Stetige Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Ferner sei p [mm] \in \IR [/mm] mit f(p) > 0 gegeben. Zeigen Sie: Es existiert ein offenes Intervall I mit Mittelpunkt p, so dass f(x) > 0 für alle x [mm] \in [/mm] I ist.
Gilt dies auch, wenn f nur an der Stelle p stetig ist? |
Hey,
ich habe bei dieser Aufgabe leider keinen brauchbaren Ansatz und würd an dieser Stelle um einen Ansatz bitten, mit dem ich versuche weiterzuarbeiten.
Danke im Voraus. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Ferner sei p [mm]\in \IR[/mm]
> mit f(p) > 0 gegeben. Zeigen Sie: Es existiert ein offenes
> Intervall I mit Mittelpunkt p, so dass f(x) > 0 für alle x
> [mm]\in[/mm] I ist.
>
> Gilt dies auch, wenn f nur an der Stelle p stetig ist?
> Hey,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe leider keinen brauchbaren
> Ansatz und würd an dieser Stelle um einen Ansatz bitten,
> mit dem ich versuche weiterzuarbeiten.
sei [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $p\,$ [/mm] mit [mm] $f(p):=\mathbf{\blue{2}}*\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Zu diesem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert dann ein [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass
$$|f(x)-f(p)| < [mm] \varepsilon \text{ für alle }x \in \IR \text{ mit }|x-p| [/mm] < [mm] \delta\,.$$
[/mm]
1.) Ist Dir klar, dass jene $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x-p| < [mm] \delta$ [/mm] genau jene $x [mm] \in (p-\delta,p+\delta)$ [/mm] sind? Letztstehendes Intervall ist offen - warum ist es nicht leer?
2.) Für jedes $x [mm] \in (p-\delta,p+\delta)$ [/mm] folgt
$$f(x)=f(x)-f(p) + [mm] f(p)\,,$$
[/mm]
wie kann man für diese [mm] $x\,$ [/mm] nun $f(x) > [mm] \varepsilon$ [/mm] einsehen?
Zur Zusatzfrage:
Haben wir an irgendeiner Stelle mehr als die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $p\,$ [/mm] gebraucht?
(Die Zusatzfrage wäre sinnvoller, wenn dort $f: A [mm] \to \IR$ [/mm] mit irgendeiner Teilmenge $A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] wäre. Denn dann könnte etwa [mm] $f\,$ [/mm] im Definitionsbereich auch eine isolierte Stelle haben, an welcher [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere automatisch stetig ist - dabei heißt $a [mm] \in [/mm] A$ isolierte Stelle, wenn es ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so gibt, dass [mm] $\{a\}=U_{\epsilon}(a) \cap A=\{x \in \IR:\;x \in A \text{ und }|x-a| < \epsilon\}\,.$ [/mm] Du kannst es Dir so merken: Isolierte Stellen des Definitionsbereichs sind quasi die "Einzelgänger des Definitionsbereichs: Sie halten von allen anderen Stellen des Definitionsbereichs einen Mindestabstand." (Dabei darf aber jede isolierte Stelle einen anderen Mindestabstand wählen.))
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> sei [mm]f\,[/mm] stetig in [mm]p\,[/mm] mit
> [mm]f(p):=\mathbf{\blue{2}}*\varepsilon > 0\,.[/mm] Zu diesem
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] existiert dann ein [mm]\delta > 0\,,[/mm] so dass
> [mm]|f(x)-f(p)| < \varepsilon \text{ für alle }x \in \IR \text{ mit }|x-p| < \delta\,.[/mm]
Wieso wählst du hier die 2 vor dem [mm] \varepsilon?, [/mm] also mir ist klar, dass [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ist, wieso ist es hier sinnvoller 2 [mm] \cdot \varepsilon [/mm] > 0 anzunehmen?
>
> 1.) Ist Dir klar, dass jene [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]|x-p| < \delta[/mm]
> genau jene [mm]x \in (p-\delta,p+\delta)[/mm] sind? Letztstehendes
> Intervall ist offen - warum ist es nicht leer?
Wieso gilt [mm]x \in (p-\delta,p+\delta)[/mm] ? D.h. ja du hast dein p und betrachtest das Intervall drumherum von links und rechts?
Naja, letztstehendes Intervall ist nicht leer, da [mm] \delta [/mm] > 0 ? - Stimmt das so?
> 2.) Für jedes [mm]x \in (p-\delta,p+\delta)[/mm] folgt
> [mm]f(x)=f(x)-f(p) + f(p)\,,[/mm]
> wie kann man für diese [mm]x\,[/mm] nun
> [mm]f(x) > \varepsilon[/mm] einsehen?
