Stetige Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Do 09.09.2010 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | Ist f in (0,0) differenzierbar?
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \\ 0\end{cases} [/mm] für gleich bzw. ungleich (0,0) |
Hallo,
also zuerst mal haben wir die Funktion partiell abgeleitet und haben dann gesagt, dass f für ungleich (0,0) stetig partiell differenzierbar ist und damit auch differenzierbar. Das ist mir ja alles noch klar.
Dann kommt der Punkt (0,0), dort haben wir den Gradienten als Grenzwert der beiden partiellen Ableitungen gebildet und anschließend den ausführlichen Beweis geführt und einen "Weg" gefunden, für den der Grenzwert dieses Terms (ihr wisst sicherlich was ich meine) nicht 0 ergibt -> nicht differenzierbar.
So, das war jetzt aber nicht so wichtig - meine eigentliche Frage: Warum ist f an der Stelle (0,0) nun nicht stetig partiell differenzierbar? Haben uns nie um den Begriff der STETIGEN partiellen Differenzierbarkeit gekümmert, daher bin ich da etwas ratlos. Für ungleich (0,0) ergibt das für mich soweit Sinn, dass wohl alle "normalen" Funktionen stetig partiell differenzierbar sind.
Nun hatten wir folgende partielle Ableitungen raus:
[mm] df/dx_{1}=-\bruch{2x_{1}x_{2}^{3}}{(x_{1}^{2})^2}
[/mm]
[mm] df/dx_{2}=-\bruch{3x_{1}^{2}+x_{2}^{4}}{(x_{1}^{2})^2}
[/mm]
Gradient ist (0,1).
Wie erkenne ich nun die Stetigkeit? Dazu muss ja der jeweilige Teil des Gradients gleich der Ableitung an der Stelle (0,0) sein, richtig? Und wie erhalte ich diese Ableitung an (0,0) nun? Offensichtlich ist diese ja eben nicht 0 bzw. 1...
Vielen Dank!
Oli
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Huhu,
erstmal sind deine Ableitungen falsch.
edit: Und es fehlt die Angabe der Ableitung im Punkt 0....
Aber das ändert nichts an der Argumentation:
Du prüfst halt, ob deine partiellen Ableitungen stetig sind. Offensichtlich sind sie das auf jeden Fall in jedem Punkt [mm] $(x_1,x_2) \not= [/mm] (0,0)$ (warum?), insofern musst du sie in (0,0) auf Stetigkeit überprüfen.
Wie du das erkennst.... nunja, Übung, Übung, Übung und dann seine Vermutung beweisen.
MFG
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 09.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Ja, unten im Nenner fehlt das [mm] x_{2}, [/mm] aber das war ja klar, sonst hätte ich ja gleich hoch 4 schreiben können. Sorry!
Ja, eben, es fehlt die Ableitung im Punkt 0, genau das ist ja der Punkt - wie komme ich auf diese? Anschließend muss ich ja nur noch die partielle Ableitung im Punkt 0 mit dem entsprechenden Teil des Gradienten vergleichen - wenn gleich, dann stetig, wenn ungleich, dann nicht stetig. Oder nicht?
Stetige partielle Differenzierbarkeit für ungleich (0,0) ist ja offensichtlich.
Danke!
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> Ja, unten im Nenner fehlt das [mm]x_{2},[/mm] aber das war ja klar,
> sonst hätte ich ja gleich hoch 4 schreiben können.
> Sorry!
Ok.
> Ja, eben, es fehlt die Ableitung im Punkt 0, genau das ist
> ja der Punkt - wie komme ich auf diese?
Die musst du wohl oder übel über den Differenzenquotienten ausrechnen 
> Anschließend muss ich ja nur noch die partielle Ableitung im Punkt 0 mit dem
> entsprechenden Teil des Gradienten vergleichen - wenn
> gleich, dann stetig, wenn ungleich, dann nicht stetig. Oder
> nicht?
