Steigung der Funktion in x0 < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Steigung der Funktion an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] |
Hallo Leute,
da ich am morgigen Tag in Mathe eine Mündliche Prüfung habe und vom Schuljahr nix kapiert habe versuche ich mich trozdem Vorzubereiten. Mein Problem ist folgendes: Zu einer Aufgabe habe ich zwei verschiedene Lösungsverfahren in meinen Unterlagen die ich nicht nachfolziehen kann:
[mm] {f(x)}=\bruch{1}{x²} [/mm] ; [mm] x_{0}=1
[/mm]
[mm] {f(x)}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x_{0})-{f(x_{0})}}{x-x_{0}}
[/mm]
H Methode
[mm] {f(x)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_{0}+h)-{f(x_{0})}}{h}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(1+h)-f(1)}{h}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{(1+h)^2}-1}{h}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{-2h-h^2}{1+2h+h^2}}{h}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-2-h}{1+2h+h^2}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\bruch{-2}{1} [/mm] = -2
Zweiter Lösungsweg:
[mm] {f'(x)}=\bruch{1}{x^2} [/mm] ; [mm] x_0 [/mm] = 1
h Methode
[mm] {f'(x_0)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(x_0+h) - f(x_0)}{h}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(1+h)-f(1)}{h}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(\bruch{1}{x^2}-f(1)}{h}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{(1+h^2)} - 1}{h}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1}{1+2h+h^2} [/mm] - [mm] \bruch{1+2h+h^2}{1+2h+h^2}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1-(1+2h+h^2}{1+2h+h^2}}{\bruch{h}{1}}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-2k-h^2}{(1+2h+h^2)*h}
[/mm]
[mm] {f'(1)}=\bruch{-2}{1}= [/mm] - 2
Hierbei geht h immer gegen 0.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Di 26.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wo genau liegt dein Problem? Du hast zweimal die sog. h-Methode angewandt.
Generell gilt, dass man versuchen muss den Zähler so umzuformen, dass man das h aus dem Nenner herauskürzen kann.
Dann kannst du nämlich ohne Problem den Grenzwert h=0 einsetzen.
Marius
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Ich kann nicht nachvollziehen was da gemacht wird. Ich habe diese Lösungen von der Schultafel kopiert. Leider hat die Lehrerrin nicht dazu geschriben was Sie in den einzelnen Punkten macht. Somit kann ich nicht nachvollziehen was Sie gemacht hat.
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Hey du! :)
Kennst du die 2-Punkt-Steigungsformel? Mit dieser Formel kann man die "durchschnittliche" Steigung zwischen zwei Punkten berechnen:
[mm] m=\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}
[/mm]
Dies führt zu:
[mm] m=\bruch{f_{2}(x)-f_{1}(x)}{x_{2}-x_{1}}
[/mm]
[mm] x_{1}=x
[/mm]
[mm] x_{x}=x+h
[/mm]
Genauer gesagt:
[mm] m=\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] bzw.
[mm] m=\bruch{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
Nun setzt du in die letzte Formel die Funktion f(x) ein. Daraus ergibt sich eine Gleichung: m=...
Nun versuchst du den Grenzwert zu berechnen, und zwar folgend: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
Bevor du den Grenzwert berechnest, musst du die Gleichung m=... versuchen so gut es geht zu vereinfachen (zB kürzen). Wenn du dann h gegen 0 laufen lässt, erhälst du einen Grenzwert. Dieser Grenzwert ist "m", oder besser gesagt deine Ableitung.
Bsp.:
[mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
f'(x)=2x
Wenn du nun diese Funktion f(x) in die Formel (oben) einbaust, müsstest du bei [mm] m=\limes_{h\rightarrow 0}... [/mm] auf den Grenzwert "2*x" kommen.
So ist das. Der Sinn des Ganzen: Man will die Steigung in einem best. Punkt berechnen. Und um dies tun zu können, muss der Abstand zwischen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] minimal werden. Dies erreichen wir, indem wir h einführen. h lassen wir ja gegen 0 laufen, dh wir machen dadurch den Abstand minimal.
Ich hoffe, ich habe dir damit weiter helfen können.
Gruß, h.
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ja das kontest du im gewissen Sinn.
Was ich eigentlcih wissen wollte sind die Schritte die meine Leherrin hier folzog. Also wie kommst sie von Zeile zu Ziel und was macht Sie dort um auf die zweite zu kommen etc.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 26.06.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
1. Lösungsweg:
Für [mm] x_0 [/mm] wird 1 eingesetzt.
Dann wurde für f(1+h) eben [mm] \bruch{1}{(1+h)²} [/mm] geschrieben, da f(x) ja [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] ist.
Dann wurde das Binom dort im Nenner ausmultipliziert.
Danach wurde Hauptnennerbildung gemacht, also die 1 wurde aus [mm] \bruch{1+2h+h²}{1+2h+h²} [/mm] dargestellt und dann wurden die beiden Brüche einfach subtrahiert.
Zum Schluss wurde noch das h weggekürzt.
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