Stetige Gerade < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Es sei [mm]f: \IR \rightarrow \IR[/mm] stetig und es gelte
[mm]f(x+y)=f(x)+f(y)[/mm] für alle [mm]x,y \in \IR[/mm].
Zeige: Es gibt ein [mm]c \in \IR[/mm] mit
[mm]f(x) = cx[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm]
Erst letztens hatte ich eine ähnliche Aufgabe, in der man einen Fixpunkt beweisen sollte. Hier habe ich aber das Problem, dass es für JEDES x gelten muss. Ich habe erst versucht zu zeigen, dass [mm]g(x)=f(x)-cx=0[/mm] gilt, habe es aber nicht geschafft. Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz zeigen?
Vielen Dank
Bernhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Bernhard!
Hier ein Ansatz zu der Aufgabe:
1) Zeige: $f(0)=0$.
2) Zeige mit vollständiger Induktion: $f(n) = n [mm] \cdot [/mm] f(1)$ für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
3) Zeige: $f(-x)=-f(x)$.
4) Schließe aus 2) und 3): $f(m) = m [mm] \cdot [/mm] f(1)$ für alle [mm] $m\in \IZ$.
[/mm]
5) Zeige für $m [mm] \in \IN$: $f(\frac{1}{m}) [/mm] = [mm] \frac{1}{m} \cdot [/mm] f(1)$.
6) Zeige für alle $n [mm] \in \IZ$, [/mm] $m [mm] \in \IN$: $f(\frac{n}{m}) [/mm] = [mm] \frac{n}{m} \cdot [/mm] f(1)$, also: $f(q) = q [mm] \cdot [/mm] f(1)$ für alle $q [mm] \in \IQ$.
[/mm]
7) Schließe aus der Stetigkeit von $f$ und 6): $f(x) =x [mm] \cdot f(1)\$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Dann bist du fertig, setze $c:=f(1)$.
Versuche es mal und melde dich bei weiteren Fragen/Problemen oder teile uns deinen Beweis zur Kontrolle mit.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Do 24.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort. Ich habe jetzt alle Punkte bis auf 5) bewiesen. Könntest du mir dazu vielleicht noch mal helfen. Ich habs mit vollst. Induktion probiert, jedoch nicht hinbekommen.
Dankeschön
Bernhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Bernhard,
mit vollständiger Induktion kann man zeigen, dass im Falle $n [mm] \in \IN$ [/mm] für $n$ Elemente [mm] $x_1,\ldots,x_n \in \IR$ [/mm] folgendes gilt:
[mm] $f(x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] x_n) [/mm] = [mm] f(x_1) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] f(x_n)$.
[/mm]
Daraus folgt insbesondere dann für $m [mm] \in \IN$:
[/mm]
$f(1) = [mm] f(\underbrace{\frac{1}{m} + \ldots + \frac{1}{m}}_{m\ \mbox{\scriptsize Summanden}}) [/mm] = m [mm] \cdot f(\frac{1}{m})$.
[/mm]
Daraus folgt aber:
[mm] $f(\frac{1}{m}) [/mm] = [mm] \frac{1}{m} \cdot [/mm] f(1)$,
wie behauptet.
Liebe Grüße
Julius
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