Stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | Hallo,
Ich verstehe nicht warum diese Funktion stetig ist.
[mm] $f(x):[0,1]\to \IR,$ n\in \IN, f(x)=x^n$ [/mm] |
Kann mir jmd das bitte erklären, Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Do 04.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
das kann man etwa aus [mm] $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$ [/mm] folgern.
Vielleicht ist auch bekannt, dass Produkte stetiger Funktionen stetig sind. Daraus folgt die Stetigkeit von f induktiv, denn g(x)=x ist trivialerweise stetig.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> Ich verstehe nicht warum diese Funktion stetig ist.
>
>
> [mm]$f(x):[0,1]\to \IR,$ n\in \IN, f(x)=x^n$[/mm]
da sollte $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] stehen, nicht [mm] $f\red{(x)} \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR\,.$
[/mm]
Nebenbei: Die Funktion ist sogar stetig auf [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Die Stetigkeit (sogar auf [mm] $\IR$) [/mm] folgt direkt mit "stetig=folgenstetig":
Sei [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] und es konvergiere [mm] $(x_k)_k$ [/mm] gegen [mm] $x_0\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $\lim_{k \to \infty}f(x_k)=\lim_{k \to \infty} ({x_k}^n)=(\lim_{k \to \infty}x_k)^n={x_0}^n=f(x_0)=f(\lim_{k \to \infty}x_k)\,.$
[/mm]
Die zweite Gleichheit ist eine bekannte Rechenregel für (eine) konvergente
Folge(n).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Do 04.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Mit dem Tipp von andyv kannst Du folgern:
$ |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] n*|x-y|$ für alle $x.y [mm] \in [/mm] [0,1]$.
Das bedeutet: $f$ ist auf [0,1] nicht nur stetig, sondern dort auch Lipschitzstetig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Do 04.12.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Vielen Dank an alle!!
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