Stetig fortsetzbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Do 16.05.2013 | | Autor: | SandySan |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] g:\IR^2\backslash \{0\} \to \IR^2 [/mm] mit
[mm] g(x)=\bruch{1}{|x|}x
[/mm]
in (0,0) nicht stetig ergänzt werden kann. |
Meine idee sieht wie folgt aus:
[mm] g(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{|\bruch{1}{n}|}\bruch{1}{n}=\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}=\bruch{n}{n}=1 \to [/mm] 1
[mm] g(-\bruch{1}{n})=\bruch{1}{|-\bruch{1}{n}|}\cdot (-\bruch{1}{n})=\bruch{-\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}=-\bruch{n}{n}=-1 \to [/mm] -1
Da [mm] g(\bruch{1}{n}) \not= g(-\bruch{1}{n}) [/mm] ist g(x) in (0,0) nicht stetig fortsetzbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Do 16.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass [mm]g:\IR^2\backslash \{0\} \to \IR^2[/mm] mit
>
> [mm]g(x)=\bruch{1}{|x|}x[/mm]
>
> in (0,0) nicht stetig ergänzt werden kann.
> Meine idee sieht wie folgt aus:
>
> [mm]g(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{|\bruch{1}{n}|}\bruch{1}{n}=\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}=\bruch{n}{n}=1 \to[/mm]
> 1
>
>
> [mm]g(-\bruch{1}{n})=\bruch{1}{|-\bruch{1}{n}|}\cdot (-\bruch{1}{n})=\bruch{-\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}=-\bruch{n}{n}=-1 \to[/mm]
> -1
>
> Da [mm]g(\bruch{1}{n}) \not= g(-\bruch{1}{n})[/mm] ist g(x) in (0,0)
> nicht stetig fortsetzbar.
das macht alles keinen Sinn, da [mm] $\pm [/mm] 1/n [mm] \notin \IR^2 \setminus \{(0,0)\}\,,$ [/mm] sondern [mm] $\pm [/mm] 1/n [mm] \in \IR \setminus \{0\}\,.$ [/mm]
Du kannst aber 'Deine Idee' "passend modifizieren", etwa:
$$g(1/n,0)=...$$
und
$$g(-1/n,0)=...$$
Und begründe dann noch, wieso damit dann folgt, dass [mm] $g\,$ [/mm] sich an der
Stelle $(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] nicht stetig fortsetzen lassen kann...
P.S. Für $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist [mm] $|(x,y)|=\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}\,.$ [/mm] Ist etwa [mm] $y=0\,,$
[/mm]
also betrachten wir $(x,0) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] so folgt [mm] $|(x,0)|=...=\sqrt{x^2+0^2}=\sqrt{x^2}=|x|\,.$ [/mm] Dabei ist
aber der Betrag "ganz links" die [mm] $\|.\|_2$-Norm [/mm] des [mm] $\IR^2$, [/mm] und "ganz rechts" ist der Betrag
der übliche Betrag auf [mm] $\IR$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Do 16.05.2013 | | Autor: | SandySan |
> Hallo,
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> > Zeigen Sie, dass [mm]g:\IR^2\backslash \{0\} \to \IR^2[/mm] mit
> >
> > [mm]g(x)=\bruch{1}{|x|}x[/mm]
> >
> > in (0,0) nicht stetig ergänzt werden kann.
> > Meine idee sieht wie folgt aus:
> >
> >
> [mm]g(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{|\bruch{1}{n}|}\bruch{1}{n}=\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}=\bruch{n}{n}=1 \to[/mm]
> > 1
> >
> >
> > [mm]g(-\bruch{1}{n})=\bruch{1}{|-\bruch{1}{n}|}\cdot (-\bruch{1}{n})=\bruch{-\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}=-\bruch{n}{n}=-1 \to[/mm]
> > -1
> >
> > Da [mm]g(\bruch{1}{n}) \not= g(-\bruch{1}{n})[/mm] ist g(x) in (0,0)
> > nicht stetig fortsetzbar.
>
> das macht alles keinen Sinn, da [mm]\pm 1/n \notin \IR^2 \setminus \{(0,0)\}\,,[/mm]
> sondern [mm]\pm 1/n \in \IR \setminus \{0\}\,.[/mm]
> Du kannst aber 'Deine Idee' "passend modifizieren", etwa:
> [mm]g(1/n,0)=...[/mm]
> und
> [mm]g(-1/n,0)=...[/mm]
Da haben sie recht.
Also [mm] g(x,y)=\bruch{x+y}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
Also betrachte ich:
[mm] g(\bruch{1}{n},0)= \bruch{\bruch{1}{n}+0}{\wurzel{\bruch{1}{n}^2+0^2}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n} [/mm] = 1 [mm] \to [/mm] 1
[mm] g(-\bruch{1}{n},0)= \bruch{-\bruch{1}{n}+0}{\wurzel{\bruch{1}{n}^2+0^2}}= \bruch{-\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] -\bruch{n}{n} [/mm] = -1 [mm] \to [/mm] -1
> Und begründe dann noch, wieso damit dann folgt, dass [mm]g\,[/mm]
> sich an der
> Stelle [mm](0,0) \in \IR^2[/mm] nicht stetig fortsetzen lassen
> kann...
