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Hallo, ich überlege gerade bei folgender Aufgabe:
"Es regnet gleichmäßig auf einen quadratischen Tisch mit Seitenlänge 20 (in Dezimeter). Die Zufallsgröße S=X+Y ist die Summe der Koordinaten eines Regentropfens." (Daneben ist noch eine Skizze mit Koordinatengitter 20 Einheiten nach rechts und 20 nach oben, aber das ist hier nicht so wichtig)
a) Begründe: Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Abstandes X eines Regentropfens vom Eckpunkt des Tisches links unten ist gegeben durch f(x)= [mm] \frac{1}{400}x [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 20 und f(x) = [mm] \frac{1}{10} [/mm] - [mm] \frac{1}{400}x [/mm] für 20 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 40
Jetzt ist meine Frage: Wie ergeben sich diese Wahrscheinlichkeitsdichten? Wenn ich z.B. [mm] \int_0^{20} \! \frac{1}{400} \cdot [/mm] x [mm] \, [/mm] dx berechne, kommt da 0,5 und nicht 1 heraus, warum?
Gleiches gilt für die andere Wdichtefunktion...
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Hallo,
> Hallo, ich überlege gerade bei folgender Aufgabe:
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> "Es regnet gleichmäßig auf einen quadratischen Tisch mit
> Seitenlänge 20 (in Dezimeter). Die Zufallsgröße S=X+Y
> ist die Summe der Koordinaten eines Regentropfens."
> (Daneben ist noch eine Skizze mit Koordinatengitter 20
> Einheiten nach rechts und 20 nach oben, aber das ist hier
> nicht so wichtig)
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> a) Begründe: Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Abstandes X
> eines Regentropfens vom Eckpunkt des Tisches links unten
> ist gegeben durch f(x)= [mm]\frac{1}{400}x[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 20
> und f(x) = [mm]\frac{1}{10}[/mm] - [mm]\frac{1}{400}x[/mm] für 20 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 40
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> Jetzt ist meine Frage: Wie ergeben sich diese
> Wahrscheinlichkeitsdichten? Wenn ich z.B. [mm]\int_0^{20} \! \frac{1}{400} \cdot[/mm] x [mm]\,[/mm] dx berechne,
> kommt da 0,5 und nicht 1 heraus, warum?
Das ist doch noch nicht die vollständige Dichte, über die Du da integrierst. Du musst gemäß
[mm] $\int_0^{20} \! \frac{1}{400}x dx+\int_{20}^{40} \! \left(\frac{1}{10}-\frac{1}{400}x\right) [/mm] dx$
zusammensetzen.
> Gleiches gilt für die andere Wdichtefunktion...
LG
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Also von 0 bis 40 gehen, weil das der minimale und maximale Wert ist, den S annehmen kann?!
Mir ist aber noch nicht klar, wie sich die Dichtewahrscheinlichkeiten für die beiden Abschnitte zusammensetzen...
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Keine ne Idee, wie sich [mm] f(x)=\frac{1}{400}x [/mm] ergibt oder das andere? :/
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S ist die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen, die jeweils gleichverteilt auf [0,20] sind und daher die Dichten
[mm] f_X(x)=f_Y(x)=\frac{1}{20} [/mm] für [mm] 0\le x\le [/mm] 20 und [mm] f_X(x)=f_Y(x)=0 [/mm] sonst haben.
Die Dichte von S wird daraus als Faltung von [mm] f_X [/mm] und [mm] f_Y [/mm] berechnet.
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Hm, würde dann beim ersten quasi 1/20 mal 1/20 = 1/400 ergeben? :/
Wir haben das Thema stetige ZV erst in der Schule begonnen und hatten noch nicht über Faltung gesprochen...
Wir sollten ja nur begründen, warum diese die Dichtefunktionen sind zu den gegeben Abschnitten.
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> Hm, würde dann beim ersten quasi 1/20 mal 1/20 = 1/400
> ergeben? :/
So in etwa. In der Faltungsformel wird über ein Produkt der Dichten integriert, daher die 1/400. Aber wenn ihr das noch nicht gehabt habt, spare ich mir jetzt die Details.
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> Wir haben das Thema stetige ZV erst in der Schule begonnen
> und hatten noch nicht über Faltung gesprochen...
> Wir sollten ja nur begründen, warum diese die
> Dichtefunktionen sind zu den gegeben Abschnitten.
Dann ist es wohl so gedacht, dass ihr x die Fläche der Menge [mm] $\{(t,s): 0\le s,t\le 20$ und $s+t\le x\}$ [/mm] ausrechnet und diese in Relation zur Gesamtfläche des Tisches setzt.
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> Dann ist es wohl so gedacht, dass ihr x die Fläche der
> Menge [mm]\{(t,s): 0\le s,t\le 20[/mm] und [mm]s+t\le x\}[/mm] ausrechnet und
> diese in Relation zur Gesamtfläche des Tisches setzt.
Ja, das ist glaube ich dann wahrscheinlicher. Die Gesamte Tischfläche wäre dann ja A=20²=400, das entspräche ja dem Nenner. Also kann ich jetzt begründen, dass der Zähler x sein muss, weil es beliebig viele Punkte x gibt, welche diese Mengeneigenschaft erfüllen?
Bei f(x)= 1/10 - 1/400x für 20 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 40 bin ich dann aber wieder total überfragt...
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Für [mm] x\le [/mm] 20 bekommst du ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem beide Katheden die Länge x haben, mit der Fläche [mm] \frac{1}{2}x^2.
[/mm]
Dreiecksfläche durch Tischfläche ist somit [mm] F(x)=\frac{1}{800}x^2, [/mm] was dem Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x entspricht.
Für x zwischen 20 und 40 hat der teil des Tisches mit Abstand >x die Fläche [mm] \frac{1}{2}(40-x)^2, [/mm] als Verteilungsfunktion erhältst du damit
[mm] F(x)=1-\frac{1}{800}(40-x)^2, [/mm] die Dichte ist dann die Ableitung f(x)=F'(x)
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