Stetige Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 So 01.11.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Ist die Funktion f(x) = [mm] \frac{x^2-x-2}^{x^2-2x}
[/mm]
stetig |
guten tag,
nein sie ist nicht stetig da [mm] \limes_{n\rightarrow\ 2} [/mm] f(x) = 0 ist
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Hallo
> Ist die Funktion f(x) = [mm]\frac{x^2-x-2}^{x^2-2x}[/mm]
> stetig
> guten tag,
>
> nein sie ist nicht stetig da [mm]\limes_{n\rightarrow\ 2}[/mm] f(x)
> = 0 ist
>
>
Du hast recht, die Funktion ist nicht stetig. Allerdings hast du falsch argumentiert.
Also,
1) Warum lässt du dein x gegen 2 laufen? (Bzw. dein n.. was ist denn n?)
2) Warum kann der Grenzwert bei 2 nicht 0 sein? (was er nicht ist übrigens..) (Bsp: y = [mm] x^{2} [/mm] ist bei 0 auch 0.. trotzdem stetig)
Also stell dir mal die Frage:
3) Was ist der kritische Punkt, den du untersuchen musst?
4) Was muss dort gelten? (Etwas mit linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert...)
Versuchs nochmals :)
Grüsse, Amaro
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> Du hast recht, die Funktion ist nicht stetig.
Hallo,
doch, die Funktion ist als Komposition stetiger Funktionen stetig auf ihrem Definitionsbereich.
Die Definitionslücke bei x=2 ist hebbar, die bei x=0 nicht.
Man kann sie also nicht zu einer auf [mm] \IR [/mm] stetigen Funktion ergänzen (wg. der Stelle x=0).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 So 01.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> doch, die Funktion ist als Komposition stetiger Funktionen
> stetig auf ihrem Definitionsbereich.
>
> Die Definitionslücke bei x=2 ist hebbar, die bei x=0
> nicht.
>
> Man kann sie also nicht zu einer auf [mm]\IR[/mm] stetigen Funktion
> ergänzen (wg. der Stelle x=0).
>
Ja eben, also ist die Funktion für x = 0 nicht stetig.. oder?
Natürlich ist sie für x = 2 stetig, ich verstehe aber auch nicht, warum dieser Punkt untersucht werden sollte, da der Nenner da nicht 0 ist.
Oder spinne ich jetzt vollkommen und sehe was nicht? ^^
> Gruß v. Angela
>
>
Grüsse, Amaro
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> Ja eben, also ist die Funktion für x = 0 nicht stetig..
> oder?
Hallo,
da die Funktion für x=0 überhaupt nicht definiert ist, ist es müßig, über ihre Stetigkeit an dieser Stelle zu reden.
Dasselbe trifft für x=2 zu.
Worüber man sinnvoll nachdenken kann, das ist die Frage, ob man die gegebene Funktion an diesen Stellen stetig ergänzen kann.
Für x=0 geht das nicht,
aber an der undefinierten Stelle x=2 könnte man einen Funktionswert so "einflicken", nämlich [mm] \lim_{x\to 2}f(x), [/mm] so daß die neue (!) Funktion an dieser Stelle stetig wäre.
Gruß v. Angela
>
> Natürlich ist sie für x = 2 stetig, ich verstehe aber
> auch nicht, warum dieser Punkt untersucht werden sollte, da
> der Nenner da nicht 0 ist.
>
> Oder spinne ich jetzt vollkommen und sehe was nicht? ^^
>
> > Gruß v. Angela
> >
> >
>
> Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 So 01.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> da die Funktion für x=0 überhaupt nicht definiert ist,
> ist es müßig, über ihre Stetigkeit an dieser Stelle zu
> reden.
Ja aber geht es nicht gerade darum zu zeigen, dass sie nicht definiert ist für x = 0?
Probleme bei solchen Quotioenten von Funktionen treten ja auf, wenn der Nenner = 0 wird.
Ich bin einverstanden, dass die Funktion bei x = 2 stetig fortsetzbar ist und bei x = 0 nicht.. aber das muss man doch zeigen! Nicht? ^^ Sry, ich bin grade ein bisschen schwer von Begriff hab ich das Gefühl..
> Dasselbe trifft für x=2 zu.
>
> Worüber man sinnvoll nachdenken kann, das ist die Frage,
> ob man die gegebene Funktion an diesen Stellen stetig
> ergänzen kann.
>
> Für x=0 geht das nicht,
Ja eben.. aber hierfür muss man ja die Grenzwerte berechnen um zu merken, dass es nicht geht..
