Stetig fortsetzbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
ich muss folgende aufgabe lösen:
Kann man f in (0,0) so definieren dass f auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] stetig wird?
a) f(x,y)= [mm] \bruch{xy}{e^{x}^{2}-1} [/mm] (hier soll e hoch x hoch 2 sein)
b) f(x,y)= [mm] xy\bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y{2}}
[/mm]
Ich weiß dass ich irgendwelche werte für x oder y einsetzen muss, jedoch habe ich wenn ich z.b bei a für x=0 einsetze habe ich im nenner 0 stehen und im zähler auch. heißt dass das die funktion dann gegen unendlich geht und für y=0 ist die funktion gleich 0. kann ich daraus folgern dass die a nicht stetig fortsetzbar ist??
das kann doch aber nicht sein, weil ich dann bei der b) wenn ich für y,x 0 setzt dass gleiche problem habe und ich glaube dass wenigstens eins stetig fortsetzbar ist.
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
> ich muss folgende aufgabe lösen:
> Kann man f in (0,0) so definieren dass f auf ganz [mm]\IR^{2}[/mm]
> stetig wird?
> a) f(x,y)= [mm]\bruch{xy}{e^{x}^{2}-1}[/mm] (hier soll e hoch x
> hoch 2 sein)
> b) f(x,y)= [mm]xy\bruch{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y{2}}[/mm]
>
> Ich weiß dass ich irgendwelche werte für x oder y
> einsetzen muss, jedoch habe ich wenn ich z.b bei a für x=0
> einsetze habe ich im nenner 0 stehen und im zähler auch.
> heißt dass das die funktion dann gegen unendlich geht und
> für y=0 ist die funktion gleich 0. kann ich daraus folgern
> dass die a nicht stetig fortsetzbar ist??
Nein, das heißt es nicht! Um zu zeigen, daß die Funktion nicht stetig fortsetzbar ist,
reicht es, Beispielfolgen [mm] $(x_n, y_n)$ [/mm] aus dem Definitionsbereich anzugeben, die gegen $\ (0,0) $ konvergieren, so daß die Folgen [mm] $\bigl(f(x_n, y_n)\bigr)$ [/mm] der Funktionswerte gar nicht oder gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren.
Reicht das schon?
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, danke.
Also zu a) Wenn ich f(1,2) bilde kriege ich was anderes als wenn ich f(3,1). kann ich dann sagen dass f nicht stetig fortsetzbar ist? Oder muss ich einen von x oder y festhalten??
Stimmt das so?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo, danke.
> Also zu a) Wenn ich f(1,2) bilde kriege ich was anderes
> als wenn ich f(3,1). kann ich dann sagen dass f nicht
> stetig fortsetzbar ist? Oder muss ich einen von x oder y
> festhalten??
> Stimmt das so?
Nein. Wir müssen Nullfolgen bilden, und dann die Konvergenz der Funktionswerte beobachten, um zu zeigen, daß a) nicht stetig fortsetzbar ist. Nimm mal $(1/n, 0)$, gegen was konvergiert dann die Folge [mm] $\bigl(f(1/n,0)\bigr)$?
[/mm]
Und dann suche eine andere Nullfolge, so daß die Folge der Funktionswerte gegen einen anderen Grenzwert konvergiert.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Also bie f(1/n,0)=(1/n)/0-->0
dann habe ich f(0,1/n) genommen: 0/0 habe ich da also -->0
dann habe ich f(0,0) genommen: 0/-1-->0 erhalten
Also ist die Funktion stetig fortsetrbar in (0,0)???
Aber in deinem Beitrag klang das so als ob diese funktion nicht stetig ist.
???
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also bie f(1/n,0)=(1/n)/0-->0
Falsch. Schon, weil Du hier durch $0$ geteilt hast. Setze bitte in den Funktionsterm für $x$ $1/n$ und für $y$ $0$ ein.
