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| Aufgabe | Funktion: [mm] $x=r_1^{\bruch{3}{4}}*r_2^{\bruch{1}{4}}$
[/mm]
Gegeben:
$x=2 \ \ und\ [mm] r_1=4$ [/mm] KORREKTUR VON X
Gesucht:
[mm] $r_2$ [/mm] |
Hi,
ich habe in meinem BWL-Buch eine Produktionsfunktion gefunden. Dort ist eine Zeichnung der Funktion (siehe meine Zeichnung) und jetzt sind dort genau die selben Dinge gegeben wie ich sie euch angegeben habe.
Jetzt habe ich 2 Fragen:
1. Wie kann ich die Funktion nach [mm] r_2 [/mm] umstellen. Also wegen dem Exponent bin ich mir nicht sicher. Bisher waren es "ganzzahlige" Expontenten und da musste ich nur die x-te Wurzel aus dem Term auf der anderen Seite von [mm] r_2 [/mm] ziehen, aber mit dem "hoch 1/4" wie funktioniert das? Vielleicht kann mir jemand die "einzelnen Schritte hinschreiben und ggf. erklären"
2. Die eigentliche Frage die ich an der Aufgabe nicht verstehe. Es wird im Anschluss mit dieser Formel noch die Steigung [mm] berechnet:$s_{21}=\bruch{Expontent\ von\ r_1}{Expontent\ von\ r_2}*\bruch{r_2}{r_1}$ [/mm] Bei den Werten $x=4 \ \ und\ [mm] r_1=4\ [/mm] und [mm] r_2=\bruch{1}{4}$ [/mm] kommt man auf eine Steigung von 3/16.
Aber wie kann ich nur aufgrund dieser Werte [mm] r_2 [/mm] und der Steigung die ich errechnet habe die Achsenabschnitte der Steigung einzeichen? Im Buch ist diese bei [mm] r_2 [/mm] bei 1 und bei [mm] r_1 [/mm] bei 5 eingezeichnet. Aber wie kann ich die Werte 1 und 5 errechnen oder ist das nicht möglich und nur fiktiv eingezeichnet?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke für die Hilfe
Gruß Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hi, Thomas,
> Funktion: [mm]x=r_1^{\bruch{3}{4}}*r_2^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
>
> Gegeben:
> [mm]x=4 \ \ und\ r_1=4[/mm]
>
>
> Gesucht:
> [mm]r_2[/mm]
Also, der Term [mm] r^{\bruch{1}{4}} [/mm] ist dasselbe wie [mm] \wurzel[4]{r}
[/mm]
Damit ist klar, wie Du das r aus der Gleichung rausziehen kannst: Durch Potenzieren mit 4:
x = [mm] r_1^{\bruch{3}{4}}*r_2^{\bruch{1}{4}} [/mm] | [mm] (...)^{4}
[/mm]
[mm] x^{4} [/mm] = [mm] r_1^{3}*r_2
[/mm]
[mm] r_{2} [/mm] = [mm] \bruch{x^{4}}{r_{1}^{3}}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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> [mm]r_{2}[/mm] = [mm]\bruch{x^{4}}{r_{1}^{3}}[/mm]
Wenn Du allerdings erwartest, daß Du an der Stelle [mm] r_1=4 [/mm] (für x=4) für [mm] r_2=\bruch{1}{4} [/mm] herausbekommst, kannst Du lange rechnen...
Das Bild paßt nicht zu Deiner Aufgabe mit x=4, und deshalb wird die Steigung an der Stelle [mm] r_1=4 [/mm] auch eine andere sein als die angegebene.
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
ups ich hab gerade gesehen, dass da ein Tippfehler drin war! x=2. (ich habe es korrigiert).
Kann man dann, wenn man [mm] r_1, r_2, [/mm] x und die Steigung diese Steigung wie im Bild eingezeichnet hat, auf die x und y Achsenabschnitte der Geraden kommen oder ist das dennoch nicht möglich?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke Gruß Thomas
> >
> > [mm]r_{2}[/mm] = [mm]\bruch{x^{4}}{r_{1}^{3}}[/mm]
>
> Wenn Du allerdings erwartest, daß Du an der Stelle [mm]r_1=4[/mm]
> (für x=4) für [mm]r_2=\bruch{1}{4}[/mm] herausbekommst, kannst Du
> lange rechnen...
>
> Das Bild paßt nicht zu Deiner Aufgabe mit x=4, und deshalb
> wird die Steigung an der Stelle [mm]r_1=4[/mm] auch eine andere sein
> als die angegebene.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Hi Angela,
>
> ups ich hab gerade gesehen, dass da ein Tippfehler drin
> war! x=2. (ich habe es korrigiert).
Ah, das erklärt einiges.
Du betrachtest jetzt also die Funktion
[mm] r_2(r_1)=\bruch{2^4}{r_1^3}=\bruch{16}{r_1^3}.
