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| Aufgabe | Gegeben ist die Gauß-Klammer [mm] \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor [/mm] := max{n [mm] \in \IZ [/mm] : n [mm] \le [/mm] x}
Behauptung:
1.) Die Gauß-Klammer ist rechtsseitig stetig in jedem n [mm] \in \IZ
[/mm]
2.) Ihr linksseitiger Grenzwert in n ist n - 1, wobei n [mm] \in \IZ [/mm] |
Hallo zusammen,
wir hatten in unserer letzten Vorlesung die stetige Fortsetzung und einseitige Grenzwerte eingeführt. Als Beispiel hatten wir dann die Gauß-Klammer.
Ich habe jetzt versucht obige Behauptungen formal korrekt zu beweisen, und möchte von euch wissen, ob das so richtig ist.
Beweis:
Setze f(x) := [mm] \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor, [/mm] und sei n [mm] \in \IZ.
[/mm]
1.)
Z.z. f(n) = f(n_+) = [mm] \limes_{x\downarrow n}, [/mm] d.h. wir müssen zeigen, dass f eingeschränkt auf (n, [mm] +\infty) [/mm] den Grenzwert f(n) hat.
Offensichtlich ist n ein Häufungspunkt von (n, [mm] +\infty) [/mm] und n ist ein Element aus [mm] \IR.
[/mm]
Es gilt f(n) = n für alle n [mm] \in \IZ.
[/mm]
Benutze das Folgekriterium für Grenzwerte.
Sei [mm] (x_k) \subset [/mm] (n, [mm] +\infty) [/mm] eine Folge mit [mm] x_k \to [/mm] n.
Dann gilt: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists k_0 \forall [/mm] k [mm] \ge k_0: |x_k [/mm] - n| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Insbesondere gilt für [mm] \varepsilon [/mm] = 1, dass [mm] x_k [/mm] < n +1 für fast alle k ist, also können n+1, n+2, ... usw. nicht der gesuchte Limes sein. Es gilt aber n < [mm] x_k [/mm] für alle k [mm] \in \IN, [/mm] also folgt: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f_{|(n, +\infty)}(x_k) [/mm] = n = f(n).
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Gauß-Klammer ist rechtsseitig stetig in jedem n [mm] \in \IZ
[/mm]
2.)
Z.z. [mm] \limes_{x\rightarrow n}f_{|(-\infty, n)}(x) [/mm] = n-1
Zeige mit Hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Setze [mm] \delta [/mm] := 1 > 0.
Dann folgt für x [mm] \in (-\infty, [/mm] n) mit |x-n| < [mm] \delta [/mm] = 1 (also n -1 < x < n):
[mm] |f_{|(-\infty, n)}(x_k)(x) [/mm] - (n-1)| = [mm] |max\{k \in \IZ : k \le x\} [/mm] -n +1| = |n - 1 - n + 1| = 0 < [mm] \varepsilon
[/mm]
Da dies für alle Epsilon gilt, folgt:
[mm] \limes_{x\rightarrow n}f_{|(-\infty, n)}(x) [/mm] = n-1
[mm] \Rightarrow [/mm] Der linksseitige Grenzwert in n ist n - 1
[mm] \Box
[/mm]
____________________________
Dann noch eine allgemeine Frage zur stetigen Fortsetzung.
Sei A [mm] \subset \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] und f: A [mm] \to \IC [/mm] eine Funktion.
Wenn [mm] x_0 [/mm] KEIN Häufungspunkt von A ist, dann besitzt f immer eine stetige Fortsetzung [mm] \tilde{f}.
[/mm]
Wenn [mm] x_0 [/mm] ein Häufungspunkt von A ist, dann besitzt f höchstens eine stetige Fortsetzung [mm] \tilde{f}.
[/mm]
Wenn die in [mm] x_0 [/mm] stetige Fortsetzung exisitiert, dann heißt der Wert [mm] \tilde{f}(x_) [/mm] Grenzwert von f für x [mm] \to x_0, [/mm] unabhängig davon ob [mm] x_0 [/mm] Häufungspunkt von A ist oder nicht.