Ich bekomme
$\bruch {1/n * 0} {e^{1/n^2} - 1$ und nicht $(1/n)/0$.
So, und jetzt suche eine andere Folge, so daß die Funktionswerte nicht gegen $0$ konvergieren.
Viel Erfolg,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
> > Also bie f(1/n,0)=(1/n)/0-->0
>
> Falsch. Schon, weil Du hier durch [mm]0[/mm] geteilt hast. Setze
> bitte in den Funktionsterm für [mm]x[/mm] [mm]1/n[/mm] und für [mm]y[/mm] [mm]0[/mm] ein.
>
> Ich bekomme
>
> [mm]\bruch {1/n * 0} {e^{1/n^2} - 1[/mm] und nicht [mm](1/n)/0[/mm].
Das habe ich auch gehabt habe nur meinen letzten ausdruck hingeschrieben. hiernach habe ich mir gedacht dass wenn n--> unendlich geht im nenner [mm] e^0-1 [/mm] steht also 0. und im zähler ist 0*1/n=0
Und in meinem ersten beitrag habe ich gemeint dass ich wenn ich durch 0 teile nicht weiß was das heißt.
Habe wie schon gesagt f(0,1/n) auch versucht und habe da das gleiche problem.
Ich hoffe mein problem ist jetzt deutlicher geworden.
> So, und jetzt suche eine andere Folge, so daß die
> Funktionswerte nicht gegen [mm]0[/mm] konvergieren.
>
> Viel Erfolg,
> Wolfgang
>
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ich hoffe mein problem ist jetzt deutlicher geworden.
Ja, ich verstehe!
Aber Du mußt zuerst die Folgenglieder bilden und erst dann den Grenzübergang machen.
In der ersten Beispielfolge ist jedes Folgenglied gleich Null, und damit auch der Grenzwert dieser konstanten Folge.
weiter viel Erfolg,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 So 27.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
tutmirleid aber ich glaube ich bin zu blöd dafür.Also ich habe jetzt bei a stehen:
[mm] f(1/n,0)=\bruch{1/n \cdot{} 0}{e^{1/n^2}-1}
[/mm]
für n gegen unendlich geht [mm] e^{1/n^2} [/mm] und auch 1/n gegen null, also strebt der ganze ausdruck gegen null.
f(0,1/n)= [mm] \bruch{0\cdot{}1/n}{e^{0}-1}
[/mm]
für n gegen unendlich geht 1/n gegen null, also strebt der ganze ausdruck gegen null.
[mm] f(0,0)=\bruch{0\cdot{}0}{e^{0}-1} [/mm] =0
Ich kriege überall das selbe raus, aber das kann ja nicht sein.???
Ich habe mal die b) versucht:
Wähle x=rcos(ß) und y=rsin(ß)
-> [mm] rcos*rsin*\bruch{{r}^2{cos}^2-{r}^2{sin}^2}{{r}^2{cos}^2+{r}^2{sin}^2}
[/mm]
[mm] =r^{2}cossin*\bruch{r^4({{cos}^2-{sin}^2)}}{r^4({{cos}^2+{sin}^2)}}=
[/mm]
[mm] \bruch{r^2cos sin ({cos}^2-{sin}^2)}{{cos}^2+{sin}^2} [/mm] das geht für r-->0 gegen 0 Also stetig fortsetzbar (ich habe das ß überall weggelassen, aber ich weiß dass ich das hinschreiben muss)
stimmt das so??
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 So 27.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> [mm]f(1/n,0)=\bruch{1/n \cdot{} 0}{e^{1/n^2}-1}[/mm]
Und jetzt weiterrechnen:
[mm] $f(1/n,0)=\bruch{1/n \cdot{} 0}{e^{1/n^2}-1}= [/mm] 0$.
Das heißt, für jedes $n$ ist $f(1/n,0)=0$. Und was ist der Grenzwert der Folge $0,0,0...$?
Genau! Null.
