
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