Naja, du musst halt einfach prüfen, ob die partielle Ableitung im gesamten, also am beispiel von [mm] x_1:
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1} [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{2x_1x_2^3}{{(x_1^2 + x_2^2)}^2}, & \mbox{für }(x_1,x_2)\not=(0,0) \\ \text{deine Ableitung im Punkt 0}, & \mbox{für } (x_1,x_2) = (0,0) \end{cases}
[/mm]
stetig ist.
Das musst du nicht so kompliziert über den Gradienten ausdrücken 
> Stetige partielle Differenzierbarkeit für ungleich (0,0)
> ist ja offensichtlich.
Jop.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 09.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Aber den Gradienten haben wir doch anhand des Differenzenquotienten ausgerechnet... [mm] (0-0)/x_{1} [/mm] geht gegen 0, [mm] x_{2}^{3}/x_{2}^{3} [/mm] geht gegen 1, das sind dann die beiden partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0)...
Und genau jetzt wird mir mein Denkfehler klar - ich dachte die ganze Zeit, das wären schon die Grenzwerte der Ableitungen, aber da sind wir ja über f gegangen und nicht über f'. Verdammt
Sprich, jetzt muss ich noch die partiellen Ableitungen gegen 0 laufen lassen und mit 0 bzw. 1 vergleichen?
Welchen "Pfad" wähle ich dazu? Also aus welcher Richtung sollte ich gegen 0 gehen?
Danke!
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> Aber den Gradienten haben wir doch anhand des
> Differenzenquotienten ausgerechnet... [mm](0-0)/x_{1}[/mm] geht
> gegen 0, [mm]x_{2}^{3}/x_{2}^{3}[/mm] geht gegen 1, das sind dann
> die beiden partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0)...
Ok, was du hier machst, versteh ich nicht.
Auf jedenfall sind das NICHT die partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0).
Also 1 stimmt einmal, die 0 nicht.
Rechne doch mal vor hier.
> Und genau jetzt wird mir mein Denkfehler klar - ich dachte
> die ganze Zeit, das wären schon die Grenzwerte der
> Ableitungen, aber da sind wir ja über f gegangen und nicht
> über f'. Verdammt
Korrekt.
Einmal rechnest du den GW des Differenzenquotienten von f aus und einmal den Grenzwert von f'!
> Sprich, jetzt muss ich noch die partiellen Ableitungen
> gegen 0 laufen lassen und mit 0 bzw. 1 vergleichen?
Korrekt.
> Welchen "Pfad" wähle ich dazu? Also aus welcher Richtung
> sollte ich gegen 0 gehen?
Nunja, für Stetigkeit muss JEDER Pfad das gleiche Ergebnis liefern.
Für Unstetigkeit reichen dir 2 verschiedene.
Ein Patentrezept gibts da leider nicht.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 09.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Ich kann also bspw. [mm] x_{2}=0 [/mm] und [mm] x_{1}=t [/mm] wählen, das bringt mir als Grenzwert der part. Ableitung nach [mm] x_{2} [/mm] dann [mm] 0/t^8 [/mm] mit t->0, also wohl Unendlich, was ja ungleich 1 ist. Damit nach [mm] x_{2} [/mm] nicht stetig partiell differenzierbar. Richtig?
Und die 0 bzw. die 1 habe ich einfach durch Einsetzen raus:
Für [mm] x_{1}: \bruch{f(x_{1},0)-f(0,0)}{x_{1}-0}=\bruch{0-0}{x_{1}}=0
[/mm]
Und die p.A. für [mm] x_{2} [/mm] schien ja zu stimmen?
Danke!
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Hiho,
> Für [mm]x_{1}: \bruch{f(x_{1},0)-f(0,0)}{x_{1}-0}=\bruch{0-0}{x_{1}}=0[/mm]
>
> Und die p.A. für [mm]x_{2}[/mm] schien ja zu stimmen?
Jop, stimmt so. Hatte nen Denkfehler.
> Ich kann also bspw. [mm]x_{2}=0[/mm] und [mm]x_{1}=t[/mm] wählen, das bringt
> mir als Grenzwert der part. Ableitung nach [mm]x_{2}[/mm] dann [mm]0/t^8[/mm]
> mit t->0, also wohl Unendlich, was ja ungleich 1 ist.
*Argh*
Gewöhn dir mal bitte sauberes Aufschreiben an, das vereinfacht die Sache.