Ist das fettgedruckte so richtig?
Ich finde es nur komisch, dass in unseren folgenden Sätzen und Definitionen immer vorausgesetzt, dass [mm] x_0 [/mm] ein Häufungspunkt ist.
Z.b. folgende Definition:
Sei f: A [mm] \to \IC [/mm] und sei [mm] x_0 [/mm] ein Häufungspunkt ihrer Definitionsmenge A. Die Funktion f hat in [mm] x_0 [/mm] den Grenzwert (oder Limes) a, wenn die Funktion [mm] \tilde{f}: [/mm] A [mm] \cup \{x_0\} \to \IC [/mm] , [mm] \tilde{f} :=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in A\setminus\{x_0\} \\ a, & \mbox{für } \mbox{ x=}x_0\end{cases} [/mm] im Punkt [mm] x_0 [/mm] stetig ist. Dafür sagt man auch, f(x) konvergiere für x [mm] \to x_0 [/mm] gegen a, und schreibt [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x) [/mm] = a oder f(x) [mm] \to [/mm] a für x [mm] \to x_0
[/mm]
Müsste diese Definition nicht auch funktionieren, wenn [mm] x_0 [/mm] kein Häufungspunkt ist?
EDIT: Hier mal ein Link zu unserem Skript: http://rapidshare.com/files/1032016160/vorl-11.01.13.pdf
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 So 13.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Behauptung:
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> 1.) Die Gauß-Klammer ist rechtsseitig stetig in jedem n
> [mm]\in \IZ[/mm]
>
> 2.) Ihr linksseitiger Grenzwert in n ist n - 1, wobei n [mm]\in \IZ[/mm]
>
>
> Hallo zusammen,
>
> wir hatten in unserer letzten Vorlesung die stetige
> Fortsetzung und einseitige Grenzwerte eingeführt. Als
> Beispiel hatten wir dann die Gauß-Klammer.
> Ich habe jetzt versucht obige Behauptungen formal korrekt
> zu beweisen, und möchte von euch wissen, ob das so richtig
> ist.
>
> Beweis:
>
> Setze f(x) := [mm]\lfloor[/mm] x [mm]\rfloor,[/mm] und sei n [mm]\in \IZ.[/mm]
>
> 1.)
>
> Z.z. f(n) = f(n_+) = [mm]\limes_{x\downarrow n},[/mm] d.h. wir
> müssen zeigen, dass f eingeschränkt auf (n, [mm]+\infty)[/mm] den
> Grenzwert f(n) hat.
Wir müssen schlicht [mm] $\lim_{x\downarrow n} [/mm] f(x) =n$ zeigen. Das mit der Einschränkung ist in der Definition schon enthalten und hier überflüssig.
>
> Offensichtlich ist n ein Häufungspunkt von (n, [mm]+\infty)[/mm]
> und n ist ein Element aus [mm]\IR.[/mm]
> Es gilt f(n) = n für alle n [mm]\in \IZ.[/mm]
Das ist zwar alles richtig, aber warum erwähnst Du das?
>
> Benutze das Folgekriterium für Grenzwerte.
> Sei [mm](x_k) \subset[/mm] (n, [mm]+\infty)[/mm] eine Folge mit [mm]x_k \to[/mm] n.
> Dann gilt: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists k_0 \forall[/mm] k
> [mm]\ge k_0: |x_k[/mm] - n| < [mm]\varepsilon[/mm]
> Insbesondere gilt für [mm]\varepsilon[/mm] = 1, dass [mm]x_k[/mm] < n +1
> für fast alle k ist, also können n+1, n+2, ... usw. nicht
> der gesuchte Limes sein. Es gilt aber n < [mm]x_k[/mm] für alle k
> [mm]\in \IN,[/mm] also folgt: [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f_{|(n, +\infty)}(x_k)[/mm]
> = n = f(n).