>
> aber an der undefinierten Stelle x=2 könnte man einen
> Funktionswert so "einflicken", nämlich [mm]\lim_{x\to 2}f(x),[/mm]
> so daß die neue (!) Funktion an dieser Stelle stetig
> wäre.
Bin ich einverstanden..
>
> Gruß v. Angela
Grüsse, Amaro
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> Sry, ich bin grade ein bisschen
> schwer von Begriff hab ich das Gefühl..
Hallo,
Du tust gerade etwas sehr beliebtes: Du verwechselst die Frage danach, ob man die Funktion  stetig auf ganz [mm] \IR [/mm] fortsetzen kann, damit, ob die Funktion f stetig ist.
Die Funktion f ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0,2\}, [/mm] darauf kommt es mir an - und das war die eingangs von lisa11 gestellte Frage.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 01.11.2009 | | Autor: | lisa11 |
wenn ich das verstehe dann meine ich das ich den limes gegen 0 und 2 laufen lassen kann oder?
somit dann beide Grenzwerte vergleichen?
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Hallo lisa11,
> wenn ich das verstehe dann meine ich das ich den limes
> gegen 0 und 2 laufen lassen kann oder?
>
> somit dann beide Grenzwerte vergleichen?
Vergleichen kannst du die Grenzwerte nicht, aber feststellen, dass die Art der Grenzwerte unterschiedlich ist.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Definitionslücke
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 01.11.2009 | | Autor: | lisa11 |
gut das heisst unterschiedliche Grenzwerte ergeben eine Definitionslücke das heisst nicht stetige Funktion...
vielen dank für die Diskussionen
lisa
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> gut das heisst unterschiedliche Grenzwerte ergeben eine
> Definitionslücke das heisst nicht stetige Funktion...
Hallo,
nein, das heißt es nicht. Sondern:
n den Stellen, die man nicht in die Funktion einsetzen kann, die man nicht in die Funktion einsetzen kann, liegt eine Definitionslücke vor.
Derer gibt es nun verschiedene Arten:
1. solche Definitionslücken, an denen man einen Wert so einfügen kann, daß die dadurch neu entstehende Funktion stetig wird.
Das sind die Definitionslücken, an denen die Funktion einen Grenzwert hat, bei Deiner Funktion bei x=2.
Man nennt diese Definitionslücken "stetig hebbar", oderman sagt: die Funktion kann an dieser Stelle stetig ergänzt werden.
2. solche Definitionslücken, bei denen man keinen Wert einfügen kann, mit dem man die so entstehende neue Funktion stetig machen kann.
Das sind die Def.lücken, an denen die Funktion keinen Grenzwert hat, sei es, weil sie gegen [mm] \pm \infty [/mm] geht, oder die Grenzwerte von rechts und links verschieden sind.
So, was ich jetzt schrieb, handelte von der stetigen Ergänzbarkeit von Funktionen.
Es handelte nicht davon, ob die Funktion, die ich in den Händen halte, stetig ist.
Über "stetig" oder eben "nicht stetig" kann man nur an solchen Stellen sprechen, an welchen die Funktion definiert ist - weil halt nun mal die Definition von "stetig" so ist.
Stetigkeit erkennt man daran, daß der Grenzwert an der Stelle existiert, und daß dieser Grenzwert gerade der Funktionswert ist.
Ich gebe Dir jetzt zwei Beispiele von Funktionen [mm] (\IR \to \IR), [/mm] die an der Stelle 5 nicht stetig sind.
[mm] g(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\le 5 \mbox{} \\ x+3, & \mbox{für } x>5 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Funktionswert bei 5 ist g(5)=5. Der Grenzwert von links ist 5, der von rechts ist 8, also hat die Funktion an der Stelle x=5 keinen Funktionswert, ist hier also nicht stetig.
[mm] h(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x\not=0 \mbox{} \\ 17, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Funktionswert bei 5 ist h(5)=17. Der Grenzwert an der Stelle 5 ist 25, also stimmen grenzwert und Funktionswert hier nicht überein. Somit ist die Funktion nicht stetig bei x=5.
Nun zurück zu Deiner Funktion: Du hattest eine gebrochen rationale Funktion als Aufgabe bekommen, also Polynom in Zähler und Nenner.
Diese Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich immer, immer, immer stetig.
Untersuchen tut man dann die Definitionslücken darauf, ob diese stetig hebbar sind oder nicht.
Bei gebrochen rationalen Funktionen sind die nicht stetig hebbaren Definitionslücken stets Polstellen, bei denen die Funktionswwerte gegen [mm] \pm \infty [/mm] laufen.
