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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 10.09.2006 | | Autor: | essence |
| Aufgabe | Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades so, dass für den Graphen gilt:
O(0/0) ist Wendepunkt, ander Stelle [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{2} [/mm] liegt ein relativer Hochpunkt vor, P(1/2) ist Punkt des Graphen. |
Also ich versteh Mathe irgendwie überhaupt nicht.
Deswegen bitte ich euch die Aufgabe zu berechnen, damit ich mich mit dem Rechenweg auseinandersetzen kann (ausführlich).
Das wär voll lieb, da ich am Mittwoch Mathe-Klausur schreiben muss und ich im Moment ziemlich verzweifelt bin!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 So 10.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ok also:
Funktion 3. Grades heißt, dass der höchste Exponent von einem x die 3 ist. Das heißt, dass x³, x², x und eine Konstante in dieser Funktion vorkommen KÖNNEN. Aber am Anfang geht man immer davon aus, also lautet deine Funktion bis jetzt:
f(x)=y=ax³+bx²+cx+d.
Damit hast du schon mal die 1. Information "verbraten".
Nun zur nächsten:
O(0|0) soll Wendepunkt sein.
Über den Wendepunkt weißt du ja, dass er existiert, wenn die 2. Ableitung einer Funktion 0 ist (und die 3. ungleich 0).
Also f''(x)=0 muss gelten.
Und deine Funktion soll ja bei x=0 einen Wendepunkt haben.
Also kannst du deine Funktion erst 2.mal ableiten. Stehen bleibt dadurch f''(x)=6ax+2b.
Und da diese 2. Ableitung bei x=0 gleich 0 sein muss, gilt also:
f''(0)=0=6a*0+2b=2b
[mm] \Rightarrow [/mm] Damit fällt b schonmal weg, da offensichtlich b=0 ist.
Außerdem weiß man aus O(0|0), dass der Punkt auch auf dem Grafen liegt! Das ist die 2. Information aus dem Wendepunkt.
Also gilt:
f(0)=0=a*0³+c*0+d
[mm] \Rightarrow [/mm] d=0
b habe ich jetzt weggelassen, da es sowieso 0 ist.
Und d ist auch 0.
Also ist aus deine Anfangsfunktion f(x)=y=ax³+bx²+cx+d
schonmal f(x)=y=ax³+cx geworden.
Nächste Info: An der Stelle [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] soll ein relativer Hochpunkt vorliegen (dass es ein Hochpunkt ist, interessiert eigentlich nicht weiter).
Hierbei ist wichtig, dass für ein Extrempunkt (egal ob Hoch- oder Tiefpunkt)
gilt: f'(x)=0. Die 1. Ableitung deiner Funktion muss an der Stelle [mm] x=\bruch{1}{2}\wurzel{2} [/mm] also gleich 0 sein.
Wenn du den kläglichen Rest ( ;)) deiner Funktion also ableitest erhälst du:
f'(x)=3ax²+c.
Und da [mm] f'(\bruch{1}{2}\wurzel{2})=0 [/mm] gilt erhälst du:
[mm] f'(\bruch{1}{2}\wurzel{2})=0=3a(\bruch{1}{2}*\wurzel{2})²+c
[/mm]
[mm] =3a(\bruch{1}{4}*2)+c
[/mm]
=1,5a+c
1,5a+c=0 gilt also.
Nun zur letzten Info:
P(1|2) liegt auf dem Grafen von f.
Also gilt hier: f(1)=2.
f(x)=ax³+cx
f(1)=2=a*1³+c*1=a+c
Jetzt hast du also 2 Variablen übrig, aber auch 2 Gleichungen mit genau diesen beiden!
1,5a+c=0
und
a+c=2.
