Stetige Fortsetzung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme
[mm] \limes_{x \to 1}\bruch{\wurzel[3]{x}-1}{\wurzel[4]{x}-1} [/mm] |
Hallo zusammen,
vorab folgende Umformung zur Lösung der Aufgabe:
[mm] \bruch{\wurzel[3]{x}-1}{\wurzel[4]{x}-1} [/mm] = [mm] \bruch{(x-1)\bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{x-1}}{(x-1)\bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{4}}-1}{x-1}} [/mm] = [mm] \bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{x-1}\bruch{x-1}{(1+(x-1)^{\bruch{1}{4}}-1}
[/mm]
Nun die eigentliche Lösung:
Da die Funktion [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] x-1, stetig ist und 1 auf 0 abbildet, gilt:
[mm] \limes_{x \to 1}\bruch{\wurzel[3]{x}-1}{\wurzel[4]{x}-1} [/mm] = [mm] \limes_{x \to 1}(\bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{x-1}\bruch{x-1}{(1+(x-1)^{\bruch{1}{4}}-1}) [/mm] = [mm] \limes_{y \to 0}(\bruch{(1+y)^{\bruch{1}{3}}-1}{y}\bruch{y}{(1+y)^{\bruch{1}{4}}-1})
[/mm]
Intuitiv habe ich diese Substitution auch durchgeführt, aber die Begründung mit der Stetigkeit verstehe ich nicht. Wofür brauche ich hier, dass x-1 stetig ist?
Es wäre nett, wenn mir das einer, ich sage mal ,,Schritt für Schritt" erklären könnte, da Dienstag die Klausur ansteht. :O
Meine Vermutung ist die folgende:
Wir suchen den Grenzwert von [mm] \bruch{\wurzel[3]{x}-1}{\wurzel[4]{x}-1} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 1, also wir suchen eine stetige Fortsetzung in 1.
Wenn wir jetzt annehmen, dass diese existiert, dann dürfen wir den Grenzwert ,,reinziehen", also
[mm] \limes_{x \to 1}(\bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{x-1}\bruch{x-1}{(1+(x-1)^{\bruch{1}{4}}-1}) [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{x \to 1}((1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1)}{\limes_{x \to 1}(x-1)}\bruch{\limes_{x \to 1}(x-1)}{\limes_{x \to 1}((1+(x-1))^{\bruch{1}{4}}-1)}
[/mm]
Da [mm] ((1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1) [/mm] und [mm] ((1+(x-1))^{\bruch{1}{4}}-1) [/mm] in 1 stetig sind, dürfen wir den Grenzwert noch weiter reinziehen und erhalten
[mm] \bruch{(1+\limes_{x \to 1}(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{\limes_{x \to 1}(x-1)}\bruch{\limes_{x \to 1}(x-1)}{(1+\limes_{x \to 1}(x-1))^{\bruch{1}{4}}-1}
[/mm]
Nun sind aber die Grenzwerte gleich für [mm] \limes_{x \to 1}(x-1) [/mm] und [mm] \limes_{y \to 0}y [/mm] Insbesondere sind beide Funktionen stetig in 1 und 0. Daher dürfen wir nun [mm] \limes_{x \to 1}(x-1) [/mm] durch [mm] \limes_{y \to 0}y [/mm] substituieren. Dann ziehen wir wieder alle Grenzwerte raus und erhalten:
[mm] \limes_{y \to 0}(\bruch{(1+y)^{\bruch{1}{3}}-1}{y}\bruch{y}{(1+y)^{\bruch{1}{4}}-1})
[/mm]
Meine Vermutung wird höchstwahrscheinlich gnadenlos falsch sein, daher wäre es wirklich nett, wenn mir das einer Schritt für Schritt erklären könnte.
