Stetige Fortsetzbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, dass die Grenze
[mm] \limes_{(x, y)\rightarrow\((0,0)} \bruch{\partial}{\partial*x} \wurzel{x²+y²}
[/mm]
nicht existiert, d. h. die Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{\partial}{\partial*x} \wurzel{x²+y²} [/mm] ist nicht stetig in (0,0) fortsetzbar. |
Hallo,
ich bin mal wieder am Verzweifeln mit meinen Hausübungen. Ich weiß zwar ungefähr, was stetig fortsetzbar heißt, aber mir ist in diesem Fall schon nicht klar, was überhaupt die Funktion ist. Ich dachte, dieses Zeichen [mm] \bruch{\partial}{\partial*x} [/mm] bedeutet die Ableitung.
Heißt das, ich muss die Funktion erst mal nach x ableiten, bevor ich irgendwas anderes machen kann?
Die Ableitung nach x wäre dann [mm] f_{x}=\bruch{x}{\wurzel{x²+y²}}, [/mm] oder ist das falsch?
Und wie muss ich danach weitermachen? Es wäre wirklich super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Dankeschön,
Katrin
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internet-Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 11.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Ist hier keiner, der mir dabei weiterhelfen kann? Ich nehme auch gerne eine Schritt-für-Schritt-Anleitung an!
Ich bräuchte den Lösungsweg für diese Aufgabe wirklich dringend. Wäre wirklich super!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 11.06.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo,
ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. Wenn nicht frag einfach nochmal nach.
Gruß
Frank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 So 11.06.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo Katrin
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*x}[/mm] bedeutet die Ableitung.
> Heißt das, ich muss die Funktion erst mal nach x ableiten,
> bevor ich irgendwas anderes machen kann?
> Die Ableitung nach x wäre dann
> [mm]f_{x}=\bruch{x}{\wurzel{x²+y²}},[/mm] oder ist das falsch?
das ist genau richtig. Die Funktion, um die es geht ist also [mm] f(x,y)=\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}. [/mm] Stetig fortsetzbar heißt jetzt, das für jede Folge [mm] (x_n,y_n) [/mm] ->(0,0) [mm] f(x_n,y_n) [/mm] konvergiert und zwar für alle Folgen gegen den gleichen Grenzwert. Dies ist aber nicht erfüllt. Betrachte dazu die Folgen [mm] (\bruch{1}{n},0) [/mm] und [mm] (0,\bruch{1}{n}). [/mm] Im ersten Fall gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)=\bruch{\bruch{1}{n}}{\wurzel{\bruch{1}{n^2}+0}} [/mm] =1 und im zweiten Fall gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)=\bruch{0}{\bruch{1}{n}}=0.
[/mm]
Die Funktion ist also nicht stetig fortsetzbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 11.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo!
Erst mal vielen, vielen Dank, das hilft mir schon mal ein ganzes Stück weiter.
Ich habe noch eine Frage:
In der Vorlesung haben wir bei einer ähnlichen Übung noch dazugeschrieben, dass [mm] ({x_{n}})_{n}*\limes_{x_{n}\rightarrow\0}=0 [/mm] (in dem Fall waren [mm] z_{n}(1)=(x_{n},0) [/mm] und [mm] z_{n}(2)=(x_{n}, x_{n})).
[/mm]
Was genau sagt das aus? Und muss ich das hier auch dazuschreiben?
Und habe ich diese Grenzwerte dann richtig bestimmt?
Bei: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n}, y_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n}, 0)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}/\wurzel{\bruch{1}{n²}+0}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{n²}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{n²*\bruch{1}{n²}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1}}=1
[/mm]
Und: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n}, y_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}f(0, \bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{0}{\bruch{1}{n}}=0
[/mm]
Kann ich das so abgeben?
Vielen Dank noch mal für die Hilfe!
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 So 11.06.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo
> In der Vorlesung haben wir bei einer ähnlichen Übung noch
> dazugeschrieben, dass
> [mm]({x_{n}})_{n}*\limes_{x_{n}\rightarrow\0}=0[/mm] (in dem Fall
> waren [mm]z_{n}(1)=(x_{n},0)[/mm] und [mm]z_{n}(2)=(x_{n}, >x_{n})).[/mm]
das kann ich jetzt so auch nicht zuordnen, aber eigentlich brauchst du das nicht mehr mit angeben sondern die Lösung ist mit der Grenzwertbestimmung unten komplett.
> Und habe ich diese Grenzwerte dann richtig bestimmt?
>
> Bei: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n}, y_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n}, 0)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}/\wurzel{\bruch{1}{n²}+0}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{n²}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{n²*\bruch{1}{n²}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{1}}=1[/mm]
>
> Und: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n}, y_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}f(0, \bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{0}{\bruch{1}{n}}=0[/mm]
ja das ist so richtig.
Gruß
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 11.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 11.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Ich noch mal,
ich habe doch noch eine Frage. Ich habe noch mal mit der Aufgabe aus der Übung verglichen und da waren wie gesagt die beiden Folgen, deren Grenzwert wir dann bestimmt haben, [mm] z_{n}=(x_{n}, [/mm] 0) bzw. [mm] z_{n}=(x_{n}, x_{n}).
[/mm]
Das sind ja nun allgemeine Folgen. In der Lösung zu obiger Aufgabe haben wir jetzt aber ja konkrete Folgen, also [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist ja was anderes als einfach nur [mm] x_{n}. [/mm]
Kann ich das in diesem Fall hier auch mit den beiden obigen Folgen machen?
Und käme ich dann bei [mm] z_{n}=(x_{n}, [/mm] 0) auch auf den Grenzwert 1 und bei der Folge [mm] z_{n}=(x_{n}, x_{n}) [/mm] auf den Grenzwert [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}?
[/mm]
Stimmt das oder nehme ich lieber die andere Lösung?
Danke noch mal,
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 So 11.06.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo Katrin
> ich habe doch noch eine Frage. Ich habe noch mal mit der
> Aufgabe aus der Übung verglichen und da waren wie gesagt
> die beiden Folgen, deren Grenzwert wir dann bestimmt haben,
> [mm]z_{n}=(x_{n},[/mm] 0) bzw. [mm]z_{n}=(x_{n}, x_{n}).[/mm]
> Das sind ja
> nun allgemeine Folgen. In der Lösung zu obiger Aufgabe
> haben wir jetzt aber ja konkrete Folgen, also [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> ist ja was anderes als einfach nur [mm]x_{n}.[/mm]
> Kann ich das in diesem Fall hier auch mit den beiden obigen
> Folgen machen?
> Und käme ich dann bei [mm]z_{n}=(x_{n},[/mm] 0) auch auf den
> Grenzwert 1 und bei der Folge [mm]z_{n}=(x_{n}, x_{n})[/mm] auf den
> Grenzwert [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}?[/mm]
>
> Stimmt das oder nehme ich lieber die andere Lösung?
Das stimmt, die einzige Bedingung die du an die Folge [mm] x_n [/mm] stellen musst, ist das sie konvergiert, dann kannst du auch die Lösung mit der allgemeineren Lösung nehmen.
Gruß
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 So 11.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Alles klar, vielen lieben Dank!
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