Das rechnest du dann einfach aus und schreibst deine Funktion nochmal komplett hin!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 10.09.2006 | | Autor: | essence |
Schonmal vielen Dank für die schnelle Antwort, hat mir echt geholfen, aber könntest du die Rechnung von a + c nochmal aufschreiben? Ich hab irgenwie keine Ahnung wie ich das machen soll :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 10.09.2006 | | Autor: | Teufel |
1,5a+c=0
a+c=2
Das ist nur wie ein Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen. Das was mach auch immer anwenden muss, wenn man rechnerisch den Schnittpunkt von 2 Geraden ermitteln will.
(I) 1,5a+c=0
(II)a+c=2
---------------------
(I)' c=-1,5a
(I)' in (II) -> a+(-1,5a)=2
[mm] \gdw [/mm] -0,5a=2
[mm] \gdw [/mm] a=-4.
Wenn du nun a=-4 in (II) für a einsetzt:
-4+c=2
[mm] \gdw [/mm] c=6
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 10.09.2006 | | Autor: | essence |
danke :)
Ich bin nun trotzdem verwirrt, da ich die Lösung zu dieser Aufgabe von meinem Lehrer bekommen habe.
a= - 4
c= 6
ist ja fast dasselbe aber irgendwie komisch^^ und was ist nun richtig?^^ also deine Lösung kann ich voll nachvollziehen.
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Hallo,
a ist in der Tat -4, da 2 geteilt durch -0,5 nicht -2, sondern -4 ist. :)
[mm] \Rightarrow [/mm] c=6
Grüße,
Stefan.
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Die Funktionsgleichung lautet dann:
[mm] f:f(x)=-4x^3+6x
[/mm]
Tschö,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 So 10.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Oh ja, klar, seit neustem ist ja 2*(-2) doch -4 und nicht -2 ;) ja klar, -4 und 6 sind richtig. Habe mich halt nur etwas verrechnet zum Schluss!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Di 12.09.2006 | | Autor: | essence |
Also viele Dank für die Lösung hat mir echt geholfen, aber trotzdem bereiten mirsolche Aufgaben Probleme.
Ich weiss nicht welchen Punkt oder Wedepunkt in welche Ableitung setzen muss....undmit welcher Ableitung ich welche Variablen berechnen muss.... :(
Kann mir das nochmal jmd erklären.
Morgen steht Mathe-Klausur an und ich kann rein gar nix!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Di 12.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo nochmal!
Ich nehme mal eine Aufgabe aus einem Buch von mir:
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit dem Tiefpunkt T(1|-2), deren Wendepunkt im Korrdinatenursprung liegt.
1. Überlegung: "3. Grades" heißt, dass unsere Funktion höchstens ein x³ beinhaltet.
Also sieht unsere Funktion so aus:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
Da die Funktion 4 Variablen beinhaltet müssen wir versuchen 4 Gleichungen aufzustellen um die gesucht Gleichung genau zu bestimmen.
2. Der Tiefpunkt bei T(1|-2) gibt uns 2 Informationen:
2.1. Der Tiefpunkt T liegt auf dem Grafen drauf.
Also kann man sagen, dass der Funktionswert an der Stelle x=-2 gleich 1 sein muss.
Formelhaft also: [mm]f(-2)=1=a*3³+b*3²+c*3+d=27a+9b+3c+d[/mm]
2.2. Wenn an der Stelle x=1 ein Tiefpunkt sein soll, dann muss die 1. Ableitung der Funktion ja an der Stelle x=1 0 sein!
Also leitet man erstmal die Anfangsgleichung ab.
[mm]f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c[/mm]
Und wie wir gesagt haben muss f(1)=0 sein, wegen dem Tiefpunkt bei T(1|-2).
Eingesetzt also:
[mm]f(1)=0=3a*(1)²+2b*(1)+c=3a+2b+c[/mm]
3. Der Wendepunkt gibt uns auch 2 Informationen.
3.1. Da er bei O(0|0) liegt ist also auch dieser Punk O Punkt der Grafen, den wir suchen.
Es gilt hier: [mm]f(0)=0=a*0³+b*0²+c*0+d=d[/mm]
Hier fällt d wieder weg.