Gruss
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 So 03.02.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Alexander,
> Bestimme
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> [mm]\limes_{x \to 1}\bruch{\wurzel[3]{x}-1}{\wurzel[4]{x}-1}[/mm]
> vorab folgende Umformung zur Lösung der Aufgabe:
>
> [mm]\bruch{\wurzel[3]{x}-1}{\wurzel[4]{x}-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{(x-1)\bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{x-1}}{(x-1)\bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{4}}-1}{x-1}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{x-1}\bruch{x-1}{(1+(x-1)^{\bruch{1}{4}}-1}[/mm]
>
> Nun die eigentliche Lösung:
>
> Da die Funktion [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\to[/mm] x-1, stetig ist und 1
> auf 0 abbildet, gilt:
>
> [mm]\limes_{x \to 1}\bruch{\wurzel[3]{x}-1}{\wurzel[4]{x}-1}[/mm] =
> [mm]\limes_{x \to 1}(\bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{x-1}\bruch{x-1}{(1+(x-1)^{\bruch{1}{4}}-1})[/mm]
> = [mm]\limes_{y \to 0}(\bruch{(1+y)^{\bruch{1}{3}}-1}{y}\bruch{y}{(1+y)^{\bruch{1}{4}}-1})[/mm]
>
> Intuitiv habe ich diese Substitution auch durchgeführt,
> aber die Begründung mit der Stetigkeit verstehe ich nicht.
> Wofür brauche ich hier, dass x-1 stetig ist?
Du verwendest hier:
Wenn x gegen 1 strebt, strebt x-1 gegen 0.
Dies wäre nicht gegeben, wenn die Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] x-1$ in 0 nicht stetig wäre.
Allgemein gilt die Kettenregel der Stetigkeit:
Ist $g$ stetig in $a$ und ist $f$ stetig in $g(a)$, so ist [mm] $f\circ [/mm] g$ stetig in [mm] $a\,.$
[/mm]
Aus der Kettenregel folgt:
Ist $g$ stetig in $a$ und existiert [mm] $\lim_{y\to g(a)} f(y)\,,$ [/mm] so existiert auch [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(g(x))$ und beide Grenzwerte stimmen überein.
Denn weil [mm] $\lim_{y\to g(a)} [/mm] f(y)$ existiert, ist $f$ in $g(a)$ stetig fortsetzbar. Nennen wir die Fortsetzung [mm] $\tilde [/mm] f$, so ist nach der Kettenregel [mm] $\lim_{x\to a} f\bigl(g(x)\bigr)=\tilde f\bigl(g(a)\bigr)=\lim_{y\to g(a)} f(y)\,.$
[/mm]
> Es wäre nett, wenn mir das einer, ich sage mal ,,Schritt
> für Schritt" erklären könnte, da Dienstag die Klausur
> ansteht. :O
>
> Meine Vermutung ist die folgende:
>
> Wir suchen den Grenzwert von
> [mm]\bruch{\wurzel[3]{x}-1}{\wurzel[4]{x}-1}[/mm] für x [mm]\to[/mm] 1, also
> wir suchen eine stetige Fortsetzung in 1.
> Wenn wir jetzt annehmen, dass diese existiert, dann
> dürfen wir den Grenzwert ,,reinziehen", also
> [mm]\limes_{x \to 1}(\bruch{(1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{x-1}\bruch{x-1}{(1+(x-1)^{\bruch{1}{4}}-1})[/mm]
> = [mm]\bruch{\limes_{x \to 1}((1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1)}{\limes_{x \to 1}(x-1)}\bruch{\limes_{x \to 1}(x-1)}{\limes_{x \to 1}((1+(x-1))^{\bruch{1}{4}}-1)}[/mm]
>
Das mit dem "Reinziehen" ist so eine Sache! Das darfst Du nur, wenn alle Limites auf der rechten Seite existieren. Bei Quotienten müssen die Grenzwerte der Nenner von 0 verschieden sein! Dies ist hier nicht der Fall! Mach das lieber nicht!
> Da [mm]((1+(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1)[/mm] und
> [mm]((1+(x-1))^{\bruch{1}{4}}-1)[/mm] in 1 stetig sind, dürfen wir
> den Grenzwert noch weiter reinziehen und erhalten
>
> [mm]\bruch{(1+\limes_{x \to 1}(x-1))^{\bruch{1}{3}}-1}{\limes_{x \to 1}(x-1)}\bruch{\limes_{x \to 1}(x-1)}{(1+\limes_{x \to 1}(x-1))^{\bruch{1}{4}}-1}[/mm]
>
> Nun sind aber die Grenzwerte gleich für [mm]\limes_{x \to 1}(x-1)[/mm]
> und [mm]\limes_{y \to 0}y[/mm] Insbesondere sind beide Funktionen
> stetig in 1 und 0. Daher dürfen wir nun [mm]\limes_{x \to 1}(x-1)[/mm]
> durch [mm]\limes_{y \to 0}y[/mm] substituieren. Dann ziehen wir
> wieder alle Grenzwerte raus und erhalten:
>
> [mm]\limes_{y \to 0}(\bruch{(1+y)^{\bruch{1}{3}}-1}{y}\bruch{y}{(1+y)^{\bruch{1}{4}}-1})[/mm]
>
> Meine Vermutung wird höchstwahrscheinlich gnadenlos falsch
> sein, daher wäre es wirklich nett, wenn mir das einer
> Schritt für Schritt erklären könnte.