Ich versuch mal erstmal den ersten Teil der Frage zu verstehen xD
ich weiß nur, dass gilt |f(x) - f(p)| < [mm] \varepsilon, [/mm] laut Epsilon-Delta-Kriterium ... :/
> Zur Zusatzfrage:
> Haben wir an irgendeiner Stelle mehr als die Stetigkeit
> von [mm]f\,[/mm] an der Stelle [mm]p\,[/mm] gebraucht?
>
> (Die Zusatzfrage wäre sinnvoller, wenn dort [mm]f: A \to \IR[/mm]
> mit irgendeiner Teilmenge [mm]A \subseteq \IR[/mm] wäre. Denn dann
> könnte etwa [mm]f\,[/mm] im Definitionsbereich auch eine isolierte
> Stelle haben, an welcher [mm]f\,[/mm] insbesondere automatisch
> stetig ist - dabei heißt [mm]a \in A[/mm] isolierte Stelle, wenn es
> ein [mm]\epsilon > 0[/mm] so gibt, dass [mm]\{a\}=U_{\epsilon}(a) \cap A=\{x \in \IR:\;x \in A \text{ und }|x-a| < \epsilon\}\,.[/mm]
> Du kannst es Dir so merken: Isolierte Stellen des
> Definitionsbereichs sind quasi die "Einzelgänger des
> Definitionsbereichs: Sie halten von allen anderen Stellen
> des Definitionsbereichs einen Mindestabstand." (Dabei darf
> aber jede isolierte Stelle einen anderen Mindestabstand
> wählen.))
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> > sei [mm]f\,[/mm] stetig in [mm]p\,[/mm] mit
> > [mm]f(p):=\mathbf{\blue{2}}*\varepsilon > 0\,.[/mm] Zu diesem
> > [mm]\varepsilon > 0[/mm] existiert dann ein [mm]\delta > 0\,,[/mm] so dass
> > [mm]|f(x)-f(p)| < \varepsilon \text{ für alle }x \in \IR \text{ mit }|x-p| < \delta\,.[/mm]
>
> Wieso wählst du hier die 2 vor dem [mm]\varepsilon?,[/mm] also mir
> ist klar, dass [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ist, wieso ist es hier
> sinnvoller 2 [mm]\cdot \varepsilon[/mm] > 0 anzunehmen?
es "verdeutlicht" einfach nachher nur besser, dass $f(x) > [mm] 0\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in (p-\delta,p+\delta)$ [/mm] gilt. Du könntest auch [mm] $\varepsilon:=f(p)\,$ [/mm] setzen, ich setze halt [mm] $\varepsilon:=f(p)/2\,.$ [/mm] (Wenn man es sich graphisch veranschaulischt wird man vielleicht eher dazu neigen, mein [mm] $\varepsilon=f(p)/2$ [/mm] herzunehmen, anstatt [mm] $\varepsilon=f(p)\,.$ [/mm] Dein's ist quasi das größtmögliche [mm] Stetigkeits-$\varepsilon$ [/mm] für die Aufgabe. Rein theoretisch könntest Du auch [mm] $\varepsilon:=f(p)/658345647^{\sqrt{2}*\pi*354345}$ [/mm] hernehmen - das [mm] $\varepsilon$ [/mm] sollte halt nur $0 < [mm] \varepsilon \le [/mm] f(p)$ erfüllen! Jedenfalls, wenn ihr die Stetigkeit mit $|x-p| < [mm] \delta \Rightarrow |f(x)-f(p)|\;\red{\mathbf{<}}\; \varepsilon$ [/mm] definiert hattet. Ein bisschen vorsichtiger muss man bei Deiner Aufgabe - zumindest, wenn man dann direkt per Definitionem arbeitet - sein, wenn da in der Folgerung irgendwo ein [mm] $\le$ [/mm] steht! Daher ist's vielleicht gar nicht schlecht: Wie genau sieht Eure Stetigkeitsdefinition aus? Steht da ein [mm] $<\,$ [/mm] vor dem [mm] $\delta$ [/mm] und auch ein [mm] $<\,$ [/mm] vor dem [mm] $\varepsilon$?)
[/mm]
> > 1.) Ist Dir klar, dass jene [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]|x-p| < \delta[/mm]
> > genau jene [mm]x \in (p-\delta,p+\delta)[/mm] sind? Letztstehendes
> > Intervall ist offen - warum ist es nicht leer?
>
> Wieso gilt [mm]x \in (p-\delta,p+\delta)[/mm] ? D.h. ja du hast dein
> p und betrachtest das Intervall drumherum von links und
> rechts?