Also machen wir das mal sauber (nächstemal bitte du auch so)
Es gilt:
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{3x_2^2(x_1^2 + x_2^2) - x_2^3*2x_2}{{(x_1 + x_2)}^2} [/mm] = [mm] \bruch{3x_2^4 + 3x_2^2x_1^2 - 2x_2^4}{{(x_1 + x_2)}^2} [/mm] = [mm] \bruch{x_2^4 - 3x_1^2x_2^2}{{(x_1 + x_2)}^2}$
[/mm]
Ergo fehlte da bei dir der gemischte Term.
Und nun nochmal neu begründen bitte.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 09.09.2010 | | Autor: | oli_k |
In deiner Ableitung stimmt der Nennerexponent und am Ende das Minus nicht, sonst hab ich das auch so.
Jetzt setz' da doch mal ein, was ich vorgeschlagen habe - das bringt mir im Zähler ne 0, im Nenner was mit [mm] t^4 [/mm] (ja, [mm] t^8 [/mm] war falsch, t+t sind eben nicht t² ), also im Endeffekt 0 (wie ich gerade auf Unendlich kam, weiß ich auch nicht), was ja ungleich 1 ist. -> Beweis fertig?
Sorry für das Aufschreiben - habe leider momentan viel Lernstress und ich hoffe, du verstehst mich auch so.
Danke!
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> In deiner Ableitung stimmt der Nennerexponent und am Ende
> das Minus nicht, sonst hab ich das auch so.
Stimmt, wollt nur sehen, ob du aufpasst
Korrekt wärs dann:
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{x_2^4 + 3x_1^2x_2^2}{{(x_1^2 + x_2^2)}^2} [/mm] $
> Jetzt setz' da doch mal ein, was ich vorgeschlagen habe -
> das bringt mir im Zähler ne 0, im Nenner was mit [mm]t^4[/mm] (ja,
> [mm]t^8[/mm] war falsch, t+t sind eben nicht t² ), also im
> Endeffekt 0 (wie ich gerade auf Unendlich kam, weiß ich
> auch nicht),
Du kamst darauf, weil bei dir im Zähler keine Null stand
> was ja ungleich 1 ist. -> Beweis fertig?
Jop, zumindest für [mm] x_2.
[/mm]
> Sorry für das Aufschreiben - habe leider momentan viel
> Lernstress und ich hoffe, du verstehst mich auch so.
Verstehen ja, aber damit bleibt die Arbeit an mir hängen, und ob ich darauf Lust hab......
MFG,
Gono.
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 09.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Alles klar!
Nun geht es um die Funktion [mm] f(x_{1},x_{2})=\bruch{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, [/mm] wieder das gleiche mit 0 für (0,0).
Wenn ich nun stetige totale Differenzierbarkeit zeigen will - muss ich dann für beide Achsrichtungen die stetige partielle Differenzierbarkeit über den bekannten Delta/Epsilon-Stetigsbeweis durchführen oder gibt es da noch bessere Methoden? Die partielle Differenzierbarkeit ist bereits bewiesen, der Gradient bestimmt und anschließend noch die totale Differenzierbarkeit über das Schachtelungsprinzip bewiesen.
Kann ich mit den Angaben was anfangen oder muss ich nun noch die partiellen Ableitungen bilden und diese dann mit besagtem Stetigsbeweis mit dem Gradienten vergleichen?
Danke!
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> Alles klar!
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> Nun geht es um die Funktion
> [mm]f(x_{1},x_{2})=\bruch{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},[/mm]
> wieder das gleiche mit 0 für (0,0).
>
> Wenn ich nun stetige totale Differenzierbarkeit zeigen will
> - muss ich dann für beide Achsrichtungen die stetige
> partielle Differenzierbarkeit über den bekannten
> Delta/Epsilon-Stetigsbeweis durchführen oder gibt es da
> noch bessere Methoden?
Das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] nutzt man selten, wie du vorhin ja auch nicht.
Man nimmt vielmehr das Folgenkriterium.
Und ja, man prüft damit, ob die partiellen Ableitungen überall stetig sind.