Richtig!
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Gauß-Klammer ist rechtsseitig stetig in
> jedem n [mm]\in \IZ[/mm]
>
> 2.)
>
> Z.z. [mm]\limes_{x\rightarrow n}f_{|(-\infty, n)}(x)[/mm] = n-1
>
> Zeige mit Hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums.
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Setze [mm]\delta[/mm] := 1 > 0.
>
> Dann folgt für x [mm]\in (-\infty,[/mm] n) mit |x-n| < [mm]\delta[/mm] = 1
> (also n -1 < x < n):
>
> [mm]|f_{|(-\infty, n)}(x_k)(x)[/mm] - (n-1)| = [mm]|max\{k \in \IZ : k \le x\}[/mm]
> -n +1| = |n - 1 - n + 1| = 0 < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Da dies für alle Epsilon gilt, folgt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow n}f_{|(-\infty, n)}(x)[/mm] = n-1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Der linksseitige Grenzwert in n ist n - 1
Richtig. In beiden Fällen mußt Du die explizite Einschränkung von $f$ nicht angeben.
Als Begründung würde völlig ausreichen:
Für [mm] $x\in(n-1; [/mm] n)$ ist $f(x) = n-1$, also ist [mm] $\lim_{x\uparrow n} [/mm] f(x) = n-1$ und
für [mm] $x\in(n; [/mm] n+1)$ ist $f(x) = n$, also ist [mm] $\lim_{x\downarrow n} [/mm] f(x) = [mm] n\,.$
[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> ____________________________
>
> Dann noch eine allgemeine Frage zur stetigen Fortsetzung.
>
> Sei A [mm]\subset \IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] und f: A [mm]\to \IC[/mm] eine Funktion.
> Wenn [mm]x_0[/mm] KEIN Häufungspunkt von A ist, dann besitzt f
> immer eine stetige Fortsetzung [mm]\tilde{f}.[/mm]
Richtig! Jede Funktion, die mit $f$ auf A übereinstimmt und in [mm] $x_0$ [/mm] einen beliebigen Wert annimmt, ist eine stetige Fortsetzung von $f$.
>
> Wenn [mm]x_0[/mm] ein Häufungspunkt von A ist, dann besitzt f
> höchstens eine stetige Fortsetzung [mm]\tilde{f}.[/mm]
Richtig!
>
> Wenn die in [mm]x_0[/mm] stetige Fortsetzung exisitiert, dann heißt
> der Wert [mm]\tilde{f}(x_)[/mm] Grenzwert von f für x [mm]\to x_0,[/mm]
> unabhängig davon ob [mm]x_0[/mm] Häufungspunkt von A ist oder
> nicht.
>
> Ist das fettgedruckte so richtig?
Nein! Wenn [mm] $x_0$ [/mm] kein Häufungspunkt ist, ist der Grenzwert gar nicht definierbar.
>
> Ich finde es nur komisch, dass in unseren folgenden Sätzen
> und Definitionen immer vorausgesetzt, dass [mm]x_0[/mm] ein
> Häufungspunkt ist.
>
> Z.b. folgende Definition:
>
> Sei f: A [mm]\to \IC[/mm] und sei [mm]x_0[/mm] ein Häufungspunkt ihrer
> Definitionsmenge A. Die Funktion f hat in [mm]x_0[/mm] den Grenzwert
> (oder Limes) a, wenn die Funktion [mm]\tilde{f}:[/mm] A [mm]\cup \{x_0\} \to \IC[/mm]
> , [mm]\tilde{f} :=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in A\setminus\{x_0\} \\ a, & \mbox{für } \mbox{ x=}x_0\end{cases}[/mm]
> im Punkt [mm]x_0[/mm] stetig ist. Dafür sagt man auch, f(x)
> konvergiere für x [mm]\to x_0[/mm] gegen a, und schreibt
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)[/mm] = a oder f(x) [mm]\to[/mm] a für x
> [mm]\to x_0[/mm]
>
> Müsste diese Definition nicht auch funktionieren, wenn [mm]x_0[/mm]
> kein Häufungspunkt ist?
