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| Aufgabe | | Wo sind [mm] \bruch{ \wurzel{e^{x}} }{x} [/mm] und [mm] \bruch{ e^{ \wurzel{x}+ ^3 \wurzel{x^2+1}}}{ln \wurzel{x}} [/mm] definiert und wo stetig? |
Hi!
Ich hab mir die Funktionen auseinandergebaut und in die teilfunktionen zerlegt.
Die erste müsste dann von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] gehen und auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig sein, da die Teilfunktionen auch stetig sind.
Bei der 2. müsste die Funktion von [mm] \IR_{>0} [/mm] nach [mm] \IR [/mm] gehen und aus dem grund wie oben stetig sein.
Ist das richtig?
Hoffe ihr könnt mir helfen
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> Hallo 
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> Was ist denn bei Deiner ersten Funktion an der Stelle x=0
da ist sie nicht definiert, weil man nicht durch 0 teilen darf
> und was bei Deiner zweiten Funktion an der Stelle x= 1
ln(1)=0, also wie oben
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Danke, hab ich nicht dran gedacht...sind die funktionen dann an den stellen auch nicht stetig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mi 10.01.2007 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Also falls ihr nicht im komplexen rechnet, würde ich bei der zeiten Funktion auch x < 0 auschließen.
Wegen der Stetigkeit, du musst für Stetigkeit nur den Definitionsbereich betrachten, also Definitionslücken fallen bei der Betrachtung der Stetigkeit weg.
Grüße Baufux
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> Hallo!
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> Also falls ihr nicht im komplexen rechnet, würde ich bei
> der zeiten Funktion auch x < 0 auschließen.
Stimmt, wegen ln (x)
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> Wegen der Stetigkeit, du musst für Stetigkeit nur den
> Definitionsbereich betrachten, also Definitionslücken
> fallen bei der Betrachtung der Stetigkeit weg.
Ok, aber was ist mit dem zwischenwertsatz, betrachte ich da nicht das gesamte intervall?
Sind die denn beide wirklich stetig? Wenn nein, wo nicht?
>
> Grüße Baufux
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Do 11.01.2007 | | Autor: | baufux |
Eigentlich fällt x < 0 mit der Wurzel weg, außer ihr rechnet im Komplexen, wie gesagt. Ob ihr den ln von einer Komplexen Zahl schon definiert habt?? (Weis jetzt gar nicht ob das geht, aber wahrscheinlich schon irgendwie mit der Taylorreihe für ln).
Ja, beim ZWS betrachtet man das ganze Intervall, aber eine Voraussetzung dafür dass man ihn anwenden darf ist ja, dass die Funktion auf diesem Intervall stetig ist. Man kann mit dem ZWS meines wissens nicht Stetigkeit beweisen! Ich weis jetzt nicht ob ihr schon sowas gemacht habt wie: "Verkettungen stetiger Funkionen sind stetig", damit ist das ganze recht einfach, sonst wüsste ich jetzt keinen simplen weg zu zeigen ob diese Funktionen stetig sind.
Mit dem Satz sind beide Funktionen auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig, da alle Teilfunktionen auf den Definitionbereichen stetig sind (So hat man die ja in diesem Fall gewählt).
Teilfunktionen wären bei der ersten Funktion: [mm] \bruch{1} {x}\quad e^{x} \quad \wurzel{x} [/mm]
Bei der Verkettung von [mm]e^{x} \ und\ \wurzel{x} [/mm] kommt es darauf an, dass [mm] e^x [/mm] nur positive Werte liefert.
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Ok, danke, das ist mir jetzt klar.
Also [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist im Definitionsbereich stetig?!
Verkettung und so hatten wir, ZWS war ne blöde Idee von mir, hab ich auch gemerkt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Do 11.01.2007 | | Autor: | baufux |
Ja! [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist auf [mm]\IR \backslash \{0\}[/mm] stetig, probier doch mal das [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium aus, du findest zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta, [/mm] sodass für |x-x0|< [mm] \delta [/mm] gilt, dass |f(x)-f(x0)|< [mm] \epsilon.
[/mm]
Das [mm] \delta [/mm] wird nur extrem klein, wenn man nahe an Null rankommt.
Unstetig sind nur Funktionen, die "echte" Sprünge aufweisen, z.B. die Signumfunktion oder charakteristische Funktionen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Do 11.01.2007 | | Autor: | math_begin |
Ok, jetzt ists klar, danke!
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