Stetig differenzierbar monoton < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Di 11.07.2006 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | | Sei g: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig differenzierbar. Man zeige dass jede Lösung der Differentialgleichung y'=g(y) monoton ist. |
Ich verzweifle an diesem Beweis kann mir jemand helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Di 11.07.2006 | | Autor: | tempo |
hi, habe auch diese aufgabe vor mir liegen... finde in der vorlesung auch folgenden (passenden) satz: sei y'=g(y) und g stetig diffbar: lösung steigt für wachsendes x bis sie eine nullstelle von g erreicht (etwa n). die einzige lösung ist y(x)=n=konst.
damit ist ja klar das jede lösung monoton ist, aber ich glaube kaum das dies für die aufgabe reicht, bzw. weiß ich nicht wie ich das mathematisch aufschreiben soll... ist ja nur der satz aus der vorlesung.
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Hallo grashalm,
Ich würde folgenden Weg probieren.
Annahme: Sie ist nicht monoton
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Es existiert lokales Extremum
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Es existiert [mm] x_0,y_0=y(x_0) [/mm] mit [mm] y'(x_0)=g(y_0)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] y=y_0 [/mm] ist (einzige) Lösung
[mm] \Rightarrow
[/mm]
y doch monoton
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mi 12.07.2006 | | Autor: | tempo |
> ...
> [mm]y=y_0[/mm] ist (einzige) Lösung ...
hi, könntest du das vielleicht noch etwas erläutern? irgendwie sehe ich nicht warum/woher du weißt das es die einzige lösung ist? (wenn man g als nicht monoton annimmt...)
mit dank im voraus
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Hallo Tempo,
> > ...
> > [mm]y=y_0[/mm] ist (einzige) Lösung ...
>
> hi, könntest du das vielleicht noch etwas erläutern?
> irgendwie sehe ich nicht warum/woher du weißt das es die
> einzige lösung ist? (wenn man g als nicht monoton
> annimmt...)
Nach dem Satz von Picard Lindelöff die hierfür benötigte L-Konstante(für g) ergibt sich aus der stetigen Diffbarkeit von g.
viele Grüße
mathemduenn
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Hallo Danke erstmal,
Hast du ne Idee wie das ganze geht wenn nur vorausgesetzt ist das g stetig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 14.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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