Also da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(\bruch{1}{n},0) \not= g(-\bruch{1}{n},0) [/mm] existiert kein grenzwert an der Stelle (0,0). Somit ist die Funktion in der (0,0) nicht Stetig behebar.
> P.S. Für [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] ist
> [mm]|(x,y)|=\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}\,.[/mm] Ist etwa [mm]y=0\,,[/mm]
> also betrachten wir [mm](x,0) \in \IR^2\,,[/mm] so folgt
> [mm]|(x,0)|=...=\sqrt{x^2+0^2}=\sqrt{x^2}=|x|\,.[/mm] Dabei ist
> aber der Betrag "ganz links" die [mm]\|.\|_2[/mm]-Norm des [mm]\IR^2[/mm],
> und "ganz rechts" ist der Betrag
> der übliche Betrag auf [mm]\IR[/mm]!
>
> Gruß,
> Marcel
Vielen dank schonmal, ich hoffe ich hab alles richtig verstanden :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Fr 17.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Zeigen Sie, dass [mm]g:\IR^2\backslash \{0\} \to \IR^2[/mm] mit
> > >
> > > [mm]g(x)=\bruch{1}{|x|}x[/mm]
> > >
> > > in (0,0) nicht stetig ergänzt werden kann.
> > > Meine idee sieht wie folgt aus:
> > >
> > >
> >
> [mm]g(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{|\bruch{1}{n}|}\bruch{1}{n}=\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}=\bruch{n}{n}=1 \to[/mm]
> > > 1
> > >
> > >
> > > [mm]g(-\bruch{1}{n})=\bruch{1}{|-\bruch{1}{n}|}\cdot (-\bruch{1}{n})=\bruch{-\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}=-\bruch{n}{n}=-1 \to[/mm]
> > > -1
> > >
> > > Da [mm]g(\bruch{1}{n}) \not= g(-\bruch{1}{n})[/mm] ist g(x) in (0,0)
> > > nicht stetig fortsetzbar.
> >
> > das macht alles keinen Sinn, da [mm]\pm 1/n \notin \IR^2 \setminus \{(0,0)\}\,,[/mm]
> > sondern [mm]\pm 1/n \in \IR \setminus \{0\}\,.[/mm]
> > Du kannst aber 'Deine Idee' "passend modifizieren", etwa:
> > [mm]g(1/n,0)=...[/mm]
> > und
> > [mm]g(-1/n,0)=...[/mm]
>
> Da haben sie recht.
ich duze Dich, Du darfst das ohne weiteres auch bei mir tun!
> Also [mm]g(x,y)=\bruch{x+y}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
Nein: [mm] $g(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}*\underbrace{(x,y)}_{\in \IR^2}\,.$ [/mm] (Beachte auch, dass $g [mm] \colon \IR^2\setminus \{(0,0)\} \to \red{\;\IR^2\,}$ [/mm] da stand!)
Bzw. Du kannst das auch so schreiben:
[mm] $g(x,y)=\Big(\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\,\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)$ [/mm] für [mm] $(x,y)\not=(0,0)\,.$
[/mm]
Es wäre übrigens doch auch [mm] $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}*(x\;\red{+}\;y) \in \IR$ [/mm] und nicht [mm] $\in \IR^2$!
[/mm]
> Also betrachte ich:
>
> [mm]g(\bruch{1}{n},0)= \bruch{\bruch{1}{n}+0}{\wurzel{\bruch{1}{n}^2+0^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n}[/mm] = 1 [mm]\to[/mm]
> 1
Nein - aber das ist halt ein Folgefehler:
Es gilt einerseits
[mm] $$g(1/n,0)=(\tfrac{1/n}{\sqrt{(1/n)^2+0^2}},\tfrac{0}{\sqrt{(1/n)^2+0^2}})=\underbrace{(1,0)}_{\in \IR^2} \to \underbrace{(1,0)}_{\in \IR^2}\,,$$
[/mm]
aber andererseits (die ... kannst Du sicher selbst ergänzen)
[mm] $$g(\,-\,1/n,0)=... \to [/mm] (-1,0) [mm] \in \IR^2\,.$$
[/mm]
> [mm]g(-\bruch{1}{n},0)= \bruch{-\bruch{1}{n}+0}{\wurzel{\bruch{1}{n}^2+0^2}}= \bruch{-\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}[/mm]
> = [mm]-\bruch{n}{n}[/mm] = -1 [mm]\to[/mm] -1
>
> > Und begründe dann noch, wieso damit dann folgt, dass [mm]g\,[/mm]
> > sich an der
> > Stelle [mm](0,0) \in \IR^2[/mm] nicht stetig fortsetzen lassen
> > kann...