3.2. Wenn ein Wendepunkt vorliegt bei einer Gleichung, dann ist die 2. Ableitung dieser Gleichung gleich 0.
Also bilden wir erst einmal f''(x).
[mm]f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b[/mm]
Wenn x=0 ist liegt ein Wendepunkt vor. Das heißt, wenn x=0 ist, ist f''(x)=0 (denn deshalb ist ja da ein Wendepunkt)
[mm]f''(0)=0=6a*0+2b=2b[/mm]
So, nun haben wir alle Informationen genutzt und haben 4 Gleichungen für die 4 Variablen aufgestellt!
27a+9b+3c+d=1
3a+2b+c=0
d=0
2b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] b=0
Nunja, die letzten beiden Gleichungen machen uns dieses Gleichungssystem zum leichten Opfer ;)
Wichtig ist also nur noch:
27a+9b+3c+d=1
3a+2b+c=0
Und da b und d=0 sind...
27a+3c=1
3a+c=0
Und dann müsstest du a unc c mit dem Gleichungssystem herausfinden und in deine Ausgangsgleichung f(x)=ax³+bx²+cx+d einsetzen.
Wichtig ist nur, dass man folgenden immer berücksichtigt:
In der Aufgabe steht...
...a ist Nullstelle der Funktion [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=0
...E(a|b) ist Extremstelle des Grafen (Hochpunkt oder Tiefpunkt) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(a)=0 UND f(a)=b
W(a|b) ist Wendepunkt des Grafen [mm] \Rightarrow [/mm] f''(a)=0 UND f(a)=b
...S(a|b) ist Sattelpunkt des Grafen [mm] \Rightarrow [/mm] f'(a)=0 UND f''(a)=0 UND f(a)=b
Das sind so die Sachen die eigentlich immer vorkommen, nur dass manchmal
Hochpunkt durch Maximum umschrieben wird etc.
Hoffe das konnte dir helfen, wenn du willst kann ich dir noch eine Aufgabe geben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 12.09.2006 | | Autor: | essence |
Warum wird beim Tiefpunkt -2 als x eingesetzt, wenn doch nach dem TP(1/-2) x=1 ist ???
1.Ableitung der Funktion ja an der Stelle x=-2 0 sein!
Versteh ich nicht^^ woher weiss ich dass da 0 rauskommt?
wie bist du darauf gekommen? Kann das grad nicht zurückverfolgen :/
Kannst du mir auch noch mal sagen, wenn ich jetzt nen EP oder WP angegeben habe, in welche Ableitung ich das setzen muss oder so? oh man ist das kompliziert^^
Und wie erstelle ich am besten immer die 4 Gleichungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Di 12.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Ups, sorry ;) ja klar, der x-Wert von T ist ja 1. Ich ändere das noch.
Naja also, ein Extrempunkt liegt ja vor, wenn f'(x)=0 ist. Und wenn ein Extrempunkt z.B. bei 3 liegen soll muss die Ableitung an der Stelle 3 0 sein. Also f'(3)=0.
Dass f'(x)=0 ist, ist ja Voraussetzung, dass da überhaupt ein Extrempunkt ist.
Das selbe gilt für Wende-/Sattelpunkte! (f''(x)=0/f'(x)=0 und f''(x)=0)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 12.09.2006 | | Autor: | essence |
und wie komm ich auf die 4 gleichungen? xD
gibts nicht irgendwie ne anleitung wie man das genau machen muss^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 12.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja die 4 kommen ja alle schon in meinem langen text einmal vor :) unten sind sie nur nochmal zusammengefasst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Di 12.09.2006 | | Autor: | essence |
Ich verstehs einfach nicht :´( Die 6 ist vorprogrammiert -.-
Ich versuche die ganze Zeit schon meine Aufgabe selbstständig zu berechnen, aber ich benutz immer die falschen Funktionen -.-
Ich weiss nicht, wenn ich zB b= 2a -4 hab, in welche Funktion ich b dann einsetzen muss, um zB a auszurechnen, ich seh da voll keinen Sinn drin^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Di 12.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Achso, also du kannst die Bedingungen finden, aber nicht die Gleichungssysteme zum Schluss lösen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 12.09.2006 | | Autor: | essence |
Also ich kann halt die angegebenen Punkte in die Formen setzen, halt mit den Ableitungen und so....