Hast Du Dir noch nie Gedanken gemacht, was $|a-b| < [mm] \epsilon\,$ [/mm] für $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ bedeutet? Es gilt
$$|a-b| < [mm] \epsilon \gdw \Big( [/mm] a-b < [mm] \epsilon \text{ oder } [/mm] -(a-b) < [mm] \epsilon \Big)\; \red{\gdw} \;( b-\epsilon [/mm] < a < [mm] b+\epsilon )\,.$$
[/mm]
Damit erkennt man etwa: $|a-b| < [mm] \epsilon$ [/mm] heißt, dass [mm] $a\,$ [/mm] ein Element von [mm] $(b-\epsilon,\;b+\epsilon)$ [/mm] sein muss. (Beachte aber, dass [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ war!)
(Bei dem letzten, roten [mm] $\;\red{\gdw}\;$ [/mm] sollte man sich Gedanken über die Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] machen!)
Also sind jene $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x-p| < [mm] \delta$ [/mm] genau jene [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $p-\delta [/mm] < x < [mm] p+\delta\,,$ [/mm] also jene $x [mm] \in (p-\delta,\;p+\delta)\,.$
[/mm]
(Du kannst es Dir auch vollkommen analog der Vorüberlegung so überlegen - ich führ' das hier mal ein wenig genauer aus:
Frage: Genau welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllen denn $|x-p| < [mm] \delta$?
[/mm]
1. Fall: Falls $x-p [mm] \ge [/mm] 0$ ist, bedeutet $|x-p| < [mm] \delta$ [/mm] nichts anderes als $x-p < [mm] \delta\,,$ [/mm] also $x < [mm] p+\delta\,.$ [/mm] Wegen $x [mm] \ge [/mm] p$ gilt aber auch $x > [mm] p-\delta\,,$ [/mm] also gilt hier [mm] $p-\delta [/mm] < x < [mm] p+\delta\,.$
[/mm]
2. Fall: Falls $x-p [mm] \le [/mm] 0$ ist, bedeutet $|x-p| < [mm] \delta$ [/mm] nichts anderes als $p-x < [mm] \delta\,,$ [/mm] also $x > [mm] p-\delta\,.$ [/mm] Wegen $x [mm] \le [/mm] p$ gilt hier aber auch $x < [mm] p+\delta\,,$ [/mm] also gilt hier [mm] $p-\delta [/mm] < x < [mm] p+\delta\,.$
[/mm]
In allen Fällen (dass wir den Fall [mm] $x-p=0\,$ [/mm] zweimal behandelt haben, macht daran nichts kaputt!) gilt also die Ungleichungskette [mm] $p-\delta [/mm] < x < [mm] p+\delta\,.$
[/mm]
Die umgekehrte Implikation
[mm] $$p-\delta [/mm] < x < [mm] p+\delta \Rightarrow [/mm] |x-p| < [mm] \delta$$
[/mm]
ist dann klar - bzw. Du kannst mal versuchen, sie Dir schnell klarzumachen. Das solltest Du analog zu oben relativ schnell einsehen.)
Nebenbei: Mach' Dir nun mal unbedingt am Zahlenstrahl klar, wo Du die [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-p| < [mm] \delta$ [/mm] dort wiederfindest. (Dazu: Zirkel auf [mm] $\delta [/mm] > 0$ einstellen und einen Kreis um [mm] $p\,$ [/mm] schlagen - dann markiert der Zirkel zwei Punkte auf dem Zahlenstrahl, gerade die Randpunkte des in der Aufgabe genannten offenen Intervalls!
Und warum rede ich hier davon, dass Du Dir das mit dem Zirkel klarmachen sollst? Naja, wenn ich Dich fragen würde, wie Du die $y [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] die um einen festen Punkt $p [mm] \in \IR^2$ [/mm] einen Abstand $< [mm] R\,$ [/mm] mit einem festen $R > [mm] 0\,$ [/mm] haben sollen, visualisieren kannst: Da wüßtest Du die Antwort sicher sofort. Und Du würdest vielleicht noch dazuschreiben, dass diese [mm] $y\,$ [/mm] alle genau in der Menge [mm] $\{z \in \IR^2: \|z-p\|_2 < R\}=\{z \in \IR^2: \|z-p\|_2\,^2 < R^2\}$ [/mm] aufzufinden sind - und mir dann auch sicher noch davon erzählen, dass die letztstehende Menge die offene Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt [mm] $p\,$ [/mm] und Radius [mm] $R\,$ [/mm] ist.)
> Naja, letztstehendes Intervall ist nicht leer, da [mm]\delta[/mm] >
> 0 ? - Stimmt das so?
Genau!