Deine Begründung ist waghalsig! Und stimmt auch nicht. Ganz abgesehen davon verkompliziert Deine Substituion doch nur unnötig. Ganz einfach geht's mit L'Hospital.
Gruß,
Wolfgang
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> Du verwendest hier:
>
> Wenn x gegen 1 strebt, strebt x-1 gegen 0.
>
> Dies wäre nicht gegeben, wenn die Funktion [mm]x\mapsto x-1[/mm] in
> 0 nicht stetig wäre.
Du meinst wahrscheinlich, wenn x-1 nicht in 1 stetig wäre?
> Allgemein gilt die Kettenregel der Stetigkeit:
>
> Ist [mm]g[/mm] stetig in [mm]a[/mm] und ist [mm]f[/mm] stetig in [mm]g(a)[/mm], so ist [mm]f\circ g[/mm]
> stetig in [mm]a\,.[/mm]
>
> Aus der Kettenregel folgt:
>
> Ist [mm]g[/mm] stetig in [mm]a[/mm] und existiert [mm]\lim_{y\to g(a)} f(y)\,,[/mm] so
> existiert auch [mm]\lim_{x\to a} f(g(x))[/mm] und beide Grenzwerte
> stimmen überein.
>
> Denn weil [mm]\lim_{y\to g(a)} f(y)[/mm] existiert, ist [mm]f[/mm] in [mm]g(a)[/mm]
> stetig fortsetzbar. Nennen wir die Fortsetzung [mm]\tilde f[/mm], so
> ist nach der Kettenregel [mm]\lim_{x\to a} f\bigl(g(x)\bigr)=\tilde f\bigl(g(a)\bigr)=\lim_{y\to g(a)} f(y)\,.[/mm]
Ok, das habe ich jetzt glaube ich verstanden.
Also nochmal zusammengefasst:
Angenommen g ist stetig in a und es existiert [mm] \limes_{y\rightarrow g(a)}f(y), [/mm] d.h. es gibt eine stetige Fortsetzung von f in g(a). Nennen wir diese stetige Fortsetzung [mm] \tilde{f}, [/mm] also gilt: [mm] \limes_{y\rightarrow g(a)}f(y) [/mm] = [mm] \tilde{f}(g(a)).
[/mm]
Es folgt: [mm] \limes_{x\rightarrow a}(f\circ [/mm] g)(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(g(x)) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a}\tilde{f}(g(x)) [/mm] = [mm] \tilde{f}(g(a)) [/mm] = [mm] \limes_{y\rightarrow g(a)}f(y).
[/mm]
Stimmt das so?
Wenn ich das jetzt übertrage auf meine Aufgabe übertrage, müssten die Funktionen f und g lauten:
f(y) := [mm] \bruch{(1+y)^{\bruch{1}{3}}-1}{y}\bruch{y}{(1+y)^{\bruch{1}{4}}-1}
[/mm]
g(x) := x - 1
und es gilt [mm] \limes_{x\rightarrow 1}(f\circ [/mm] g)(x) = [mm] \limes_{y\rightarrow g(1) = 0}f(y), [/mm] da wir wissen, dass [mm] \limes_{y\rightarrow g(1) = 0}f(y) [/mm] existiert.
> Das mit dem "Reinziehen" ist so eine Sache! Das darfst Du
> nur, wenn alle Limites auf der rechten Seite existieren.
> Bei Quotienten müssen die Grenzwerte der Nenner von 0
> verschieden sein! Dies ist hier nicht der Fall! Mach das
> lieber nicht!