und wenn ich dann halt anfangen muss, eine variable zu berechnen, weiss ich nicht, welche Ableitung ich am besten nehmen kann.Nehm ich die falsche kommt ja auch was falsches raus, wie ich schon die ganze zeit feststellen muss^^
Und ich weiss dann auch halt nicht was bei der Ableitung dann für x und y eingesetzt werden muss, wenn ich halt mehrere Punkte hab
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Di 12.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Ich weiß grad nicht genau was du meinst... aber kannst du mir ma zeigen wir du das lösen würdest?
Eine Funktion 2. Grades hat einen Tiefpunkt bei T(-4|4) und geht durch den Punkt P(0|52).
Bitte schreib alles hin und sag dann, was dir Probleme macht! Wir kriegen das schon noch hin ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 12.09.2006 | | Autor: | essence |
Also hier mein Versuch^^ der aber bestimmt falsch ist :/
I f(0)=52
II f(-4)=4
III f(-4)=0
f' (-4)= 2a [mm] \ddots [/mm] (-4)+b=4
= -8a+b=4
b=4+8a
[mm] ax^{2} [/mm] +bx
[mm] a\ddots [/mm] -4+(4+8a) [mm] \ddots [/mm] -4 =0
-4a -16+8a=0 /+16
4a=16 /:4
a=4
b=4+8 [mm] \ddots [/mm] 4
b=4+32
b=36
sooo^^ , aber irgendwie hab ich den Punkt (0/52) verwendet :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Di 12.09.2006 | | Autor: | Teufel |
> Also hier mein Versuch^^ der aber bestimmt falsch ist :/
>
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> I f(0)=52
> II f(-4)=4
> III f(-4)=0
Hier müsste III f'(-4)=0 sein... vielleicht hast du dich aber nur vertippt.
>
>
> f' (-4)= 2a [mm]\ddots[/mm] (-4)+b=4
> = -8a+b=4
> b=4+8a
>
>
> [mm]ax^{2}[/mm] +bx
> [mm]a\ddots[/mm] -4+(4+8a) [mm]\ddots[/mm] -4 =0
> -4a -16+8a=0 /+16
> 4a=16 /:4
> a=4
>
>
> b=4+8 [mm]\ddots[/mm] 4
> b=4+32
> b=36
>
>
> sooo^^ , aber irgendwie hab ich den Punkt (0/52) verwendet
> :(
>
Hier seh ich nicht mehr ganz so durch...
Besser wäre, wenn du das f(0)=52 z.B. nicht einfach so stehen lässt.
f(x)=ax²+bx+c sollte das 1. sein was du dazustehen hast!
Erstmal ganz einfach anfangen.
Danach setzt du den Punkt P ein (zumindest würde ich so anfangen):
f(0)=52=a*0²+b*0+c
52=c
Und schon hättest du nur noch 2 Variablen im Rest der Rechnung!
So, der Tiefpunkt T(-4|4) liegt auf dem Grafen drauf. Also muss f(-4)=4 gelten, richtig.
Und f(-4)=a*(-4)²+b*(-4)+52 (da du c ja schon ausgerechnet hast)
Also gilt insgesamt: f(-4)=4=a*(-4)²+b*(-4)+52
4=16a-4b+52
Und dann gilt noch f'(-4)=0, da an der Stelle x=-4 die 1. Ableitung des Grafen 0 ist (also ein Extrempunkt vorliegt).
f'(-4)=0 gilt hier also.