> > 2.) Für jedes [mm]x \in (p-\delta,p+\delta)[/mm] folgt
> > [mm]f(x)=f(x)-f(p) + f(p)\,,[/mm]
> > wie kann man für diese
> [mm]x\,[/mm] nun
> > [mm]f(x) > \varepsilon[/mm] einsehen?
>
> Ich versuch mal erstmal den ersten Teil der Frage zu
> verstehen xD
> ich weiß nur, dass gilt |f(x) - f(p)| < [mm]\varepsilon,[/mm] laut
> Epsilon-Delta-Kriterium ... :/
Na, daraus erschließt sich doch sofort (mit dem vorher gesagten), dass für alle $x [mm] \in (p-\delta,\;p+\delta)$ [/mm] gilt
[mm] $$f(p)-\varepsilon [/mm] < f(x) < f(p) [mm] +\varepsilon\,.$$
[/mm]
Wenn Du genau hinguckst, bist Du hier auch schon fertig!
> > Zur Zusatzfrage:
> > Haben wir an irgendeiner Stelle mehr als die Stetigkeit
> > von [mm]f\,[/mm] an der Stelle [mm]p\,[/mm] gebraucht?
Die Frage beantwortest Du mir dann später.
Das folgende:
> > (Die Zusatzfrage wäre sinnvoller, wenn dort [mm]f: A \to \IR[/mm]
> > mit irgendeiner Teilmenge [mm]A \subseteq \IR[/mm] wäre. Denn dann
> > könnte etwa [mm]f\,[/mm] im Definitionsbereich auch eine isolierte
> > Stelle haben, an welcher [mm]f\,[/mm] insbesondere automatisch
> > stetig ist - dabei heißt [mm]a \in A[/mm] isolierte Stelle, wenn es
> > ein [mm]\epsilon > 0[/mm] so gibt, dass [mm]\{a\}=U_{\epsilon}(a) \cap A=\{x \in \IR:\;x \in A \text{ und }|x-a| < \epsilon\}\,.[/mm]
> > Du kannst es Dir so merken: Isolierte Stellen des
> > Definitionsbereichs sind quasi die "Einzelgänger des
> > Definitionsbereichs: Sie halten von allen anderen Stellen
> > des Definitionsbereichs einen Mindestabstand." (Dabei darf
> > aber jede isolierte Stelle einen anderen Mindestabstand
> > wählen.))
ist mehr eine Bemerkung meinerseits - das wäre sozusagen nochmal eine zusätzliche Zusatzaufgabe, worauf ich da hinaus will.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:10 So 10.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hallo Ana,
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> > > sei [mm]f\,[/mm] stetig in [mm]p\,[/mm] mit
> > > [mm]f(p):=\mathbf{\blue{2}}*\varepsilon > 0\,.[/mm] Zu diesem
> > > [mm]\varepsilon > 0[/mm] existiert dann ein [mm]\delta > 0\,,[/mm] so dass
> > > [mm]|f(x)-f(p)| < \varepsilon \text{ für alle }x \in \IR \text{ mit }|x-p| < \delta\,.[/mm]
>
> >
> > Wieso wählst du hier die 2 vor dem [mm]\varepsilon?,[/mm] also mir
> > ist klar, dass [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ist, wieso ist es hier
> > sinnvoller 2 [mm]\cdot \varepsilon[/mm] > 0 anzunehmen?
>
> es "verdeutlicht" einfach nachher nur besser, dass [mm]f(x) > 0\,[/mm]
> für alle [mm]x \in (p-\delta,p+\delta)[/mm] gilt. Du könntest auch
> [mm]\varepsilon:=f(p)\,[/mm] setzen, ich setze halt
> [mm]\varepsilon:=f(p)/2\,.[/mm] (Wenn man es sich graphisch
> veranschaulischt wird man vielleicht eher dazu neigen, mein
> [mm]\varepsilon=f(p)/2[/mm] herzunehmen, anstatt [mm]\varepsilon=f(p)\,.[/mm]
> Dein's ist quasi das größtmögliche
> Stetigkeits-[mm]\varepsilon[/mm] für die Aufgabe. Rein theoretisch
> könntest Du auch
> [mm]\varepsilon:=f(p)/658345647^{\sqrt{2}*\pi*354345}[/mm] hernehmen
> - das [mm]\varepsilon[/mm] sollte halt nur [mm]0 < \varepsilon \le f(p)[/mm]
> erfüllen! Jedenfalls, wenn ihr die Stetigkeit mit [mm]|x-p| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(p)|\;\red{\mathbf{<}}\; \varepsilon[/mm]
> definiert hattet. Ein bisschen vorsichtiger muss man bei
> Deiner Aufgabe - zumindest, wenn man dann direkt per
> Definitionem arbeitet - sein, wenn da in der Folgerung
> irgendwo ein [mm]\le[/mm] steht! Daher ist's vielleicht gar nicht
> schlecht: Wie genau sieht Eure Stetigkeitsdefinition aus?
