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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 So 08.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | (a) Es seien [mm] f,g:\IR \to \IR [/mm] stetige Fkten mit der Eigenschaft, dass f(x)=g(x) für alle x [mm] \in \IQ. [/mm] Zeigen Sie, dass dann f(x)=g(x) für alle x [mm] \in \IQ [/mm] gilt.
(b) Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige Fkt mit f(x+y) = f(x)+f(y) für alle x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann f(x)=ax für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt, wobei a:=f(1).
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Hallo,
ich wäre um Hilfestellung zu dieser Aufgabe dankbar.
Ich weiß nicht ganz wie ich da dran gehen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> (a) Es seien [mm]f,g:\IR \to \IR[/mm] stetige Fkten mit der
> Eigenschaft, dass f(x)=g(x) für alle x [mm]\in \IQ.[/mm] Zeigen Sie,
> dass dann f(x)=g(x) für alle x [mm]\in \IQ[/mm] gilt.
Du meinst '... $f(x) = g(x)$ fuer alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt'? Was weisst du denn ueber [mm] $\IQ$ [/mm] als Teilmenge von [mm] $\IR$? [/mm] Gibt es reelle Zahlen, die nicht als Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen beschreibbar sind?
> (b) Es sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Fkt mit f(x+y) =
> f(x)+f(y) für alle x,y [mm]\in \IR.[/mm]
> Zeigen Sie, dass dann
> f(x)=ax für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt, wobei a:=f(1).
Zeige es zuerst fuer alle $x [mm] \in \IQ$ [/mm] und benutze (a).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mo 09.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Naja, was weiß ich über [mm] \IQ [/mm] ?!
Ich weiß,dass [mm] \IQ [/mm] offen in [mm] \IR [/mm] ist, bzw. die abgeschlossene Hülle von [mm] \IQ [/mm] ist quasi [mm] \IR.
[/mm]
Also kann man irgendwie Folgen aus [mm] \IQ [/mm] nehmen und diese mit Limes bearbeiten :) und zeigen, dass es gegen Werte von [mm] \IR [/mm] strebt.
Jedoch bin ich totaler Analysis-Legastemiker und brauche hierbei Hilfe.
Wäre für weitere Tipps dankbar.
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Hallo DeusRa,
> Naja, was weiß ich über [mm]\IQ[/mm] ?!
> Ich weiß,dass [mm]\IQ[/mm] offen in [mm]\IR[/mm] ist, bzw. die
> abgeschlossene Hülle von [mm]\IQ[/mm] ist quasi [mm]\IR.[/mm]
> Also kann man irgendwie Folgen aus [mm]\IQ[/mm] nehmen und diese
> mit Limes bearbeiten :) und zeigen, dass es gegen Werte von
> [mm]\IR[/mm] strebt.
Zur Begriffsklärung: ![[]](/images/popup.gif) Abgeschlossene Hülle(Der Abschluss als Menge von Grenzwerten)
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \exists (x_n)_{x_n \in \IQ} [/mm] so dass [mm] x_n \to [/mm] x
Zusammen mit der Stetigkeit(=Folgenstetigkeit) von f und g von könnte das dann klappen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 09.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ok,
dann ist meine Idee folgende:
zz:[mm] f(x)=g(x) \forall x \in \IR. [/mm]
Bew:
Da [mm]\IQ \subset \IR[/mm] [mm] (\IQ [/mm] offen in [mm] \IR)[/mm] [mm]\Rightarrow \forall x \in \IR \exists (x_{n}) \in \IQ:x_{n} \to x.
\Rightarrow f(x_{n})=g(x_{n})[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_{n})[/mm] folgt:
Da [mm] x_{n}\to [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo DeusRa!
> dann ist meine Idee folgende:
> zz:[mm] f(x)=g(x) \forall x \in \IR.[/mm]
> Bew:
> Da [mm]\IQ \subset \IR[/mm] [mm](\IQ[/mm] offen in [mm]\IR)[/mm]
Falsch. [mm] $\IQ$ [/mm] ist doch nicht offen in [mm] $\IR$!
[/mm]
Was du vermutlich meinst: [mm] $\IQ$ [/mm] ist dicht in [mm] $\IR$, [/mm] d.h. der Abschluss von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] ist [mm] $\IR$.
[/mm]
[mm]\Rightarrow \forall x \in \IR \exists (x_{n}) \in \IQ:x_{n} \to x.
\Rightarrow f(x_{n})=g(x_{n})[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_{n})[/mm]
> folgt:
> Da [mm]x_{n}\to[/mm] x [mm]\Rightarrow[/mm] f(x)=g(x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR.[/mm]
Die Argumentation stimmt ansonsten! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Mo 09.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ok,
danke.
Jo, meinte dicht.
Danke schön.
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