Stetig in den ganzen Zahlen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | | Suchen einer nur auf [mm] \IZ [/mm] stetigen Funktion [mm] f:\IR\to\IR. [/mm] |
Hallo zusammen :),
mein Übungsmarathon hat eine neue zu überwindende Hürde aufgedeckt. Ich versuche eine Funktion mit dem Def. in den reelen Zahlen zu finden, die nur in den ganzen Zahlen stetig ist. Merkwürdigerweise kommen mir da nur solche in den Sinn, die eben nicht dort stetig sind. Zum Beispiel die Gaußklammer-Funktion. Könnte man vielleicht irgendwie die Umkehrung dieser Gaußklammer-Funktion bewirken oder irgendwas mit der Division mit Rest reißen? Ich frage mich nämlich so langsam, ob es überhaupt auf [mm] \IZ [/mm] stetige Funktionen gibt...
Eine Sache, die ich überlegt habe wäre z.B. so etwas:
f(x)= x, für x [mm] \in \IZ [/mm] und ln(-1) für x [mm] \not\in \IZ, [/mm]
sodass man irgendwie die "Unstetigkeit um die ganzen Zahlen herum zu basteln"
Viele Grüße und vielen Dank im Voraus
Orchis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm ne überall unstetige fkt wie f(x)=1 [mm] x\in\IQ [/mm] 0 sonst , dann multiplizier sie mit ner fkt die an den ganzen zahlen eine kräftge nst hat, wie [mm] g(x==sin^2(\pi*x) [/mm] und du bist -bis auf den Beweis- am Ziel.
gruss leduart
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das heißt also:
die Funktion f(x)= 1 für x [mm] \in \IQ [/mm] und f(x)= 0 für x [mm] \in \IR\setminus\IQ
[/mm]
ist überall unstetig.
Also dann [mm] h(x)=f(x)\*g(x) [/mm] mit g(x):= sin²( [mm] \pi [/mm] x)
[mm] \Rightarrow [/mm] h(x)=sin²( [mm] \pi [/mm] x) für [mm] x\in \IQ [/mm] und h(x)=0 für x [mm] \in \IR\setminus\IQ
[/mm]
ist stetig in genau den Punkten [mm] x_{0} \in \IZ \subset \IR [/mm] ?
Wenn ich das so richtig verstanden habe hapert es jetzt an dem Beweis.
Also ich würde gerne mittels [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \partial [/mm] - Kriterium beweisen.
Sei also [mm] \varepsilon [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|= [/mm] .....
1. Fall x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] und [mm] x_{0} \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|=|0|=0< \varepsilon [/mm] ist klar, da [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gewählt.
2. Fall x [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] x_{0} \in \IQ [/mm] analog zu 1.Fall.
3.Fall x [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] x_{0} \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|= |sin²(\pi [/mm] x)-0|= [mm] |sin²(\pi [/mm] x)| = ....
(nun komme ich hier nicht weiter. Ich weiß ich muss ein [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] x_{0} [/mm] wöhlen, sodass am Ende da steht:
[mm] \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|< \varepsilon
[/mm]
nur wie?
ich bin am verzweifeln.
der 4. Fall wäre dann genauso, also
4.Fall x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] und [mm] x_{0} \in \IQ [/mm]
[mm] \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|= |0-sin²(\pi x)|=|sin²(\pi [/mm] x)| = ....
ich hoffe du kannst mir helfen.
Liebe Grüße :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Sa 12.11.2011 | | Autor: | MathSucks |
ah ich hab schon einen Fehler entdeckt, das mit dem 2. Fall stimmt ja schonmal nicht, also da müsste dann stehen
[mm] |f(x)-f(x_{0})|= |sin²(\pix)-sin²(\pix_{0})| [/mm] ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo MathSucks
Bitte such dir nen anderen Namen aus, dem hier antworte ich nicht gern!
> das heißt also:
> die Funktion f(x)= 1 für x [mm]\in \IQ[/mm] und f(x)= 0 für x [mm]\in \IR\setminus\IQ[/mm]
>
> ist überall unstetig.
>
> Also dann [mm]h(x)=f(x)\*g(x)[/mm] mit g(x):= sin²( [mm]\pi[/mm] x)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] h(x)=sin²( [mm]\pi[/mm] x) für [mm]x\in \IQ[/mm] und h(x)=0
> für x [mm]\in \IR\setminus\IQ[/mm]
> ist stetig in genau den Punkten
> [mm]x_{0} \in \IZ \subset \IR[/mm] ?
>
> Wenn ich das so richtig verstanden habe hapert es jetzt an
> dem Beweis.
> Also ich würde gerne mittels [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\partial[/mm] -
> Kriterium beweisen.
> Sei also [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> [mm]\Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|=[/mm] .....
> 1. Fall x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] und [mm]x_{0} \in \IR[/mm] \ [mm]\IQ \Rightarrow |f(x)-f(x_{0}|=|0|=0< \varepsilon[/mm]
> ist klar, da [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gewählt.
> 2. Fall x [mm]\in \IQ[/mm] und [mm]x_{0} \in \IQ[/mm] analog zu 1.Fall.
Das ist einfach falsch! du kannst zwar [mm] x_0\in \IQ [/mm] wählen, aber nicht x! denn für ALLE [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] soll doch gelten [mm] |f(x)-f(x_0)|< \epsilon! [/mm] in jeder Umgebung von [mm] x_0 [/mm] findest du Zahlen aus [mm] \IQ [/mm] UND Zahlen aus [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ
[/mm]
das gilt für [mm] x_0 [/mm] reell und rational dann hast du in jeder Umgebung von [mm] x_0 |h(x)-h(x_0)|=sin^2\pi*x_0>0 [/mm] also nicht < beliebiges [mm] \epsilon [/mm] und Stellen mit [mm] |h(x)-h(x_0)|=0
[/mm]
also ist es überall unstetig, bis auf die Stellen x=n mit [mm] sin^2(n\pi)=0
[/mm]
und jetzt muss du nur noch die Umgebung von x=z [mm] z\in \IZ [/mm] ansehen, mit h(z)=0
Gruss leduart
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jetzt verstehe ich nur Bahnhof. Was ist falsch? Ich habe kurz berichtigt dass ich mich vertan habe beim 2. Fall. Ist diese Fallunterscheidung allgemein falsch oder was? was du meintest mit x ist nicht umbeding [mm] \in \IQ [/mm] hätte ich doch im 3. und 4. Fall dann gezeigt?
Ich stehe auf dem Schlauch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch die unstetigkeit überall, außer in x=z zeigen.
d,h. es gibt kein [mm] \delta [/mm] so dass für alle [mm] |x-x–0|<\delta |h(x)-h(x_0)|<\epsilon, \epsilon>0 [/mm] beliebig,
jetzt hast du ne lange Reihe von Fallunterscheidungen gemacht, [mm] |x-x–0|<\delta [/mm] seh ich nirgends.
du musst a) [mm] x_0 [/mm] rational nicht natürlich , b) rein reell unterscheden, und dann sagen, warum es jeweils kein [mm] \delta [/mm] gibt.
(Unstetigkeit ist leichter mit Folgenstetigkeit zu zeigen, du brauchst nur 2 folgen [mm] x_n [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] wo die [mm] |h(x_n)-h(x_0)| [/mm] gegen verschiedene werte gehen.)
vielleicht hast du das richtige gemeint,aber für mich zu unklar dargestellt?
Das einzige was zu zeigen bleibt ist die stetigkeit in z
Gruss leduart
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