[/mm]
Die gesuchte Gerade ist ja die Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle [mm] r_1=4, [/mm] d.h. im Punkt (4, [mm] \bruch{1}{4}).
[/mm]
Die tangentensteigung bekommst Du, indem Du die Ableitung von [mm] r_2(r_1) [/mm] an der Stelle [mm] r_1=4 [/mm] berechnest.
Einen Punkt hast Du, also bekommst Du mit der ![[]](/images/popup.gif) Punkt-Steigungsform Deine Geradengleichung.
Der x-Achsenabschnitt ist die Nullstelle, der y-Achsenabschnitt der Wert, den Du beim Einsetzen von [mm] r_1=0 [/mm] erhältst.
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
vielen Dank für den Link und die Erklärung, ich komme aber noch nicht ganz drauf.
Gegeben habe ich:
[mm] $x=r_1=4$
[/mm]
[mm] $y=r_2=\bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] $Steigung=-\bruch{\bruch{3}{16}}{1} \Rightarrow -\bruch{3}{16}$ [/mm] Bedeutet doch, 16 Einheiten nach rechts (x-Achse) und -3 Einheiten nach unten (y-Achse). Da doch bei einer Steigung mit Bruch der Nenner die x-Achse ist und der Zähler die y-Achse stimmt das?
Jetzt verwende ich die Formel:
Punktsteigungsform
$y=m*(x-u)+v$
Setze ein:
[mm] $y=-\bruch{3}{16}*(x-4)+\bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] $y=-\bruch{3}{16}x+\bruch{3}{4}+\bruch{1}{4}$
[/mm]
[mm] $y=-\bruch{3}{16}x+1$
[/mm]
Jetzt weiß ich doch, dass der y-Achsenabschnitt die "+1" ist, so wie in der Zeichnung. Nun möchte ich nocht den x-Achsenabschnitt herausfinden. Dazu setze ich y=0 und löse nach x auf.
$y=0$
[mm] $0=-\bruch{3}{16}x+1$
[/mm]
[mm] $-1=-\bruch{3}{16}x$
[/mm]
[mm] $-1=-\bruch{3}{16}x$
[/mm]
[mm] $-\bruch{3}{16}=x$
[/mm]
Aber dies stimmt nicht, von daher denke ich, dass ich bei dem $y=0$ setzen einen Fehler mache?
Danke für die Hilfe
Gruß Thomas
Zur besseren Übersicht mache ich nochmal die Grafik in den Thread
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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> [mm]x=r_1=4[/mm]
>
> [mm]y=r_2=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]Steigung=-\bruch{\bruch{3}{16}}{1} \Rightarrow -\bruch{3}{16}[/mm]
> Bedeutet doch, 16 Einheiten nach rechts (x-Achse) und -3
> Einheiten nach unten (y-Achse). Da doch bei einer Steigung
> mit Bruch der Nenner die x-Achse ist und der Zähler die
> y-Achse stimmt das?
Hallo,
ja, das stimmt
>
>
> Jetzt verwende ich die Formel:
>
> Punktsteigungsform
>
> [mm]y=m*(x-u)+v[/mm]
>
> Setze ein:
>
> [mm]y=-\bruch{3}{16}*(x-4)+\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]y=-\bruch{3}{16}x+\bruch{3}{4}+\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]y=-\bruch{3}{16}x+1[/mm]
>
> Jetzt weiß ich doch, dass der y-Achsenabschnitt die "+1"
> ist, so wie in der Zeichnung.
Genau.
Nun möchte ich nocht den
> x-Achsenabschnitt herausfinden. Dazu setze ich y=0 und löse
> nach x auf.
Richtig.
Du suchst ja die Nullstelle, also den Schnittpunkt mit der x-Achse.
>
> [mm]y=0[/mm]
>
> [mm]0=-\bruch{3}{16}x+1[/mm]
>
> [mm]-1=-\bruch{3}{16}x[/mm]
>
Bis hierher ist's richtig.
Nun durch [mm] -\bruch{3}{16} [/mm] dividieren, d.h. mit [mm] -\bruch{16}{3} [/mm] multiplizieren.
Ergibt [mm] x=\bruch{16}{3}=5\bruch{1}{3}.
[/mm]
Nicht ganz das, was in Deinem Bildchen eingezeichnet ist, aber dafür ist's richtig.
Möglicherweise - ich weiß ja nicht, was bei Euch so üblich ist - müßt Ihr die Gleichung gar nicht unbedingt ausrechnen:
Vielleicht solltet Ihr, wie Du es oben beschreibst, vom Punkt (4, 1/4) 16 nach rechts gehen und 3 nach unten und so die Achsenabschnitte zeichnerisch bestimmen. Da kann es natürlich zu Ungenauigkeiten kommen, welche umso größer sind, je kleiner die verwendeten Steigungsdreiecke sind.