Ja, das habe ich mir schon gedacht, dass mein Gedankengang falsch ist, und auch genau aus dem Grund, den du jetzt genannt hast.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 So 03.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ganz kurz, weil ich gleich weg muss:
> > Du verwendest hier:
> >
> > Wenn x gegen 1 strebt, strebt x-1 gegen 0.
> >
> > Dies wäre nicht gegeben, wenn die Funktion [mm]x\mapsto x-1[/mm] in
> > 0 nicht stetig wäre.
>
> Du meinst wahrscheinlich, wenn x-1 nicht in 1 stetig
> wäre?
ja, das meinte Wolfgang. Wobei es übrigens zwar gängig ist, von "der
Funktion [mm] $x-1\,$" [/mm] zu sprechen, ich finde aber, dass das eher etwas ist,
was man vermeiden sollte. Denn [mm] $x-1\,$ [/mm] ist so ja einfach nur ein Term.
Ebenso spricht man auch "von der Funktion [mm] $f(x)=x-1\,$", [/mm] wobei das
eigentlich nur eine Funktionsgleichung ist - die eigentliche Funktion heißt [mm] $f\,.$
[/mm]
Wenn man es ganz genau nimmt, wäre hier sogar zu sagen, dass
$$f [mm] \colon \IR \to \IR \text{ mit }f(x):=x-1\text{ für alle }x \in \IR$$
[/mm]
gemeint ist. Aber nun gut, wie Heuser auch in seinem Buch schreibt, ist es
halt so üblich, dass es "verkürzende Sprechweisen" gibt. Aber eigentlich
heißt das, dass dann aus dem Zusammenhang heraus erkennbar sein
muss/soll, wie die Funktion "im Ganzen" aussieht: Eine Funktion hat ja
einen Definitionsbereich, einen Zielbereich und zudem die Eigenschaft,
dass für jedes [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs es genau einen Wert [mm] $y\,$ [/mm] des
Zielbereichs mit [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] gibt. (Das kann durch eine Funktionsgleichung
gegeben sein oder wie auch immer...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 03.02.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Du verwendest hier:
> >
> > Wenn x gegen 1 strebt, strebt x-1 gegen 0.
> >
> > Dies wäre nicht gegeben, wenn die Funktion [mm]x\mapsto x-1[/mm] in
> > 0 nicht stetig wäre.
>
> Du meinst wahrscheinlich, wenn x-1 nicht in 1 stetig
> wäre?
Ja, da habe ich mich vertan!
>
> > Allgemein gilt die Kettenregel der Stetigkeit:
> >
> > Ist [mm]g[/mm] stetig in [mm]a[/mm] und ist [mm]f[/mm] stetig in [mm]g(a)[/mm], so ist [mm]f\circ g[/mm]
> > stetig in [mm]a\,.[/mm]
> >
> > Aus der Kettenregel folgt:
> >
> > Ist [mm]g[/mm] stetig in [mm]a[/mm] und existiert [mm]\lim_{y\to g(a)} f(y)\,,[/mm] so
> > existiert auch [mm]\lim_{x\to a} f(g(x))[/mm] und beide Grenzwerte
> > stimmen überein.
> >
> > Denn weil [mm]\lim_{y\to g(a)} f(y)[/mm] existiert, ist [mm]f[/mm] in [mm]g(a)[/mm]
> > stetig fortsetzbar. Nennen wir die Fortsetzung [mm]\tilde f[/mm], so
> > ist nach der Kettenregel [mm]\lim_{x\to a} f\bigl(g(x)\bigr)=\tilde f\bigl(g(a)\bigr)=\lim_{y\to g(a)} f(y)\,.[/mm]
>
> Ok, das habe ich jetzt glaube ich verstanden.
> Also nochmal zusammengefasst:
> Angenommen g ist stetig in a und es existiert
> [mm]\limes_{y\rightarrow g(a)}f(y),[/mm] d.h. es gibt eine stetige
> Fortsetzung von f in g(a). Nennen wir diese stetige
> Fortsetzung [mm]\tilde{f},[/mm] also gilt: [mm]\limes_{y\rightarrow g(a)}f(y)[/mm]
> = [mm]\tilde{f}(g(a)).[/mm]
>
> Es folgt: [mm]\limes_{x\rightarrow a}(f\circ[/mm] g)(x) =
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(g(x))[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow a}\tilde{f}(g(x))[/mm]
> = [mm]\tilde{f}(g(a))[/mm] = [mm]\limes_{y\rightarrow g(a)}f(y).[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja. Genau so!