Gruß v. Angela
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> Hallo
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> > doch, die Funktion ist als Komposition stetiger Funktionen
> > stetig auf ihrem Definitionsbereich.
> >
> > Die Definitionslücke bei x=2 ist hebbar, die bei x=0
> > nicht.
> >
> > Man kann sie also nicht zu einer auf [mm]\IR[/mm] stetigen Funktion
> > ergänzen (wg. der Stelle x=0).
> >
>
> Ja eben, also ist die Funktion für x = 0 nicht stetig..
An der Stelle x=0 ist die Funktion weder stetig
noch unstetig, da sie da gar nicht definiert ist.
Zu diesem Themenkreis gab es hier vor längerer
Zeit mal eine Mega-Diskussion: Stetigkeit
> Natürlich ist sie für x = 2 stetig, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> ich verstehe aber auch nicht, warum dieser Punkt
> untersucht werden sollte, da der Nenner da nicht 0 ist.
Hallo Amaro,
natürlich muss man x=2 speziell betrachten, denn
da ist sowohl der Zähler als auch der Nenner des
gegebenen (ungekürzten !) Terms Null und damit
der Term nicht definiert. Man könnte aber f durch
die zusätzliche Festlegung f(2):=1.5 zu einer
an der Stelle x=2 stetigen Funktion ergänzen.
Deshalb "stetig behebbare Definitionslücke".
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 01.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Al
> > Natürlich ist sie für x = 2 stetig,
> > ich verstehe aber auch nicht, warum dieser Punkt
> > untersucht werden sollte, da der Nenner da nicht 0 ist.
>
>
> Hallo Amaro,
>
> natürlich muss man x=2 speziell betrachten, denn
> da ist sowohl der Zähler als auch der Nenner des
> gegebenen (ungekürzten !) Terms Null
Ja, das hab ich dann gemerkt ^^ hätte ein bisschen mehr aufpassen sollen...
Was ich immer noch nicht blick.. ich mein, der Definitionsbereich wurde nicht angegeben, somit ist der für mich [mm] \IR... [/mm] Aber gut, ich kann mich damit abfinden, dass die Funktion da nicht definiert ist.. ich dachte nur das muss man zeigen (weil eben nichts steht von wegen Def-Bereich..)
> LG Al-Chw.
Grüsse, Amaro
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> Was ich immer noch nicht blick.. ich mein, der
> Definitionsbereich wurde nicht angegeben, somit ist der
> für mich [mm]\IR...[/mm]
Ganz gewiß nicht, denn beim Einsetzen von 0 und 2 scheiterst Du.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 So 01.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
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> > Was ich immer noch nicht blick.. ich mein, der
> > Definitionsbereich wurde nicht angegeben, somit ist der
> > für mich [mm]\IR...[/mm]
>
> Ganz gewiß nicht, denn beim Einsetzen von 0 und 2
> scheiterst Du.
>
> Gruß v. Angela
Ja genau, und darum überprüft man ja, bei welchen der beiden Punkte man fortsetzen kann...
Ich hab nur ein Problem mit der Tatsache, dass ihr alle sagt, bei x = 0 und x = 2 hat man ein Problem, aber ihr betrachtet dann nur x = 2 weiter, weil die Funktion für x = 0 nicht definiert ist.. und für x = 2? Ohne es auszuprobieren weiss man das ja auch nicht, oder? Somit muss man doch die Grenzwerte an beiden Punkten ausrechnen.. Wieso bevorzugt ihr denn den Punkt 2? :D
Ich werde noch verrückt..
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> Ich hab nur ein Problem mit der Tatsache, dass ihr alle
> sagt, bei x = 0 und x = 2 hat man ein Problem, aber ihr
> betrachtet dann nur x = 2 weiter, weil die Funktion für x
> = 0 nicht definiert ist.. und für x = 2?
Hallo,
nein. Mit der Funktion f haben wir überhaupt kein Problem.
Die Funktion ist für [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0,2\} [/mm] definiert,
und weil sie aus stetigen Funktionen zusammengesetzt ist, ist sie auf ihrem Definitionsbereich stetig.
Was außerhalb des Definitionsbereiches ist, interessiert keinen Menschen, weil sie dort ja gar nicht existiert.
Nun gibt es allerdings eine daran anschließende Fragestellung, die oft interessiert:
gibt es eine stetige Funktion [mm] g:\IR \to \IR [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
g(x)=f(x) für alle [mm] x\in \IR [/mm] \ [mm] \{0,2\}.