16 nach rechts und 3 nach unten ist dasselbe wie 8 nach rechts und 1,5 nach unten oder 4 nach rechts und 0.75 nach unten, das ist klar, oder? (Es muß ja ins Koordinatensystem passen.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Sa 03.03.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
vielen Dank für die Hilfe!
Ich hatte auch 5,33 also 5 "Ganze 1/3 heraus. Aber ich war deshalb nicht sicher, weil es mit der Zeichnung nicht übereinstimmt.
Naja ob wir das zeichnerisch oder rechnerisch lösen können müssen weiß ich ehrlich gesagt nichts, da unser Dozent zu der Prüfungsart was evtl abgefragt wird ob zeichnerisch, rechnerisch etc. keine Aussagen macht sondern immer nur sagt "man sollte alles können..." so ein.... :)
Deshalb lern ich halt alles zeichnerisch ist es einfacher bzw. geht schneller hat aber dann halt Abweichungen, rechnerisch ist es jetzt auch nicht mehr schwer :)
Danke für die Hilfe
Gruß Thomas
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Hi Zwerglein,
danke für die Antwort! Super erklärt!
Also heißt das, wenn ich nach [mm] r_1 [/mm] umstellen wollte ginge das so:
Funktion: [mm] $x=r_1^{\bruch{3}{4}}*r_2^{\bruch{1}{4}}$
[/mm]
[mm] $x=r_1^{\bruch{3}{4}}*r_2^{\bruch{1}{4}}$ (...)^4
[/mm]
[mm] $x^4=r_1^3*r_2$
[/mm]
[mm] $r_1^3=\bruch{x^4}{r_2}$
[/mm]
[mm] $r_1=\wurzel[3]{\bruch{x^4}{r_2}}$
[/mm]
Im ersten Schritt "hole" ich immer den Bruch weg der Exponenten. Dies klappt in diesem Fall noch gut, da die Brüche den gleichen Nenner haben.
Wie funktioniert das für z. B. folgenden Funktion:
[mm] $x=r_1^{\bruch{3}{2}}*r_2^{\bruch{5}{7}}$
[/mm]
Danke für die Hilfe! Gruß Thomas
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Hi, Thomas,
> Also heißt das, wenn ich nach [mm]r_1[/mm] umstellen wollte ginge
> das so:
>
> Funktion: [mm]x=r_1^{\bruch{3}{4}}*r_2^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
>
> [mm]x=r_1^{\bruch{3}{4}}*r_2^{\bruch{1}{4}}[/mm] [mm](...)^4[/mm]
>
>
> [mm]x^4=r_1^3*r_2[/mm]
>
>
> [mm]r_1^3=\bruch{x^4}{r_2}[/mm]
>
> [mm]r_1=\wurzel[3]{\bruch{x^4}{r_2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie funktioniert das für z. B. folgenden Funktion:
>
> [mm]x=r_1^{\bruch{3}{2}}*r_2^{\bruch{5}{7}}[/mm]
kgV(2; 7) = 14
Daher:
x = [mm] r_1^{\bruch{3}{2}}*r_2^{\bruch{5}{7}} [/mm] | [mm] (...)^{14}
[/mm]
[mm] x^{14} [/mm] = [mm] r_{1}^{21}*r_{2}^{10}
[/mm]
Und nun auflösen nach der gewünschen Variablen!
mfG!
Zwerglein
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Hi,
ich hab noch eine Kombination gerechnet, die müsste stimmen, aber nur nochmal zur Sicherheit (ich trau meinen Ergebnissen nie *g*)
[mm] $\red{x=r_1^{\bruch{3}{4}}*r_2^4}$ [/mm] nach [mm] r_2 [/mm] umstellen
[mm] $r_2^4=\bruch{x}{r_1^{\bruch{3}{4}}}$
[/mm]
[mm] $r_2=\wurzel[4]{\bruch{x}{r_1^{\bruch{3}{4}}}}$
[/mm]
[mm] $\red{x=r_1^{\bruch{3}{4}}*r_2^4}$ [/mm] nach [mm] r_1 [/mm] umstellen
[mm] $x^4=r_1^3*r_2^8$ [/mm] Hier bin ich mir nicht sicher wegen den Expontenten
[mm] $r_1^3=\bruch{x^4}{r_2^8}$
[/mm]
[mm] $r_1=\wurzel[3]{\bruch{x^4}{r_2^8}}$
[/mm]
Danke
Gruß Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 So 04.03.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Loddar,
dankeschön! Ja beim zweiten war ich mir nicht sicher ob das sich addiert oder multipliziert. Jetzt weiß ichs.
Danke!
Gruß Thomas
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es gilt ja: [mm] $\left( \ r_2^4 \ \right)^4 [/mm] \ = \ [mm] r_2^{4\red{*}4} [/mm] \ = \ [mm] r_2^{16}$
[/mm]