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Forum "Stetigkeit" - Stetige Fkt.
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Stetige Fkt.: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Mi 19.05.2010
Autor: SnafuBernd

Aufgabe
Es sei a,b [mm] \in \IR [/mm] und f : [mm] \IR ->\IR [/mm]  sei definiert durch:
f(x) = [mm] \frac{x^4 -10x^2 + 9}{x^2 -4x +3} [/mm] für x [mm] \in \IR [/mm] \  {1,3}
          a für x =1
          b für x = 3


Können a und b so gewählt werden, dass f stetig auf [mm] \IR [/mm] ist?

Einen angenehmen Abend,

so... :
[mm] \frac{x^4 -10x^2 + 9}{x^2 -4x +3} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] +4x + 3 (Polynomdivision)
wegen [mm] \limes_{x\rightarrow 1} x^2 [/mm] +4x + 3 = 8
[mm] \limes_{x\rightarrow 3} x^2 [/mm] +4x + 3 = 24
muss gelten :a =  f(1) = 8 und b= f(3) = 24

Snafu

        
Bezug
Stetige Fkt.: kürzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Mi 19.05.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Es sei a,b [mm]\in \IR[/mm] und f : [mm]\IR ->\IR[/mm]  sei definiert durch:
>  f(x) = [mm]\frac{x^4 -10x^2 + 9}{x^2 -4x +3}[/mm] für x [mm]\in \IR[/mm] \  
> {1,3}
>            a für x =1
> b für x = 3
>  
>
> Können a und b so gewählt werden, dass f stetig auf [mm]\IR[/mm]
> ist?
>  Einen angenehmen Abend,
>  
> so... :
>  [mm]\frac{x^4 -10x^2 + 9}{x^2 -4x +3}[/mm] = [mm]x^2[/mm] +4x + 3
> (Polynomdivision)
>  wegen [mm]\limes_{x\rightarrow 1} x^2[/mm] +4x + 3 = 8
>  [mm]\limes_{x\rightarrow 3} x^2[/mm] +4x + 3 = 24
> muss gelten :a =  f(1) = 8 und b= f(3) = 24
>  
> Snafu


Guten Abend Snafu,

zerlege den Zähler und den Nenner des Funktionsterms
komplett in Faktoren (das ist leicht zu schaffen) und
vergleiche den Funktionsterm mit seiner gekürzten
Version. Dabei muss man zwar betr. Definitionsbereich
vorsichtig sein, aber die Aufgabe sollte sich durch diese
Überlegungen leicht lösen lassen.


LG     Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Stetige Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Do 20.05.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

wie heißt das, dass meine Lösung komplett falsch ist, habe sie analog zu unseren Übungen gemacht und dachte deswegen müsste es so stimmen?

Snafu

Bezug
                        
Bezug
Stetige Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Do 20.05.2010
Autor: abakus


> Hi,
>  
> wie heißt das, dass meine Lösung komplett falsch ist,
> habe sie analog zu unseren Übungen gemacht und dachte
> deswegen müsste es so stimmen?

Hallo,
das sieht gut aus. Ich ergänze mal ein Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus

>  
> Snafu


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Stetige Fkt.: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Do 20.05.2010
Autor: Steffi21

Hallo abakus,

a=8 und b=24 kann geschrieben werden, aber nicht a=f(1) und b=f(3), zum Definitionsbereich der Funktion gehören 1 und 3 nicht

Steffi

Bezug
                                        
Bezug
Stetige Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Do 20.05.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

der angegebene Definitionsbereich gilt doch nur für den Bruchterm. Es gilt aber f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , d.h. 1 und 3 liegen drinne, uns somit ist auch a=f(1) richtig.
Richtig?
Snafu

Bezug
                                                
Bezug
Stetige Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Do 20.05.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi,
>  
> der angegebene Definitionsbereich gilt doch nur für den
> Bruchterm. Es gilt aber f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , d.h. 1 und 3 liegen
> drinne, uns somit ist auch a=f(1) richtig.
>  Richtig?
>  Snafu


Ja, das ist richtig !
Steffi hat wohl die zusätzlichen Teile der Definition von f
übersehen.


LG     Al-Chw.


Bezug
                        
Bezug
Stetige Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Do 20.05.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi,
>  
> wie heißt das, dass meine Lösung komplett falsch ist,
> habe sie analog zu unseren Übungen gemacht und dachte
> deswegen müsste es so stimmen?
>  
> Snafu



Hallo Snafu,

entschuldige bitte, dass ich zuerst deine Ergebnisse gar
nicht geprüft hatte: sie stimmen natürlich.
Ich dachte einfach, dass man zuallererst den Funktions-
term kürzen sollte, um keine komplizierte Grenzwert-
rechnung zu brauchen.


LG    Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
Stetige Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Do 20.05.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

kein Ding, hatte es auch so verstanden, war jedoch trotzdem verwirrt... :)

Snafu

Bezug
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