In dem Fall ist jede Zahl ein Grenzwert. Der Grenzwert ist also nicht eindeutig, und daher auch nicht definiert.
Gruß,
Wolfgang
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> Wir müssen schlicht [mm]\lim_{x\downarrow n} f(x) =n[/mm] zeigen.
> Das mit der Einschränkung ist in der Definition schon
> enthalten und hier überflüssig.
Ja, aber es ist doch [mm] \limes_{x\downarrow x_0}f(x) [/mm] = [mm] f(x_{0_+})? [/mm] Zumindest laut unserer Definition (siehe unser Skript im meinem ersten Post Definition 23.8)
> > Offensichtlich ist n ein Häufungspunkt von (n, [mm]+\infty)[/mm]
> > und n ist ein Element aus [mm]\IR.[/mm]
> > Es gilt f(n) = n für alle n [mm]\in \IZ.[/mm]
> Das ist zwar alles richtig, aber warum erwähnst Du das?
Ich erwähne das, um die Definition 23.8 anzuwenden.
> Richtig. In beiden Fällen mußt Du die explizite
> Einschränkung von [mm]f[/mm] nicht angeben.
>
> Als Begründung würde völlig ausreichen:
>
> Für [mm]x\in(n-1; n)[/mm] ist [mm]f(x) = n-1[/mm], also ist [mm]\lim_{x\uparrow n} f(x) = n-1[/mm]
> und
> für [mm]x\in(n; n+1)[/mm] ist [mm]f(x) = n[/mm], also ist [mm]\lim_{x\downarrow n} f(x) = n\,.[/mm]
Okay. Ich habe das halt so gemacht, weil das in Definition 23.8 so gefordert wird.
> > ____________________________
> >
> > Wenn die in [mm]x_0[/mm] stetige Fortsetzung exisitiert, dann
> heißt
> > der Wert [mm]\tilde{f}(x_)[/mm] Grenzwert von f für x [mm]\to x_0,[/mm]
>
> > unabhängig davon ob [mm]x_0[/mm] Häufungspunkt von A ist oder
> > nicht.
> >
> > Ist das fettgedruckte so richtig?
>
> Nein! Wenn [mm]x_0[/mm] kein Häufungspunkt ist, ist der Grenzwert
> gar nicht definierbar.
Okay, das liegt daran, weil dann bei einer beliebigen Festsetzung [mm] \tilde{f}(x_0) [/mm] eine stetige Fortsetzung von f ist Somit ist der Grenzwert nicht eindeutig, wie du unten auch geschrieben hast.
> In dem Fall ist jede Zahl ein Grenzwert. Der Grenzwert ist
> also nicht eindeutig, und daher auch nicht definiert.
Okay, und wenn [mm] x_0 [/mm] ein Häufungspunkt ist, kann es höchstens einen Grenzwert geben, und wenn es diesen gibt, dann ist die stetige Fortsetzung eindeutig.
Dann habe ich hoffentlich verstanden, warum man voraussetzt, dass [mm] x_0 [/mm] ein Häufungspunkt sein muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 So 13.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Wir müssen schlicht [mm]\lim_{x\downarrow n} f(x) =n[/mm] zeigen.
> > Das mit der Einschränkung ist in der Definition schon
> > enthalten und hier überflüssig.
>
> Ja, aber es ist doch [mm]\limes_{x\downarrow x_0}f(x)[/mm] =
> [mm]f(x_{0_+})?[/mm] Zumindest laut unserer Definition (siehe unser
> Skript im meinem ersten Post Definition 23.8)
Das stimmt schon. Aber man muß nicht immer alles schreiben, was man weiß, sondern nur, was die Aussage begründet. Und da ist es besser, nur einen Term zu verwenden, auch wenn in der Definition mehr angegeben sind. Aber das ist mehr eine Stilfrage.