>
> Wenn ich das jetzt übertrage auf meine Aufgabe übertrage,
> müssten die Funktionen f und g lauten:
>
> f(y) :=
> [mm]\bruch{(1+y)^{\bruch{1}{3}}-1}{y}\bruch{y}{(1+y)^{\bruch{1}{4}}-1}[/mm]
>
> g(x) := x - 1
>
> und es gilt [mm]\limes_{x\rightarrow 1}(f\circ[/mm] g)(x) =
> [mm]\limes_{y\rightarrow g(1) = 0}f(y),[/mm] da wir wissen, dass
> [mm]\limes_{y\rightarrow g(1) = 0}f(y)[/mm] existiert.
Richtig!
>
> > Das mit dem "Reinziehen" ist so eine Sache! Das darfst Du
> > nur, wenn alle Limites auf der rechten Seite existieren.
> > Bei Quotienten müssen die Grenzwerte der Nenner von 0
> > verschieden sein! Dies ist hier nicht der Fall! Mach das
> > lieber nicht!
>
> Ja, das habe ich mir schon gedacht, dass mein Gedankengang
> falsch ist, und auch genau aus dem Grund, den du jetzt
> genannt hast.
Und was machen wir jetzt? Hattet ihr schon L'Hospital? Wenn nicht, müssen wir uns was Neues überlegen!
Gruß,
Wolfgang
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l'Hospital hatten wir noch nicht. Der Grenzwert ist [mm] \bruch{4}{3}, [/mm] da allgemein gilt: [mm] \limes_{y\rightarrow 0}\bruch{(1+y)^a-1}{y} [/mm] = a für a [mm] \in \IQ. [/mm] Das hatten wir so in der Vorlesung.
Danke Wolfgang für deine Hilfe.
Gruss
Alexander
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 03.02.2013 | | Autor: | Helbig |
> l'Hospital hatten wir noch nicht. Der Grenzwert ist
> [mm]\bruch{4}{3},[/mm] da allgemein gilt: [mm]\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{(1+y)^a-1}{y}[/mm]
> = a für a [mm]\in \IQ.[/mm] Das hatten wir so in der Vorlesung.
Schön. Jetzt verstehe ich auch, warum Du substituierst.
Dann kann ja in der Klausur nichts mehr schiefgehen!
Viel Erfolg,
Wolfgang
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> Dann kann ja in der Klausur nichts mehr schiefgehen!
>
> Viel Erfolg,
> Wolfgang
Danke Wolfgang, hoffen wir mal das beste.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 So 03.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> l'Hospital hatten wir noch nicht. Der Grenzwert ist
> [mm]\bruch{4}{3},[/mm] da allgemein gilt: [mm]\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{(1+y)^a-1}{y}[/mm]
> = a für a [mm]\in \IQ.[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das hatten wir so in der Vorlesung.
wie habt ihr das bewiesen? Allgemeiner binomischer Lehrsatz, oder so:
$$\lim_{y \to 0}((1+y)^a-1)/y=\left.\frac{d}{dx}(1+x)^a\right|_{x=0}=\left.\frac{d}{dx}\exp(a*\ln(1+x))\right|_{x=0}=\left.a*(\exp(a*\ln(1+x)))*\frac{1}{1+x}*1\right|_{x=0}=a*(1+0)^a*\frac{1}{1+0}*1=a*1=a\,.$$
Denn
$$\lim_{y \to 0}((1+y)^a-1)/y$$
ist doch gerade die Ableitung von $x \mapsto (1+x)^a$ an der Stelle $0\,.$
Gruß,
Marcel
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Wir hatten das über die Binomialreihe bewiesen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 So 03.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir hatten das über die Binomialreihe bewiesen.
okay, dann hast Du nun eine Alternative gesehen (bei welcher man aber die
Differentialrechnung bemüht - d.h., sowas wie Kettenregel etc. setze ich da
als bekannt voraus [mm] $\to$ [/mm] eigentlich reicht dafür das Schulwissen der Analysis
der Oberstufe).
Gruß,
Marcel
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