Stetige Fortsetzung einer Fkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein Problem mit der stetigen Fortsetzung einer Funktion.
Also, eine stetige Fortsetzung einer Funktion f in einem Punkt a ist ja eine Funktion F, bei der der Definitionsbereich aus der Vereinigung des Definitionsbereiches von f und {a} besteht. Wobei die Funktionswerte von F mit denen der Ursprungsfunktion f übereinstimmen für alle Elemente des Definitionsbereiches der Ursprungsfuktion ausgenommen dem Funktionswert für a. Denn dieser ist ja eventuell garnicht im Definitionsbereich der Funktion f mit drin.
Außerdem ist die Funktion F noch in a stetig. Dann hat man eine stetige Fortsetzung von f in a vorliegen.
Ich glaube das ist jetzt etwas umständlich beschrieben, stimmt aber im Wesentlichen so, oder?
So, jetzt kann es ja der Fall sein, dass a entweder ein Häufungspunkt vom Definitionsbereich von f ist oder auch nicht.
Jetzt steht hier in meinem Skript, dass es auf jeden Fall eine stetige Fortsetzung von f in a gibt, wenn a kein Häufungspunkt vom Definitionsbereich von f ist. Diesen Zusammenhang verstehe ich nicht! Wenn überhaupt hätte ich gedacht, dass es andersherum sein könnte. Nämlich, dass wenn a kein Häufungspunkt ist, es auch keine stetige Fortsetzung von f in a geben könnte. Da in diesem Fall doch a vollkommen abgetrennt vom restlichen Definitionsbereich ist und so doch keine in a stetige Funktion entstehen kann?!
Was verstehe ich hier nicht? Kann mir da jemand weiterhelfen?
Viele Grüße,
schlumpfinchen!
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> Ich glaube das ist jetzt etwas umständlich beschrieben,
> stimmt aber im Wesentlichen so, oder?
Hallo,
ja, das stimmt so. Du hast das richtig verstanden.
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> So, jetzt kann es ja der Fall sein, dass a entweder ein
> Häufungspunkt vom Definitionsbereich von f ist oder auch
> nicht.
> Jetzt steht hier in meinem Skript, dass es auf jeden Fall
> eine stetige Fortsetzung von f in a gibt, wenn a kein
> Häufungspunkt vom Definitionsbereich von f ist.[...]
> Kann mir da jemand
> weiterhelfen?
Du mußt Dir hier erstmal selbst weiterhelfen...
Schlag' (in demselben Skript!) nach, wie Ihr "Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle" definiert habt.
Wenn nach dem Studium der Def. noch nicht alles klar ist, poste die komplette Def. (mit eventuellem Prä- und Postludium) hier.
Gruß v. Angela
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Hallo angela,
ok,
also in der Zeit bevor du geantwortet hast kam mir schon die Idee, dass es wahrscheinlich mit dieser Definition zu tun hat:
Sei a [mm] \in [/mm] M [mm] \subset \IR [/mm] und f:M [mm] \to [/mm] B mit [mm] \emptyset \not= [/mm] B [mm] \subset \IR
[/mm]
f ist stetig in a [mm] \gdw [/mm] zu jeder Umgebung V von f(a) gibt es eine Umgebung U von a mit der folgenden Eigenschaft f(U [mm] \cap [/mm] M) [mm] \subset [/mm] V
Diese Definition ist ja eigentlich auch sehr verständlich.
Durch mein selbsständiges Überlegen würde ich nun auf folgende Erklärung kommen, wobei ich nicht von der Richtigkeit überzeugt bin:
Egal welche Umgebung ich von f(a) wähle, ich würde immer auch eine Umgebung von a mit der geforderten Eigenschaft finden, denn es gilt ja folgendes:
Da a kein Häufungspunkt von M ist, gibt es auch eine Umgebung U von a, so
dass U und M disjunkt sind. D.h. ja, dass U [mm] \cap [/mm] M die leere Menge wäre und dementsprechend auch das Bild der leeren Menge unter f eine leere Menge wäre. Und da die leere Menge Teilmenge von jeder Menge ist, wäre die geforderte Eigenschaft für die Stetigkeit in a f(U [mm] \cap [/mm] M) [mm] \subset [/mm] V erfüllt.
So das sind meine Überlegungen dazu, von denen ich nicht so überzeugt bin, denn ich habe im Skript mittlerweile auch den "offiziellen" Beweis gefunden, welchen ich mit meinen Überlegungen nicht so ganz in Einklang bringen kann. Ich schreibe ihn mal hier auf:
Wenn a kein Häufungspunkt von M ist, gibt es eine Umgebung U von a, die keinen von a verschiedenen Punkt von M enthält. Ist nun V irgendeine Umgebung von f(a), so gilt U [mm] \cap [/mm] M [mm] \subset [/mm] {a} und somit f(U [mm] \cap [/mm] M) [mm] \subset [/mm] {f(a)} [mm] \subset [/mm] V. Folglich ist f stetig in a.
So, nun würde mich interessieren, ob meine Überlegungen prinzipiell richtig sind oder nicht. Wenn ja, wie sie mit der offiziellen Lösung in Einklang zu bringen sind. Und falls meine Überlegungen falsch sein sollten, vielleicht könnte mir dann jemand die offizielle Lösung einmal erklären!
Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo angela,
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> ok,
> also in der Zeit bevor du geantwortet hast kam mir schon
> die Idee, dass es wahrscheinlich mit dieser Definition zu
> tun hat:
>
> Sei a [mm]\in[/mm] M [mm]\subset \IR[/mm] und f:M [mm]\to[/mm] B mit [mm]\emptyset \not=[/mm] B
> [mm]\subset \IR[/mm]
>
> f ist stetig in a [mm]\gdw[/mm] zu jeder Umgebung V von f(a) gibt es
> eine Umgebung U von a mit der folgenden Eigenschaft f(U
> [mm]\cap[/mm] M) [mm]\subset[/mm] V
>
> Diese Definition ist ja eigentlich auch sehr verständlich.
> Durch mein selbsständiges Überlegen würde ich nun auf
> folgende Erklärung kommen, wobei ich nicht von der
> Richtigkeit überzeugt bin:
> Egal welche Umgebung ich von f(a) wähle, ich würde immer
> auch eine Umgebung von a mit der geforderten Eigenschaft
> finden, denn es gilt ja folgendes:
> Da a kein Häufungspunkt von M ist, gibt es auch eine
> Umgebung U von a, so
> dass U und M disjunkt sind.
Das ist falsch ! Da a [mm] \in [/mm] M und a [mm] \in [/mm] U, ist auch a [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] M
> D.h. ja, dass U [mm]\cap[/mm] M die
> leere Menge wäre und dementsprechend auch das Bild der
> leeren Menge unter f eine leere Menge wäre. Und da die
> leere Menge Teilmenge von jeder Menge ist, wäre die
> geforderte Eigenschaft für die Stetigkeit in a f(U [mm]\cap[/mm] M)
> [mm]\subset[/mm] V erfüllt.
>
> So das sind meine Überlegungen dazu, von denen ich nicht so
> überzeugt bin, denn ich habe im Skript mittlerweile auch
> den "offiziellen" Beweis gefunden, welchen ich mit meinen
> Überlegungen nicht so ganz in Einklang bringen kann. Ich
> schreibe ihn mal hier auf:
>
> Wenn a kein Häufungspunkt von M ist, gibt es eine Umgebung
> U von a, die keinen von a verschiedenen Punkt von M
> enthält. Ist nun V irgendeine Umgebung von f(a), so gilt U
> [mm]\cap[/mm] M [mm]\subset[/mm] {a} und somit f(U [mm]\cap[/mm] M) [mm]\subset[/mm] {f(a)}
> [mm]\subset[/mm] V. Folglich ist f stetig in a.
>
> So, nun würde mich interessieren, ob meine Überlegungen
> prinzipiell richtig sind oder nicht. Wenn ja, wie sie mit
> der offiziellen Lösung in Einklang zu bringen sind. Und
> falls meine Überlegungen falsch sein sollten, vielleicht
> könnte mir dann jemand die offizielle Lösung einmal
> erklären!
Was an Deiner Überlegung falsch ist habe ich Dir oben gesagt
Was verstehst Du denn an der offizioellen Lösung nicht ?
FRED
>
> Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
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Hallo fred,
> > Wenn a kein Häufungspunkt von M ist, gibt es eine Umgebung
> > U von a, die keinen von a verschiedenen Punkt von M
> > enthält.
Bin mir nicht ganz sicher, wie diese Umgebung aussieht. Bedeutet das mit anderen Worten, dass es eine Umgebung von a gibt, die ausser a selbst keine gemeinsamen Punkte mit M hat?
Wäre dann aber in diesem Fall nicht U [mm]\cap[/mm] M = {a} anstatt U [mm]\cap[/mm] M [mm] \subset [/mm] {a}
> >Ist nun V irgendeine Umgebung von f(a), so gilt
> >U [mm]\cap[/mm] M [mm]\subset[/mm] {a} und somit f(U [mm]\cap[/mm] M) [mm]\subset[/mm] {f(a)}
> > [mm]\subset[/mm] V. Folglich ist f stetig in a.
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> > > Wenn a kein Häufungspunkt von M ist, gibt es eine Umgebung
> > > U von a, die keinen von a verschiedenen Punkt von M
> > > enthält.
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> Bin mir nicht ganz sicher, wie diese Umgebung aussieht.
> Bedeutet das mit anderen Worten, dass es eine Umgebung von
> a gibt, die ausser a selbst keine gemeinsamen Punkte mit M
> hat?
Hallo,
ja, so ist es.
> Wäre dann aber in diesem Fall nicht U [mm]\cap[/mm] M = {a}
> anstatt U [mm]\cap[/mm] M [mm]\subset[/mm] {a}
Jede Menge ist doch auch Teilmenge von sich selbst.
Gruß v. Angela
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hallo angela,
danke für die antwort. Mir ist schon klar, dass jede Menge auch Teilmenge von sich selbst ist. Ich dachte nur, dass dann hier auch ein Gleichheitszeichen stehen würde, da dieses ja auf jeden Fall stimmen würde.
Aber nun gut habe es nun wohl so einigermaßen verstanden.
Viele Grüße,
schlumpfinchen.
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