>
> > > Offensichtlich ist n ein Häufungspunkt von (n, [mm]+\infty)[/mm]
> > > und n ist ein Element aus [mm]\IR.[/mm]
> > > Es gilt f(n) = n für alle n [mm]\in \IZ.[/mm]
>
> > Das ist zwar alles richtig, aber warum erwähnst Du das?
>
> Ich erwähne das, um die Definition 23.8 anzuwenden.
Dann solltest Du den Zusammenhang in Deinem Beweis herstellen.
>
> > Richtig. In beiden Fällen mußt Du die explizite
> > Einschränkung von [mm]f[/mm] nicht angeben.
> >
> > Als Begründung würde völlig ausreichen:
> >
> > Für [mm]x\in(n-1; n)[/mm] ist [mm]f(x) = n-1[/mm], also ist [mm]\lim_{x\uparrow n} f(x) = n-1[/mm]
> > und
> > für [mm]x\in(n; n+1)[/mm] ist [mm]f(x) = n[/mm], also ist
> [mm]\lim_{x\downarrow n} f(x) = n\,.[/mm]
>
> Okay. Ich habe das halt so gemacht, weil das in Definition
> 23.8 so gefordert wird.
Na ja, ich doch auch!
>
> > > ____________________________
> > >
> > > Wenn die in [mm]x_0[/mm] stetige Fortsetzung exisitiert, dann
> > heißt
> > > der Wert [mm]\tilde{f}(x_)[/mm] Grenzwert von f für x [mm]\to x_0,[/mm]
>
> >
> > > unabhängig davon ob [mm]x_0[/mm] Häufungspunkt von A ist oder
> > > nicht.
> > >
> > > Ist das fettgedruckte so richtig?
> >
> > Nein! Wenn [mm]x_0[/mm] kein Häufungspunkt ist, ist der Grenzwert
> > gar nicht definierbar.
>
> Okay, das liegt daran, weil dann bei einer beliebigen
> Festsetzung [mm]\tilde{f}(x_0)[/mm] eine stetige Fortsetzung von f
> ist Somit ist der Grenzwert nicht eindeutig, wie du unten
> auch geschrieben hast.
>
> > In dem Fall ist jede Zahl ein Grenzwert. Der Grenzwert ist
> > also nicht eindeutig, und daher auch nicht definiert.
>
> Okay, und wenn [mm]x_0[/mm] ein Häufungspunkt ist, kann es
> höchstens einen Grenzwert geben, und wenn es diesen gibt,
> dann ist die stetige Fortsetzung eindeutig.
> Dann habe ich hoffentlich verstanden, warum man
> voraussetzt, dass [mm]x_0[/mm] ein Häufungspunkt sein muss.
Genau! So ist es.
Grüße,
Wolfgang
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Okay, eine weitere Frage habe ich noch.
In unserer Vorlesung wurde auch gesagt, dass für x [mm] \in \IR\setminus\IZ [/mm] die untere Gaußklammer stetig ist in jedem x.
Mein Beweis sieht so aus (Epsilon-Delta-Kriterium):
Setze f(x) := [mm] \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor
[/mm]
Sei [mm] x_0 \in \IR\setminus\IZ. [/mm] Wähle k [mm] \in \IZ [/mm] maximal so, dass [mm] \delta [/mm] := [mm] x_0 [/mm] - k > 0.
Für x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] x_0 [/mm] - [mm] \delta [/mm] < x < [mm] x_0 [/mm] + [mm] \delta [/mm] folgt dann:
[mm] x_0 [/mm] - [mm] \delta [/mm] = k < x.
Insbesondere gibt es aber x [mm] \in \IR, [/mm] sodass k < x < k + 1, also ist f(x) = k, und folglich auch [mm] f(x_0) [/mm] = k.