>
> Also da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(\bruch{1}{n},0) \not= g(-\bruch{1}{n},0)[/mm]
> existiert kein grenzwert an der Stelle (0,0).
Ja: Wegen [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} g(\tfrac{1}{n},0)=\limes_{n\rightarrow\infty}(1,0)=(1,0) \not=(-1,0)=\limes_{n\rightarrow\infty}(-1,0)=\limes_{n\rightarrow\infty} g(\,-\,\tfrac{1}{n},0)$ [/mm] kann
[mm] $\lim_{(x,y) \to (0,0)}g(x,y)=\lim_{(0,0) \not=(x,y) \to (0,0)}g(x,y)$ [/mm]
nicht existieren! (Man beachte dabei, dass [mm] $(1/n,\;0) \to [/mm] (0,0)$ und auch
[mm] $(-1/n,\;0) \to [/mm] (0,0)$ gelten!)
Alternativ hättest Du auch folgendes machen können (beispielsweise):
Die Folge [mm] ${(\;\;((-1)^n*1/n,\;0)\;\;)}_n$ [/mm] strebt gegen $(0,0) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] aber
[mm] $$\lim_{n \to \infty}g((-1)^n*\tfrac{1}{n},\;0)$$
[/mm]
existiert nicht, weil...?
(Aber wie gesagt: Das wäre eine mögliche ALTERNATIVE!)
> Somit ist die
> Funktion in der (0,0) nicht Stetig behebar.
>
> > P.S. Für [mm](x,y) \in \IR^2[/mm] ist
> > [mm]|(x,y)|=\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}\,.[/mm] Ist etwa [mm]y=0\,,[/mm]
> > also betrachten wir [mm](x,0) \in \IR^2\,,[/mm] so folgt
> > [mm]|(x,0)|=...=\sqrt{x^2+0^2}=\sqrt{x^2}=|x|\,.[/mm] Dabei ist
> > aber der Betrag "ganz links" die [mm]\|.\|_2[/mm]-Norm des [mm]\IR^2[/mm],
> > und "ganz rechts" ist der Betrag
> > der übliche Betrag auf [mm]\IR[/mm]!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Vielen dank schonmal, ich hoffe ich hab alles richtig
> verstanden :)
Leider noch nicht ganz. Wie sieht's jetzt aus? Klar(er)?
P.S. Nur zur Ergänzung: Wenn man $g [mm] \colon \IR^2 \setminus \{(0,0)\} \to \IR^2$ [/mm] hat, dann sollte irgendwo auch
die Notation [mm] $g(x,y)\,$ [/mm] definiert werden:
Schreiben wir (wie wir es oben stets getan haben) Elemente des [mm] $\IR^2$ [/mm] als
Zeilenvektoren, also $p [mm] \in \IR^2 \iff \exists [/mm] x,y [mm] \in \IR:\;\;p=(x,y)\,,$ [/mm] so würden wir
für $p=(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] (wie oben) ja den Funktionswert von [mm] $g\,$ [/mm] an der Stelle
[mm] $p\,$ [/mm] in üblicher Notation als [mm] $g(p)\,$ [/mm] notieren. Mit [mm] $p=(x,y)\,$ [/mm] sollte man also eigentlich
[mm] $$g(p)=g(\red{(\,}x,y\red{\,)})$$
[/mm]
schreiben. Und man definiert halt, weil hier(!) die roten Klammern eigentlich
keinen Mehrwert haben:
[mm] $$g(x,y):=g(\red{(\,}x,y\red{\,)})\,.$$
[/mm]
Deswegen nochmal: Für [mm] $p=\red{(\,}x,y\red{\,)} \not=(0,0)$ [/mm] ist hier (im Folgenden haben
die roten Klammern ihren Wert/Sinn!)
[mm] $$g(p)=\frac{p}{\|p\|_2}=\frac{\red{(\,}x,y\red{\,)}}{\|\red{(\,}x,y\red{\,)}\|_2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}*\red{(\,}x,y\red{\,)} \in \IR^2\,,$$
[/mm]
Hier:
[mm] $$g(p)=g(\red{(\,}x,y\red{\,)})$$
[/mm]
können wir sie uns sparen, also genauer:
[mm] $$g(x,y)\stackrel{\text{per Def.}}{=}g(\underbrace{\red{(\,}x,y\red{\,)}}_{=p \in \IR^2})=...=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}*\red{(\,}x,y\red{\,)} \in \IR^2\,.$$
[/mm]
Ich weiß nicht genau, wo Deine Probleme dabei entstanden sind, daher habe
ich das Ganze lieber etwas (vielleicht unnötig) ausführlich(er) nochmal
ergänzt!
P.P.S. Eigentlich ist die Konvergenz im [mm] $\IR^2$ [/mm] die Konvergenz bzgl. der durch
[mm] $\|.\|_2$ [/mm] induzierten Metrik. Diese ist aber gleichwertig mit "koordinatenweiser
Konvergenz (![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17)" (beachte: Die "Koordinatenfolgen" sind Folgen
in [mm] $\IR$!).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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