Und jetzt nehmen wir die Folge der Paare $(1/n,1/n)$.
Wir erhalten
[mm] $f(1/n,1/n)=\bruch {(1/n)^2} {e^{(1/n)^2}-1}$.
[/mm]
Um den Grenzwert für [mm] $n\to\infty$ [/mm] zu bestimmen, hilft der Grenzwert von
[mm] $\bruch {e^x - e^0} [/mm] {x-0}$ für [mm] $x\to [/mm] 0$.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 27.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
danke.
> Und jetzt nehmen wir die Folge der Paare [mm](1/n,1/n)[/mm].
> Wir erhalten
>
> [mm]f(1/n,1/n)=\bruch {(1/n)^2} {e^{(1/n)^2}-1}[/mm].
>
> Um den Grenzwert für [mm]n\to\infty[/mm] zu bestimmen, hilft der
> Grenzwert von
>
> [mm]\bruch {e^x - e^0} {x-0}[/mm] für [mm]x\to 0[/mm].
Hab 1 raus als grenzwert, somit nicht stetigt fortsetzbar.
Stimmt die b so wie ich das in dem vorigen beitrag gemacht habe?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 So 27.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hab 1 raus als
> grenzwert, somit nicht stetigt fortsetzbar.
Damit haben wir a) erledigt!
> Stimmt die b so wie ich das in dem vorigen beitrag gemacht
> habe?
Weiß nicht. Ich verstehe nicht, warum Du $\ [mm] \sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] einführst. Um zu zeigen, daß $f$ in [mm] $\,(0,0)$ [/mm] stetig fortsetzbar ist mit $f(0,0)=0$, müssen wir zu einem vorgelegten [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0 $ angeben, so daß für jedes Paar $(x, y)$ mit
[mm] $\|(x,y)\| [/mm] < [mm] \delta [/mm] $ auch $|f(x, y)| < [mm] \epsilon$ [/mm] ist.
Beachte [mm] $\left|\bruch {x^2-y^2} {x^2+y^2}\right| \le [/mm] 1$, $|x*y| = |x|*|y|$ und schließlich $|x|, |y| [mm] \le \|(x, y)\|$.
[/mm]
Nun versuch mal ...
Viel Erfolg,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 So 27.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
wir haben das in der übung mit polarkoordinaten gemacht, daher habe ich das so gemacht. Vielleicht kann ja jemand anderes drüberschauen??
Dir Helbig vielen dank für deine hilfe und vorallem für deine geduld.
Werde gleich deine version auch mal versuchen
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 27.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das mit den Polark. ist richtig, ausser dass da ploetzlich [mm] r^4 [/mm] statt [mm] r^2 [/mm] auftaucht.
Dann zusaetzlich: fuer r gegen 0 konv das unabhaengig vom Winkel gegen 0.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 So 27.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
danke für die antwort.
lg
|
|
|
| |
|
Hiho,
bist du dir bei der Angabe deiner ersten Funktion sicher?
Die Aufgabe macht in a) so nämlich gar kein Sinn..... selbst wenn man die Funktion stetig in (0,0) fortsetzen kann, wäre sie noch lange nicht auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] stetig, da sie dann noch immer in unendlich vielen Punkten nicht definiert wäre. Für alle $(0,y), [mm] y\in\IR$ [/mm] ist die Funktion nicht definiert.....
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Die Frage muss wohl heißen: Kann man $f$ in $(0,0)$ stetig fortsetzen? Eine andere Frage ist dann, ob sich die Funktion [mm] $\IR\setminus\{0\}\to\IR,\;x\mapsto \bruch [/mm] x [mm] {e^{x^2}-1}$ [/mm] in $\ 0$ stetig fortsetzen läßt. Die Antwort ist auch hier nein. Und damit läßt sich $f$ auch nicht in $(0, y)$ mit [mm] $y\ne [/mm] 0$ fortsetzen.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
|