[mm] \Rightarrow [/mm] |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = 0 < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 13.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Okay, eine weitere Frage habe ich noch.
> In unserer Vorlesung wurde auch gesagt, dass für x [mm]\in \IR\setminus\IZ[/mm]
> die untere Gaußklammer stetig ist in jedem x.
>
> Mein Beweis sieht so aus (Epsilon-Delta-Kriterium):
>
> Setze f(x) := [mm]\lfloor[/mm] x [mm]\rfloor[/mm]
>
> Sei [mm]x_0 \in \IR\setminus\IZ.[/mm] Wähle k [mm]\in \IZ[/mm] maximal so,
> dass [mm]\delta[/mm] := [mm]x_0[/mm] - k > 0.
>
> Für x [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]x_0[/mm] - [mm]\delta[/mm] < x < [mm]x_0[/mm] + [mm]\delta[/mm] folgt
> dann:
> [mm]x_0[/mm] - [mm]\delta[/mm] = k < x.
>
> Insbesondere gibt es aber x [mm]\in \IR,[/mm] sodass k < x < k + 1,
> also ist f(x) = k, und folglich auch [mm]f(x_0)[/mm] = k.
[mm] $f(x_0)=k$ [/mm] gilt laut Definition der Gaußklammer. Dies muß nicht gezeigt werden.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] |f(x) - [mm]f(x_0)|[/mm] = 0 < [mm]\varepsilon[/mm] für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0.
Dieser Schluß ist ungültig. Nimm zum Beispiel [mm] $x_0=0,9$. [/mm] Dann ist $k=0$ und [mm] $\delta [/mm] = [mm] 0,9\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $1\in(x-\delta;x+\delta)$ [/mm] aber [mm] $|f(1)-f(x_0))| [/mm] = 1-0 > [mm] 1/2\,.$
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung
>
> Ist das so richtig?
Nein.
Gruß,
Wolfgang
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Wie macht man es denn richtig?
Andere Frage: Eine beschränkte monotone Funktion f: (a,b) [mm] \to \IR [/mm] besitzt an jeder Stelle [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] einseitige Grenzwerte, und f ist in jedem Punkt aus (a,b) einseitig stetig. Nun wird in unserer Vorlesung behauptet, dass wenn f monoton steigend ist, gilt: [mm] f(x_{0_-}) \le [/mm] f(x) [mm] \le f(x_{0_+}) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] (a,b).
Aber das erscheint mir irgendwie falsch, oder täusche ich mich? Ich habe mir eine Beispielsfunktion gezeichnet, und dort funktioniert es nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 So 13.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Wie macht man es denn richtig?
Nun, Dein [mm] $\delta$ [/mm] ist einfach zu groß. Setze [mm] $\delta$ [/mm] so, daß in [mm] $(x_0-\delta; x_0+\delta)$ [/mm] keine ganzen Zahlen liegen.
>
> Andere Frage: Eine beschränkte monotone Funktion f: (a,b)
> [mm]\to \IR[/mm] besitzt an jeder Stelle [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] einseitige
> Grenzwerte, und f ist in jedem Punkt aus (a,b) einseitig
> stetig. Nun wird in unserer Vorlesung behauptet, dass wenn
> f monoton steigend ist, gilt: [mm]f(x_{0_-}) \le[/mm] f(x) [mm]\le f(x_{0_+})[/mm]
> für alle x [mm]\in[/mm] (a,b).
> Aber das erscheint mir irgendwie falsch, oder täusche ich
> mich? Ich habe mir eine Beispielsfunktion gezeichnet, und
> dort funktioniert es nicht...
Ja, das ist Blödsinn. Es gilt dagegen:
Für jedes [mm] $x\in(a;b)$ [/mm] ist [mm] $f(x_-)\le [/mm] f(x) [mm] \le f(x_+)\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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> Nun, Dein [mm]\delta[/mm] ist einfach zu groß. Setze [mm]\delta[/mm] so,
> daß in [mm](x_0-\delta; x_0+\delta)[/mm] keine ganzen Zahlen
> liegen.