> Steht da ein [mm]<\,[/mm] vor dem [mm]\delta[/mm] und auch ein [mm]<\,[/mm] vor dem
> [mm]\varepsilon[/mm]?)
Unsere Definition war die mit <, aber unser Tutor meinte, wir können auch [mm] \le [/mm] in die Definition einsetzen, würde nichts grundlgend ändern ...
Ansonsten vielen Dank, hast viele Dinge angeschnitten, die ich nacharbeiten werde und mir so einiges klar gemacht, danke! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Ferner sei p [mm]\in \IR[/mm]
> mit f(p) > 0 gegeben. Zeigen Sie: Es existiert ein offenes
> Intervall I mit Mittelpunkt p, so dass f(x) > 0 für alle x
> [mm]\in[/mm] I ist.
>
> Gilt dies auch, wenn f nur an der Stelle p stetig ist?
ich hab' nun eine andere Frage: Ist da auch gemeint, dass $f(p) > [mm] 0\,$ [/mm] nicht mehr notwendigerweise gilt?
Die Aussage wird nämlich falsch, wenn man schon nur $f(p) [mm] \ge [/mm] 0$ fordern würde! (Was man auch durch [mm] $f=0\,$ [/mm] sofort einsieht!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:05 So 10.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Naja, ich habe die Aufgabe 1:1 übernommen, weiß nicht genau, wie es nun gemeint ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Frage
"Gilt dies auch, wenn f nur an der Stelle p stetig ist?"
ist so gemeint: da f als stetig auf ganz [mm] \IR [/mm] vorausgesetzt ist, stellt sich die Frage, ob man das wirklich braucht.
Nein, man braucht nur die Stetigkeit von f in p.
Man braucht sogar weniger: man braucht nur, dass [mm] \limes_{x\rightarrow p}f(x) [/mm] existiert und >0 ist.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Die Frage
>
> "Gilt dies auch, wenn f nur an der Stelle p stetig ist?"
>
> ist so gemeint: da f als stetig auf ganz [mm]\IR[/mm] vorausgesetzt
> ist, stellt sich die Frage, ob man das wirklich braucht.
ja, das dachte ich mir auch. Aber dann ist doch die Aufgabe ziemlich trivial - kam mir jedenfalls so vor... Also ich sehe irgendwie keinen großen Sinn in dieser Frage, denn aus dem Beweis ergibt sich sofort, dass alleine die Stetigkeit in [mm] $p\,$ [/mm] und $f(p) > [mm] 0\,$ [/mm] hinreichend für das ist, was man zeigen soll.
> Nein, man braucht nur die Stetigkeit von f in p.
>
> Man braucht sogar weniger: man braucht nur, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow p}f(x)[/mm] existiert und >0 ist.
In der Tat: Auch das wäre hinreichend für die Aufgabe und man fordert noch weniger - man darf aber nicht überlesen, dass Du auch erwähnt hast, dass dieser Grenzwert ECHT GRÖßER ALS NULL sein muss! (Und was [mm] $f(p)\,$ [/mm] dann ist, ist schnuppe.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 So 10.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Ferner sei p [mm]\in \IR[/mm]
> mit f(p) > 0 gegeben. Zeigen Sie: Es existiert ein offenes
> Intervall I mit Mittelpunkt p, so dass f(x) > 0 für alle x
> [mm]\in[/mm] I ist.
>
> Gilt dies auch, wenn f nur an der Stelle p stetig ist?
> Hey,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe leider keinen brauchbaren
> Ansatz und würd an dieser Stelle um einen Ansatz bitten,
> mit dem ich versuche weiterzuarbeiten.
>
> Danke im Voraus. :)
Alternativ: Annahme: in jedem offenen Intervall mit Mittelpunkt p gibt es ein x mit f(x) [mm] \le [/mm] 0.
Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es dann ein [mm] x_n \in [/mm] (p-1/n, p+1/n) mit [mm] f(x_n) \le [/mm] 0.
Die Folge [mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen p. Da f stetig in p ist, konv. [mm] (f(x_n)) [/mm] gegen f(p). Damit ist f(p) [mm] \le [/mm] 0. Wid.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Ferner sei p [mm]\in \IR[/mm]
> > mit f(p) > 0 gegeben. Zeigen Sie: Es existiert ein offenes
> > Intervall I mit Mittelpunkt p, so dass f(x) > 0 für alle x
> > [mm]\in[/mm] I ist.
