Stetig /Fkt /c aus R =>g(x)=cx < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Sei g: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig mit g(x+y) = g(x) + g(y) für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] . zeige, dass es ein c [mm] \in \IR [/mm] gibt, sodass g(x) = cx
b)
Gibt es eine stetige Funktion f: [mm] \IQ \to [/mm] {0,1} mit f(0)=0 und f(1)=1? |
huhu,
erstmal zur a... ich weiß die aufgabe is sher unmissverständlich ausgedrückt doch weiß ich nicht genau wie ich da drin gehen soll... Hilft das der Zwischenwertsatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mo 02.01.2012 | | Autor: | hippias |
Mein Vorschlag waere: Mache Dir ersteinmal klar, das die Behauptung gilt, wenn $g$ eine lineare Funktion ist, also zusaetzlich $g(xy)= xg(y)$ gilt. Darauf kannst Du versuchen die Linearitaet nachzuweisen, indem Du Dich schrittweise hocharbeitest, also zuerst [mm] $\IN$-Linearitaet [/mm] beweist, dann [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IQ$. [/mm] Vom Uebergang zur [mm] $\IR$-Linearitaet [/mm] wirst Du spaetestens die Stetigkeit von $g$ brauchen.
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huhu,
woran siehst du ( sieht man ) dass g eine lineare funktion ist?
und vor allem wie weist man Linearität nach?
muss ich mit beweis der bijektivität arbeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Mo 02.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Beh, g(x)=c*x heisst doch genau, dass g eine lineare fkt ist!
Gruss leduart
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ah k aber ist meine idee mit dem nachweis der bijektivität richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mo 02.01.2012 | | Autor: | hippias |
Ich finde solche Fragen immer schwierig zu beantworten, weil jede Idee brauchbar sein koennte. In diesem speziellen Fall hat sie jedoch nichts mit meiner Idee zu tun; was natuerlich kein Verbrechen ist.
Wenn Du meinst es hilft Dir die Bijektivitaet nachzuweisen, dann versuche es. $g$ muss ja auch fast immer bijektiv sein, ausser im Fall $c= 0$.
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