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| Aufgabe | Ein Stern S habe seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung von [mm] \IR^2. [/mm] Es sei [mm] D_5 [/mm] = [mm] \{A\in\IR^{2,2} : A*S=S\} [/mm] die Symmetriegruppe des Sterns [mm] S\subset\IR^2. [/mm] Dabei ist A*S = [mm] \{Ax\in\IR^2: x \in S \}.
[/mm]
a)
Zeige dass [mm] D_5 [/mm] mit der Multiplikation von Matrizen eine nicht abelsche Gruppe ist (Existenz von Inversen nicht zeigen)
b)
Gebe die Elemente von [mm] D_5 [/mm] explizit als Matrizen an (ohne Beweis) |
Hallo,
folgendes Problem: Wie muss ich bei dieser Aufgabe Anfangen/Vorgehen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
es handelt sich hier ja um die Diedergruppe [mm] D_5. [/mm] Sie besteht aus sämtlichen Kongruenzabbildungen, welche den Stern in sich selbst überführen.
Überlege dir also zunächst:
- welche Arten solcher Abbildungen gibt es?
- wie viele dieser Abbildungen gibt es jeweils?
Nun muss man entweder sein Wissen über Abbildungsmatrizen (insbesondere solche, die Kongruenzabbildungen beschreiben) verwenden, oder eben nachrechnen, um die Matrizen zu finden, welche die einzelnen Abbildungen beschreiben. Ganz hilfreich ist in Teil b) ja, dass man nichts beweisen muss. Insbesondere das neutrale Element der Gruppe ist trivial, und das Assoziativgesetz darf man hier sicherlich als von der Matrizenmultiplikation 'geerbt' übernehmen. Bleibt als einziges (machbares) Problem die Abgeschlossenheit.
Ich persönlich (der ich auch kein Experte auf diesem Gebiet bin) finde es bei dieser Art Gruppen (mit geometrischer Bedeutung) immer ganz hilfreich, den erzeugenden Elementen irgendwelche Namen zu geben, etwa D und S  und erstmal rein abstrakt mit einer Gruppentafel mir das anzuschauen. Dann muss man aber auf jeden Fall die einzelnen Elemente mit den gefundenen Matrizen identifizieren, denn sonst könnte man auch in Wirklichkeit mit lauter gleichen Elementen hantieren, also mit der trivialen Gruppe.
Gruß, Diophant
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