Wäre das so nun ein ausreichender Beweis:
Sei f(p) > 0. Es sei [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] \bruch{1}{2}f(p). [/mm] Da f in p stetig ist, gibt es ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass für alle x [mm] \in [/mm] ] [mm] p-\delta [/mm] , [mm] p+\delta [/mm] [ [mm] \cap [/mm] I gilt: |f(x) - f(p)| < [mm] \varepsilon. [/mm] Für solche x ist [mm] -\varepsilon [/mm] < f(x) - f(p) < [mm] \varepsilon [/mm] es folgt f(x) > f(p) - [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 2\varepsilon [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] > 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> > > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Ferner sei p [mm]\in \IR[/mm]
> > > mit f(p) > 0 gegeben. Zeigen Sie: Es existiert ein offenes
> > > Intervall I mit Mittelpunkt p, so dass f(x) > 0 für alle x
> > > [mm]\in[/mm] I ist.
>
> Wäre das so nun ein ausreichender Beweis:
>
> Sei f(p) > 0. Es sei [mm]\varepsilon[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}f(p).[/mm]
nur der Vollständigkeit wegen würde ich noch dazuschreiben "Dann ist [mm] $\red{\varepsilon >0\,.}$"
[/mm]
> Da f
> in p stetig ist, gibt es ein [mm]\delta[/mm] > 0, so dass für alle
> x [mm]\in[/mm] ] [mm]p-\delta[/mm] , [mm]p+\delta[/mm] [ [mm]\cap[/mm] I gilt: |f(x) - f(p)| <
> [mm]\varepsilon.[/mm] Für solche x ist [mm]-\varepsilon[/mm] < f(x) - f(p) <
> [mm]\varepsilon[/mm] es folgt
Wozu steht da oben ein [mm] $I\,,$ [/mm] und wie ist dieses definiert? Nach Aufgabenstellung kannst Du jedenfalls [mm] $I:=]p-\delta,\;p+\delta[$ [/mm] setzen. Und $I [mm] \cap [/mm] I$ brauchst Du dann nicht mehr zu schreiben.
also für diese [mm] $\red{x} \in [/mm] I$ [mm] ($I\,$ [/mm] wie bei mir) sodann
> f(x) > f(p) - [mm]\varepsilon[/mm] =
> [mm]2\varepsilon[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] > 0
Ja - bis auf die Kleinigkeit mit dem [mm] $I\,.$ [/mm] Meine roten Ergänzungen musst Du nicht übernehmen, sie dienen nur zur Verdeutlichung - auch das von Dir geschriebene alleine ist so vollkommen in Ordnung!
P.S.
Du siehst hier auch, dass das auch mit [mm] $\varepsilon:=f(p)\,$ [/mm] klappen würde. Oder?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> > > > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Ferner sei p [mm]\in \IR[/mm]
> > > > mit f(p) > 0 gegeben. Zeigen Sie: Es existiert ein offenes
> > > > Intervall I mit Mittelpunkt p, so dass f(x) > 0 für alle x
> > > > [mm]\in[/mm] I ist.
> >
> > Wäre das so nun ein ausreichender Beweis:
> >
> > Sei f(p) > 0. Es sei [mm]\varepsilon[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}f(p).[/mm]
>
> nur der Vollständigkeit wegen würde ich noch
> dazuschreiben "Dann ist [mm]\red{\varepsilon >0\,.}[/mm]"
>
> > Da f
> > in p stetig ist, gibt es ein [mm]\delta[/mm] > 0, so dass für alle
> > x [mm]\in[/mm] ] [mm]p-\delta[/mm] , [mm]p+\delta[/mm] [ [mm]\cap[/mm] I gilt: |f(x) - f(p)| <
> > [mm]\varepsilon.[/mm] Für solche x ist [mm]-\varepsilon[/mm] < f(x) - f(p) <
> > [mm]\varepsilon[/mm] es folgt
>
> Wozu steht da oben ein [mm]I\,,[/mm] und wie ist dieses definiert?
> Nach Aufgabenstellung kannst Du jedenfalls
> [mm]I:=]p-\delta,\;p+\delta[[/mm] setzen. Und [mm]I \cap I[/mm] brauchst Du
> dann nicht mehr zu schreiben.
oder besser dann anstelle des I ein D für den Definitionsbereichs?
