Stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Es sei B [mm] \subset \IR^{n} [/mm] eine offene Menge und f : B--> IR eine partiell
differenzierbare Funktion. Alle partiellen Ableitungen seinen auf B beschränkt.
Beweisen sie, dass f stetig ist.
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stetig partiell differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] partiell differenzierbar
Ich versteh nicht ganz was die Aussage "alle partiellen Ableitungen seinen auf B beschränkt" implizieren soll.
Ein paar Tipps wären echt super :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei B [mm]\subset \IR^{n}[/mm] eine offene Menge und f : B--> IR
> eine partiell
> differenzierbare Funktion. Alle partiellen Ableitungen
> seinen auf B beschränkt.
> Beweisen sie, dass f stetig ist.
>
> stetig partiell differenzierbar [mm]\Rightarrow[/mm] differenzierbar
> [mm]\Rightarrow[/mm] partiell differenzierbar
>
> Ich versteh nicht ganz was die Aussage "alle partiellen
> Ableitungen seinen auf B beschränkt" implizieren soll.
Du sollst zeigen: alle partiellen Ableitungen sind auf B beschränkt [mm]\Rightarrow[/mm] f ist stetig
Tipp: Mittelwertsatz
FRED
> Ein paar Tipps wären echt super :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Ayame |
f: [mm] B-->\IR
[/mm]
Ich weiß, dass wenn f für alle Punkte einer Umgebung U von [mm] p\in [/mm] B partiell differenzierbar ist und wenn [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{i}} [/mm] für i=1,...,n stetig in p ist, so ist f differenzierbar in p. Und aus differenzierbarkeit folgt stetigkeit.
Also muss ich nur zeigen dass alle partiellen Ableitung, die auf B beschränkt sind, stetig sind. Oder ?
Ich dachte vllt so :
Eine Funktion f ist genau dann stetig in [mm] x\in [/mm] B , wenn für jede Folge [mm] (x_{n})_{n\in \IN} [/mm] in B , die [mm] x_{n}\to [/mm] x erfüllt, gilt,dass [mm] f(x_{n}) \to [/mm] f(x)
Also müssen alle partiellen Ableitungen auf B beschränkt sein.
Reicht das aber ?
Und wie meintest du dass mit dem Mittelwertsatz ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> f: [mm]B-->\IR[/mm]
> Ich weiß, dass wenn f für alle Punkte einer Umgebung U
> von [mm]p\in[/mm] B partiell differenzierbar ist und wenn
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}[/mm] für i=1,...,n stetig in
> p ist, so ist f differenzierbar in p. Und aus
> differenzierbarkeit folgt stetigkeit.
>
> Also muss ich nur zeigen dass alle partiellen Ableitung,
> die auf B beschränkt sind, stetig sind. Oder ?
Ist das denn so schwer ? In der Aufgabenstellung steht klipp und klar:
Zeige: sind alle partiellen Ableitungen von f auf B beschränkt so ist f stetig
>
> Ich dachte vllt so :
> Eine Funktion f ist genau dann stetig in [mm]x\in[/mm] B , wenn
> für jede Folge [mm](x_{n})_{n\in \IN}[/mm] in B , die [mm]x_{n}\to[/mm] x
> erfüllt, gilt,dass [mm]f(x_{n}) \to[/mm] f(x)
> Also müssen alle partiellen Ableitungen auf B beschränkt
Wieso "also " ? Du verdrehst ja alles !
> sein.
>
> Reicht das aber ?
Nie und nimmer !
> Und wie meintest du dass mit dem Mittelwertsatz ?
sind alle partiellen Ableitungen von f auf B beschränkt , so ist auch gradf auf B beschränkt, es gibt also ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:
(*) $||gradf(x)|| [mm] \le [/mm] L$ für alle x [mm] \in [/mm] B
Sei [mm] x_0 \in [/mm] B. Da B offen ist , liegt auch noch eine ganze Kugel [mm] K(x_0) [/mm] um [mm] x_0 [/mm] in B.
Sei x [mm] \in [/mm] K. Nach dem Mittelwertsatz ex. ein [mm] \xi [/mm] auf der Verbindungsstrecke von x und [mm] x_0 [/mm] mit:
[mm] $f(x)-f(x_0) [/mm] = [mm] gradf(\xi)*(x-x_0)$
[/mm]
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung und mit (*) folgt:
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] =| [mm] gradf(\xi)*(x-x_0)| \le ||gradf(\xi)||*||x-x_0|| \le L||x-x_0||$
[/mm]
Reicht das ?
FRED
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