Okay. Ich weiß, dass es für [mm] x_0 \in \IR\setminus\IZ [/mm] ein k [mm] \in \IZ [/mm] geben muss, dass k < [mm] x_0 [/mm] < k+1, aber weiter komme ich nicht, weil in meinem Intervall immer eine ganze Zahl drin liegt.
> Ja, das ist Blödsinn. Es gilt dagegen:
>
> Für jedes [mm]x\in(a;b)[/mm] ist [mm]f(x_-)\le f(x) \le f(x_+)\,.[/mm]
Okay, danke.
Gruss
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 So 13.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Nun, Dein [mm]\delta[/mm] ist einfach zu groß. Setze [mm]\delta[/mm] so,
> > daß in [mm](x_0-\delta; x_0+\delta)[/mm] keine ganzen Zahlen
> > liegen.
>
> Okay. Ich weiß, dass es für [mm]x_0 \in \IR\setminus\IZ[/mm] ein k
> [mm]\in \IZ[/mm] geben muss, dass k < [mm]x_0[/mm] < k+1, aber weiter komme
> ich nicht, weil in meinem Intervall immer eine ganze Zahl
> drin liegt.
>
Hallo Alexander,
Setze [mm] $\delta [/mm] = [mm] \min\{x_0-k, k+1-x_0\}$ [/mm] mit [mm] $k=f(x_0)\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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Das leuchtet mir nicht ein, dass in dem Intervall keine ganze Zahlen mehr sein sollen.
Angenommen [mm] \delta [/mm] = [mm] x_0 [/mm] - k.
[mm] \Rightarrow [/mm] k < x < [mm] x_0 [/mm] + [mm] \delta [/mm] = [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_0 [/mm] - k
Und jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 13.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Das leuchtet mir nicht ein, dass in dem Intervall keine
> ganze Zahlen mehr sein sollen.
>
> Angenommen [mm]\delta[/mm] = [mm]x_0[/mm] - k.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] k < x < [mm]x_0[/mm] + [mm]\delta[/mm] = [mm]x_0[/mm] + [mm]x_0[/mm] - k
>
> Und jetzt?
[mm] $\delta=\min\{x_0-k, k+1-x_0\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\delta \le x_0-k$ [/mm] und [mm] $\delta \le [/mm] k+1 - [mm] x_0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $k\le x_0-\delta$ [/mm] und [mm] $x_0+\delta \le [/mm] k+1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] In [mm] $(x_0-\delta; x_0+\delta)$ [/mm] liegt keine ganze Zahl.
Aber viel wichtiger: auf [mm] $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ [/mm] ist $f$ konstant und damit insbesondere in [mm] $x_0$ [/mm] stetig.
Gruß,
Wolfgang
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> > Das leuchtet mir nicht ein, dass in dem Intervall keine
> > ganze Zahlen mehr sein sollen.
> >
> > Angenommen [mm]\delta[/mm] = [mm]x_0[/mm] - k.
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] k < x < [mm]x_0[/mm] + [mm]\delta[/mm] = [mm]x_0[/mm] + [mm]x_0[/mm] - k
> >
> > Und jetzt?
>
> [mm]\delta=\min\{x_0-k, k+1-x_0\}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\delta \le x_0-k[/mm]
> und [mm]\delta \le k+1 - x_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]k\le x_0-\delta[/mm]
> und [mm]x_0+\delta \le k+1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] In [mm](x_0-\delta; x_0+\delta)[/mm]
> liegt keine ganze Zahl.
Oh man. Danke Wolfgang!
> Aber viel wichtiger: auf [mm](x_0-\delta, x_0+\delta)[/mm] ist [mm]f[/mm]
> konstant und damit insbesondere in [mm]x_0[/mm] stetig.
>
> Gruß,
> Wolfgang
Ok, das leuchtet ein.
Gruss
Alexander
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