> Die partielle Differenzierbarkeit
> ist bereits bewiesen, der Gradient bestimmt und
> anschließend noch die totale Differenzierbarkeit über das
> Schachtelungsprinzip bewiesen.
Schachtelungsprinzip?
> Kann ich mit den Angaben was anfangen oder muss ich nun
> noch die partiellen Ableitungen bilden und diese dann mit
> besagtem Stetigsbeweis mit dem Gradienten vergleichen?
Wenn du auf anderem Weg gezeigt hast, dass die Funktion total Differenzierbar ist, ist sie automatisch auch partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen sind stetig!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Do 09.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Ich habe doch auch nur die NICHT-Stetigkeit bewiesen, oder? Dafür reicht ja wie gesagt eine Richtung. Aber für die Stetigkeit funktioniert das ja nicht so einfach... Und auch mit dem Folgenkriterium kann ich doch nur die Nicht-Stetigkeit beweisen?
Mit Schachtelungsprinzip meine ich:
[mm] \bruch{f(x_{1},x_{2})-f(0,0)-0*x_{1}-0*x{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \le [/mm] ... [mm] \le x_{2} [/mm] -> 0
Und für dieses Prinzip brauche ich ja den Gradienten und mit dem habe ich dann die partielle Differenzierbarkeit schon bewiesen, da hilft es mir wenig, wenn das gleiche aus der totalen Differenzierbarkeit nochmals folgt, oder?
Aus totaler Differenzierbarkeit folgt aber doch nicht stetige partielle Differenzierbarkeit? Es ist doch nur stetiger partielle Differenzierbarkeit mit stetiger totalen Differenzierbarkeit äquivalent...
In meinem Falle habe ich aber nur partielle und totale Differenzierbarkeit - wie schließe ich daraus am effektivsten auf stetige Differenzierbarkeit?
Danke!
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> Ich habe doch auch nur die NICHT-Stetigkeit bewiesen, oder?
In der letzten Aufgabe ja.
> Dafür reicht ja wie gesagt eine Richtung.
Wie eine Richtung?
> Aber für die Stetigkeit funktioniert das ja nicht so einfach... Und auch
> mit dem Folgenkriterium kann ich doch nur die
> Nicht-Stetigkeit beweisen?
Öhm nein?
Folgenkriterium und Epsilon-Delta-Kriterium sind äquivalent.
> Mit Schachtelungsprinzip meine ich:
>
> [mm]\bruch{f(x_{1},x_{2})-f(0,0)-0*x_{1}-0*x{2}}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \le[/mm]
> ... [mm]\le x_{2}[/mm] -> 0
>
> Und für dieses Prinzip brauche ich ja den Gradienten und
> mit dem habe ich dann die partielle Differenzierbarkeit
> schon bewiesen, da hilft es mir wenig, wenn das gleiche aus
> der totalen Differenzierbarkeit nochmals folgt, oder?
Moment moment.
1.) Für den Gradienten brauchst du ja die partielle Ableitung
2.) Wenn du zeigst, dass eine lineare Abbildung L existiert, so dass [mm] $\bruch{f(x_{1},x_{2})-f(0,0)-L*(x_1,x_2)^T}{\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \to [/mm] 0$ für [mm] $(x_1,x_2) \to [/mm] (0,0)$, dann weißt du sofort, dass die Funktion an der Stelle (0,0) total differenzierbar ist.
3.) Dann folgt daraus auch SOFORT, dass die partiellen Ableitungen in (0,0) existieren (aber nicht zwangsweise stetig sind)
> Aus totaler Differenzierbarkeit folgt aber doch nicht
> stetige partielle Differenzierbarkeit?
Korrekt
> Es ist doch nur stetiger partielle Differenzierbarkeit mit stetiger totalen
> Differenzierbarkeit äquivalent...
Ja.
> In meinem Falle habe ich aber nur partielle und totale
> Differenzierbarkeit - wie schließe ich daraus am
> effektivsten auf stetige Differenzierbarkeit?
Indem du dir die partiellen Ableitungen anschaust und auf Stetigkeit untersuchst.