Allgemein erstmal: f'(x)=2ax+b
Und f'(-4) ist dann: 2a*(-4)+b=-8a+b
Und da das ja 0 sein soll...
-8a+b=0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 12.09.2006 | | Autor: | essence |
oh nein und ich hatte das erst so berechnet, das c=52 ist xDDD
Kam mir abr irgendwie komisch vor^^......hast du vielleicht noch so ne Aufgabe die ich versuchen könnte?Aber keine schwere bitte^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Di 12.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Jaja, man sollte sich nicht von extrem hohen zahlen abschrecken lassen :P naja, die war selbst ausgedacht, also ich glaub nicht, dass dir sowas öfter über den Weg läuft...
Ok also:
Eine ganzrationale Funktion 2. Grades hat einen Extrempunkt bei E(2|-2) und schneidet die y-Achse bei 6.
Und nicht vergessen erstmal mit f(x)=ax²+bx+c zu starten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Di 12.09.2006 | | Autor: | essence |
a=1
b=-6
c=6
Sag bitte dass das richtig ist^^Also ich find die Ergebnisse super^^
f (x) [mm] =ax^{2}+bx+c
[/mm]
f'(x)=2ax+b
f''(x)=2a
I f(0) =6
II f(2)=-2
[mm] a*0^{2}+b*0+c=6
[/mm]
c=6
f'(2)=2a*2+b=-2
=4a+b=-2
b=-2-4a
f(2)= [mm] ax^{2}+bx+c
[/mm]
[mm] =a*2^{2}+(-2-4a)*2+6=-2
[/mm]
=4a+(-4-8a)+6=-2
=-4a-4+6=-2
=-4a =-4 /:-4
=a=1
f'(2)=2*1*2+b=-2
=4+b=-2
=b= -6
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Di 12.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo! Muss dich leider enttäuschen. Eigentlich stimmt alles außer die Sache mit dem f'(2). Extrempunkt bei x=2 heißt ja: f'(2)=0, und nicht -2! Aber c ist richtig :)
Aber der Rest ist ok!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 12.09.2006 | | Autor: | essence |
hey^^ aber du meintest der Extrempunkt wär bei (2/-2) ^^
ach verdammt, wegen der 1.ableitung wird das = 0 ne? xDDDD
Aber ich fand meine ergebnisse schön :)
Naja, aber für so nen Schmarn dürfte ich ja eigentl trotzdem ein paar punkte in der klausur kriegen oder?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 12.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Jo, bestimmt mit Folgefehlern etc... aber ruh dich nicht darauf aus! Denk nur dann, dass, wenn es heißt "Extrempunkt bei E(5|2)" dass das f'(5)=0 sein muss!
Und bei Wendepunkt muss f''(x)=0 sein!
Nur wenn du die Punkte direkt einsetzt brauchst du den y-Wert.
Wenn es um Extrem-/Wendestellen geht ist es immer 0! Merk dir das!
Aber du musst auch wissen, dass es Ausnahmen gibt.
Also, die Ableitungsfunktion f'(x) zeigt dir ja nichts weiter als den Anstieg von f(x) an der Stelle x.
Deshalb muss das bei einem Extrempunkt von f(x) auch f'(x)=0 sei, da der Anstieg beim Wendepunkt 0 ist. Bei einem Tiefpunkt z.B. fällt der Anstieg zuerst, wird dann 0 am tiefsten Punkt, und steigt wieder.
Und manchmal heißt es, dass f(x) and der Stelle 4 die Steigung 3 hat.
Dann müsstest du f'(4)=3 benutzen! Das steht dann aber meist genau da.
Aber ansonsten, wie gesagt, komtm meistens 0 vor wenn es um Extrempunkte geht, oder auch Wendepunkte.
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