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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Do 31.08.2006 | | Autor: | Knaubi |
Hallo leute kann mir jemand vielleicht weiter helfen, ich weiss nicht was ich noch machen muss.
Aufgabe:
Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt O (0/0) mit der x-Achse als Wendetangente und den Tiefpunkt A (-1/-2) hat.
Ich bin jetzt soweit, dass ich die erste und die zweite Ableitung bestimmt habe [mm] f´(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d
[/mm]
[mm] f´´(x)=12ax^2+6bx+2c
[/mm]
die erste bedingung lautet bei mir
[mm] \Rightarrow [/mm] f(0)=0 wegen Wendepunkt O (0/0)
zweite Tiefpunkt A(-1/-2)
f (-1)=-2 [mm] \Rightarrow [/mm] f´´(-1)=0
Die notwendige Bedingung für Wendestellen ist f´´(x)=0
kann mir jetzt jemand weiter helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also, die Bedingungen für die Wendestelle sind richtig, nämlich
1.) [mm]f(0)=0[/mm] und
2.) [mm]f''(0)=0[/mm]
Die für den Tiefpunkt sind nur halb-richtig. Der Punkt an sich liefert die dritte Bedingung
3.) [mm]f(-1)=-2[/mm].
Die notwendige Bedingung für Extrempunkte lautet aber [mm]f'(x)=0[/mm] und damit hier konkret - und bei dir nicht richtig -
4.) [mm]f'(-1)=0[/mm]
Die fünfte Bedingung kannst du aufgrund der Formulierung "mit der x-Achse als Wendetangente" herauslösen. Die Steigung der Wendetangente ist immer die 1. Ableitung. Da hier die x-Achse die Wendetangente ist, ist die Steigung 0. Damit ergibt sich die fünfte Bedingung:
5.) [mm]f'(0)=0[/mm]
Wenn du das in die Ausgangsfunktion [mm]f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/mm] bzw. in die zugehörigen Ableitungen einsetzt, ergibt sich für c, d und e praktischerweise direkt 0, der Rest ist eigentlich nicht so schwer. Falls du damit noch Probleme hast, melde dich noch mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Do 31.08.2006 | | Autor: | Knaubi |
Alsodie fünf Bedingungen lauten bei mir so
[mm] \Rightarrow [/mm] f(0)=0 [mm] a*0^4+b*0^3+c*0^2+d*0+e=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f´´(0)=0 [mm] 12a*0^2+6b*0+2*c=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(-1)= -2 hier bekomme ich irgent wie eins raus
[mm] \Rightarrow [/mm] f´(-1)=0 hier ist es auch null
[mm] \Rightarrow [/mm] f´(0)=0> hab ich auch null ich habe es genau so gerechnet wie bei den anderen
kann mir jemand sagen ob es richtig ist und mir weiter helfen wie ich fortfahren soll
und ich habe noch ne frage wenn da z.b. stehet f(-1)=-2 muss da diese -2 als ergebniss rauskommen oder kann auch was anderes das ergebniss sein?
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> Alsodie fünf Bedingungen lauten bei mir so
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(0)=0 [mm]a*0^4+b*0^3+c*0^2+d*0+e=0[/mm]
Richtig! Und damit ist automatisch [mm]e=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f´´(0)=0 [mm]12a*0^2+6b*0+2*c=2[/mm]
Nicht richtig! Es muss heißen: [mm]12a*0^2+6b*0+2*c=0[/mm] Und damit ist dann auch [mm]c=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(-1)= -2 hier bekomme ich irgent wie eins raus
Wenn du -1 in f(x) einsetzt, ergibt sich:
[mm]a-b+c-d+e=-2[/mm] Da du weißt, dass [mm]c=e=0[/mm] ist, kannst du die beiden direkt weglassen und hast nur noch: [mm]a-b-d=-2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f´(-1)=0 hier ist es auch null
f'(-1) ergibt: [mm]-4a+3b+d=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f´(0)=0> hab ich auch null ich habe es genau so
> gerechnet wie bei den anderen
Das ergibt: [mm] 4a\cdot 0+3b\cdot 0 +2c\cdot 0 +d=0[/mm], also im Endeffekt: [mm]d=0[/mm]
> kann mir jemand sagen ob es richtig ist und mir weiter
> helfen wie ich fortfahren soll
Du hast jetzt im Endeffekt nur noch zwei "sinnvolle" Gleichungen, nämlich [mm]a-b=-2[/mm] und [mm]-4a+3b=0[/mm].
Das kannst du jetzt z. B. mit Einsetzungsverfahren lösen. Wenn man die 1. Gleichung nach a auflöst, erhält man [mm]a=-2+b[/mm], eingesetzt in die 2. Gleichung: [mm]-4(-2+b)+3b=0[/mm], also [mm]8+4b=0[/mm] [mm]\Rightarrow b=8[/mm] [mm]\Rightarrow a=6[/mm]
Deine fertige Funktion heißt also: [mm]f(x)=6x^4+8x^3[/mm]
> und ich habe noch ne frage wenn da z.b. stehet f(-1)=-2
> muss da diese -2 als ergebniss rauskommen
Ja!
> oder kann auch was anderes das ergebniss sein?
Nein!
Du setzt die -1 für alle x in der Funktion ein, auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen steht -2.
Hoffe, deine Probleme sind jetzt alle gelöst.
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