>
> also für diese [mm]\red{x} \in I[/mm] ([mm]I\,[/mm] wie bei mir) sodann
>
> > f(x) > f(p) - [mm]\varepsilon[/mm] =
> > [mm]2\varepsilon[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] > 0
>
> Ja - bis auf die Kleinigkeit mit dem [mm]I\,.[/mm] Meine roten
> Ergänzungen musst Du nicht übernehmen, sie dienen nur zur
> Verdeutlichung - auch das von Dir geschriebene alleine ist
> so vollkommen in Ordnung!
>
> P.S.
> Du siehst hier auch, dass das auch mit [mm]\varepsilon:=f(p)\,[/mm]
> klappen würde. Oder?
f(x) > f(p) - [mm] \varepsilon [/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm] = 0 [mm] \ge [/mm] 0 ?
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> > > > > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Ferner sei p [mm]\in \IR[/mm]
> > > > > mit f(p) > 0 gegeben. Zeigen Sie: Es existiert ein offenes
> > > > > Intervall I mit Mittelpunkt p, so dass f(x) > 0 für alle x
> > > > > [mm]\in[/mm] I ist.
> > >
> > > Wäre das so nun ein ausreichender Beweis:
> > >
> > > Sei f(p) > 0. Es sei [mm]\varepsilon[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}f(p).[/mm]
> >
> > nur der Vollständigkeit wegen würde ich noch
> > dazuschreiben "Dann ist [mm]\red{\varepsilon >0\,.}[/mm]"
> >
> > > Da f
> > > in p stetig ist, gibt es ein [mm]\delta[/mm] > 0, so dass für alle
> > > x [mm]\in[/mm] ] [mm]p-\delta[/mm] , [mm]p+\delta[/mm] [ [mm]\cap[/mm] I gilt: |f(x) - f(p)| <
> > > [mm]\varepsilon.[/mm] Für solche x ist [mm]-\varepsilon[/mm] < f(x) - f(p) <
> > > [mm]\varepsilon[/mm] es folgt
> >
> > Wozu steht da oben ein [mm]I\,,[/mm] und wie ist dieses definiert?
> > Nach Aufgabenstellung kannst Du jedenfalls
> > [mm]I:=]p-\delta,\;p+\delta[[/mm] setzen. Und [mm]I \cap I[/mm] brauchst Du
> > dann nicht mehr zu schreiben.
>
> oder besser dann anstelle des I ein D für den
> Definitionsbereichs?
meinetwegen - aber, und das übersiehst Du anscheinend hier laufend: Es ist vorgegeben, dass $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] ist - also [mm] $D=\IR\,,$ [/mm] und damit ist $D [mm] \cap I=\IR \cap [/mm] I=I$ für JEDE Teilmenge $I [mm] \subseteq \IR\,.$ [/mm] Du denkst laufend gerade, dass [mm] $f\,$ [/mm] selbst auf einem Intervall [mm] $I\,$ [/mm] definiert ist. Dann könntest Du bei dieser Aufgabe ein kleines Problem an den Rändern des Intervalls bekommen - oder man würde die Aufgabenstellung einfach ein wenig abändern. Aber egal: Bei Dir ist [mm] $D=\IR\,.$
[/mm]
> > also für diese [mm]\red{x} \in I[/mm] ([mm]I\,[/mm] wie bei mir) sodann
> >
> > > f(x) > f(p) - [mm]\varepsilon[/mm] =
> > > [mm]2\varepsilon[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> >
> > Ja - bis auf die Kleinigkeit mit dem [mm]I\,.[/mm] Meine roten
> > Ergänzungen musst Du nicht übernehmen, sie dienen nur zur
> > Verdeutlichung - auch das von Dir geschriebene alleine ist
> > so vollkommen in Ordnung!
> >
> > P.S.
> > Du siehst hier auch, dass das auch mit
> [mm]\varepsilon:=f(p)\,[/mm]
> > klappen würde. Oder?
>
> f(x) > f(p) - [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm] = 0
> [mm]\ge[/mm] 0 ?
Das letzte [mm] $\ge [/mm] 0$ brauchst Du nicht. Wenn $f(x) > [mm] \varepsilon -\varepsilon=0$ [/mm] ist, dann ist doch sofort $f(x) > [mm] 0\,.$ [/mm] Viele Leute denken, dass $f(x) > [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \varepsilon=0\,$ [/mm] nur (die schwächere Aussage) $f(x) [mm] \ge 0\,$ [/mm] implizierte, aber das stimmt nicht - dort steht eigentlich direkt $f(x) > [mm] 0\,.$ [/mm] (Was anderes ist es, dass man aus $f(x) > [mm] \varepsilon [/mm] > 0$ für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ nur $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ folgern kann!)
Wenn man es sorum schreibt:
$$f(x) > [mm] 0=\varepsilon-\varepsilon\,,$$
[/mm]
ist es vielleicht klarer.