[/mm]
Dieses Thema beackerst Du ja völlig richtig, wie ich beim Überfliegen sehe.
Du stellst fest:
[mm] lim_{x\to 2}f(x)=\bruch{3}{2},
[/mm]
und [mm] lim_{x\to 0}f(x) [/mm] existiert nicht.
Also kann man die Funktion f zwar an der Stelle x=2 stetig fortsetzen, aber an der Stelle 0 nicht.
Es hat die Funktion f also auf [mm] \IR [/mm] keine stetige Fortsetzung, auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] aber sehr jawohl.
Die stetige Fortsetzung auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] ist
h: [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} \to \IR
[/mm]
[mm] h(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=2 \mbox{ } \\ \bruch{3}{2}, & \mbox{für } x=2 \mbox{} \end{cases}.
[/mm]
> Ich werde noch verrückt..
Oh nein, bitte nicht! Du bist doch ansonsten immer ganz klar!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 So 01.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Danke Angela..
Das hat mir geholfen, klar zu sehen :) Ich habe einfach beide Fragestellungen zu einer zusammengewürfelt..
Liebe Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 01.11.2009 | | Autor: | lisa11 |
nach euren Diskussionen verstehe ich nur das man den Grenzwert gegen
0 und 2 bilden muss und dann die Funktion hinschreiben...
wenn 0 nicht stetig wenn ein Wert vorkommt stetig oder sehe ich das falsch
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> nach euren Diskussionen verstehe ich nur das man den
> Grenzwert gegen
> 0 und 2 bilden muss und dann die Funktion hinschreiben...
Hallo,
wenn Deine Aufgabe ist, daß Du sagen sollst, an welchen Stellen die Funktion stetig ist,
dann lautet die Antwort:
f ist als Komposition stetiger Funktionen stetig auf ihrem Definitionsbereich, welcher [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0,2\} [/mm] ist.
(Ich gehe davon aus, daß die Stetigkeit von Kompositionen stetiger Funktionen bereits besprochen wurde.)
Es ist dann für die Frage nach der Stetigkeit von f kein Grenzwert mehr zu berechnen, und Du bist fertig mit Deinen Bemühungen.
Wenn gefragt ist, ob die beiden Definitionslücken stetig hebbar sind bzw. die Funktion f an diesen Stellen stetig zu ergänzen, dann kommen die beiden von Dir genannten Grenzwerte ins Spiel, deren Ergebnisse ih in meinen Posts ja genannt habe.
Zur Anschauung:
Zeiche mal die Funktion f.
Bei x=0 geht sie auf der einen Seite gegen [mm] \infty, [/mm] auf der anderen Seite gegen [mm] -\infty, [/mm] das kann man nicht durch das Einfügen eines Punktes flicken.
An der Stelle x=2 hingegen ist lediglich ein winzigkleines Löchlein, welches Du im graphen eigentlich gar nciht siehst, und welches Du leicht durch den passenden Funktionswert stopfen kannst.
Hier kann f also stetig ergänzt werden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 01.11.2009 | | Autor: | lisa11 |
muss ich da den linksseitigen und rechtseitigen Grenzwert einsetzen von
-2 und 2 und dies zeigen das beide ungleich 0 sind?
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Hallo
> muss ich da den linksseitigen und rechtseitigen Grenzwert
> einsetzen von
> -2 und 2 und dies zeigen das beide ungleich 0 sind?
Die Funktion ist bei x = 0 nicht stetig. Bei x = 2 gibts kei Problem.
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 01.11.2009 | | Autor: | lisa11 |
Beweise ich dies das sie bei Null nicht stetig ist indem ich den Grenzwert
gegen Null laufen lassse?
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Ja, aber ein Mal von links gegen 0 gehen, ein Mal von rechts.
Dann solltest du 2 verschiedene Grenzwerte erhalten.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 01.11.2009 | | Autor: | lisa11 |
was heisst das von links gegen Null gehen und von rechts gegen Null gehen?
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Hallo!
> was heisst das von links gegen Null gehen und von rechts
> gegen Null gehen?
Das heißt, du sollst den rechtsseitigen Grenzwert für [mm] $x\to [/mm] 0$ (Man schreibt manchmal dafür [mm] $\limes_{x\rightarrow 0+}f(x)$ [/mm] ) von $f(x)$ und den linksseitigen Grenzwert für [mm] $x\to [/mm] 0$ (Man schreibt machmal dafür [mm] $\limes_{x\rightarrow 0-}f(x)$ [/mm] ) von $f(x)$ bestimmen.
Grüße,
Stefan
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