Darum versteh ich auch nicht, warum du unbedingt immer über den Gradienten immer sofort die totale Differenzierbarkeit prüfst.
Ich würde bei solchen Aufgaben immer wie folgt vorgehen
1.) Partielle Ableitungen bilden
2.) Stetigkeit der Ableitungen überprüfen (meistens mit Folgenkriterium)
3.) Sind sie es, weiss ich SOFORT, dass die Funktion stetig total differenzierbar ist
4.) Wenn notwendig, in den Unstetigkeitspunkten auf totale Differenzierbarkeit prüfen
Dann sparst du dir auch eine Menge Arbeit.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 09.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Ok, wir kennen das Folgenkriterium nur, um die Nicht-Stetigkeit zu beweisen - also meist die Folge (1/n,0) und dann ein Ergebnis ungleich 0. Das komplette Folgenkriterium haben wir nie gelernt (da man nie ALLE Folgen prüfen könne?) und auch in den Klausuren steht meist bei, dass das Delta/Epsilon-Kriterium anzuwenden ist.
Dein Vorgehen verstehe ich aber! Wenn ich aber nun nur Stetigkeit, partielle Differenzierbarkeit und totale (nicht stetige) Differenzierbarkeit untersuchen soll, ist mein Vorgehen doch schneller, oder? Da spare ich mir ja das Bilden der partiellen Ableitungen. Den Gradienten brauche ich ja ohnehin für beide Vorgehensweisen (-> Stetigkeit der Ableitungen überprüfen).
Also
1.) Stetigkeit von f überprüfen mit Delta/Epsilon-Kriterium -> Stetigkeit
2.) Gradient bilden für (0,0) -> partielle Differenzierbarkeit
3.) "Bruch mit Gradienten" (wie heißt der Beweis?) -> totale Differenzierbarkeit
Bei uns ist ohnehin nur (0,0) immer der Unstetigkeitspunkt, für den kompletten anderen Bereich schreiben wir halt immer "stetig/differenzierbar als Zusammensetzung stetig partiell differentierbarer Funktionen".
Danke!
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> Ok, wir kennen das Folgenkriterium nur, um die
> Nicht-Stetigkeit zu beweisen - also meist die Folge (1/n,0)
> und dann ein Ergebnis ungleich 0. Das komplette
> Folgenkriterium haben wir nie gelernt (da man nie ALLE
> Folgen prüfen könne?) und auch in den Klausuren steht
> meist bei, dass das Delta/Epsilon-Kriterium anzuwenden
> ist.
Was Unfug ist, aber egal.
Insbesondere prüfst du bei deiner Methode mit der totalen Differenzierbarkeit ja auch alle Folgen, indem du zeigst, dass der Grenzwert gegen Null geht, für ALLE Folgen die gegen (0,0) gehen.
> Dein Vorgehen verstehe ich aber! Wenn ich aber nun nur
> Stetigkeit, partielle Differenzierbarkeit und totale (nicht
> stetige) Differenzierbarkeit untersuchen soll, ist mein
> Vorgehen doch schneller, oder? Da spare ich mir ja das
> Bilden der partiellen Ableitungen. Den Gradienten brauche
> ich ja ohnehin für beide Vorgehensweisen (-> Stetigkeit
> der Ableitungen überprüfen).
Hm, jo.
> Also
> 1.) Stetigkeit von f überprüfen mit
> Delta/Epsilon-Kriterium -> Stetigkeit
> 2.) Gradient bilden für (0,0) -> partielle
> Differenzierbarkeit
> 3.) "Bruch mit Gradienten" (wie heißt der Beweis?) ->
> totale Differenzierbarkeit
Das ist einfach der Nachweis über die Definition.
> Bei uns ist ohnehin nur (0,0) immer der Unstetigkeitspunkt,
> für den kompletten anderen Bereich schreiben wir halt
> immer "stetig/differenzierbar als Zusammensetzung stetig
> partiell differentierbarer Funktionen".
Nunja, es ist aber gut, das Verfahren auch für andere Punkte verstanden zu haben!
Also im Allgemeinen.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 09.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Alles klar, ich glaube, das war's erstmal!
Vielen Dank für deine Mühen
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