Und würde ich
$$a > 1-1$$
schreiben, würdest Du mir auch sofort sagen, dass dann doch $a > [mm] 0\,$ [/mm] ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Das letzte [mm]\ge 0[/mm] brauchst Du nicht. Wenn [mm]f(x) > \varepsilon -\varepsilon=0[/mm]
> ist, dann ist doch sofort [mm]f(x) > 0\,.[/mm] Viele Leute denken,
> dass [mm]f(x) > \varepsilon - \varepsilon=0\,[/mm] nur (die
> schwächere Aussage) [mm]f(x) \ge 0\,[/mm] implizierte, aber das
> stimmt nicht - dort steht eigentlich direkt [mm]f(x) > 0\,.[/mm]
> (Was anderes ist es, dass man aus [mm]f(x) > \varepsilon > 0[/mm]
> für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] nur [mm]f(x) \ge 0[/mm] folgern kann!)
> Wenn man es sorum schreibt:
> [mm]f(x) > 0=\varepsilon-\varepsilon\,,[/mm]
> ist es vielleicht
> klarer.
>
> Und würde ich
> [mm]a > 1-1[/mm]
> schreiben, würdest Du mir auch sofort sagen, dass
> dann doch [mm]a > 0\,[/mm] ist!
>
> Gruß,
> Marcel
Da stimme ich dir zu, wäre es also "besser" wenn ich [mm] \varepsilon [/mm] := f(p) definiere? Was ist mathematisch "schöner"?
Ps. Zur Frage "Gilt dies auch, wenn f nur an der Stelle p stetig ist"
reicht da nun die Antwort, dass man nur die Stetigkeit von f in p braucht, da man die Funktion f auf Stetigkeit in p untersucht? Oder kann(sollte) man das genauer beantworten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> > Das letzte [mm]\ge 0[/mm] brauchst Du nicht. Wenn [mm]f(x) > \varepsilon -\varepsilon=0[/mm]
> > ist, dann ist doch sofort [mm]f(x) > 0\,.[/mm] Viele Leute denken,
> > dass [mm]f(x) > \varepsilon - \varepsilon=0\,[/mm] nur (die
> > schwächere Aussage) [mm]f(x) \ge 0\,[/mm] implizierte, aber das
> > stimmt nicht - dort steht eigentlich direkt [mm]f(x) > 0\,.[/mm]
> > (Was anderes ist es, dass man aus [mm]f(x) > \varepsilon > 0[/mm]
> > für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] nur [mm]f(x) \ge 0[/mm] folgern kann!)
> > Wenn man es sorum schreibt:
> > [mm]f(x) > 0=\varepsilon-\varepsilon\,,[/mm]
> > ist es
> vielleicht
> > klarer.
> >
> > Und würde ich
> > [mm]a > 1-1[/mm]
> > schreiben, würdest Du mir auch sofort sagen,
> dass
> > dann doch [mm]a > 0\,[/mm] ist!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Da stimme ich dir zu, wäre es also "besser" wenn ich
> [mm]\varepsilon[/mm] := f(p) definiere? Was ist mathematisch
> "schöner"?
das ist relativ egal, da man mit beidem die Behauptung beweisen kann. Ich zeige halt "sogar", dass man ein offenes Intervall mit Mittelpunkt [mm] $p\,$ [/mm] so finden kann, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf diesem "sogar stets größer als eine Zahl $> [mm] 0\,$ [/mm] ist".
> Ps. Zur Frage "Gilt dies auch, wenn f nur an der Stelle p
> stetig ist"
>
> reicht da nun die Antwort, dass man nur die Stetigkeit von
> f in p braucht, da man die Funktion f auf Stetigkeit in p
> untersucht? Oder kann(sollte) man das genauer beantworten?
Du untersuchst gar nicht die Funktion auf Stetigkeit, sondern Du benutzt das Wissen, dass die Funktion an der Stelle [mm] $p\,$ [/mm] stetig ist. Du kannst die Frage so beantworten:
Der Beweis geht genauso, wenn man in den Voraussetzungen die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] dadurch ersetzt, dass [mm] $f\,$ [/mm] nur stetig an der Stelle [mm] $p\,$ [/mm] sei. (Wie Fred erwähnt hat reicht es sogar, dass man nur die Existenz von [mm] $g:=\lim_{x \to p}f(x)$ [/mm] mit $g > [mm] 0\,$ [/mm] hat - das hat man natürlich insbesondere, wenn [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $p\,$ [/mm] stetig ist und $f(p) > [mm] 0\,$ [/mm] gilt.)
Gruß,
Marcel
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