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Stetige Zufallsgrößen: Stochastik
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Di 02.11.2010
Autor: su92

Aufgabe
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% leuchtet eine
zufällig ausgewählte Glühlampe dieses Typs
mindestens k Stunden.


gegeben: f(x)=0,004 e-0,004x

a) Ermittle den Erwartungswert für die Brenndauer dieser
Glühlampen.

LSG: k = 347

b) Ermittle den Erwartungswert für die Brenndauer dieser Glühlampen.

hey,

hab zur Aufgabe a) einen Ansatz :

Ansatz: P(X≥k) = 0,75

[mm] \integral_{0}^{k}{f(x) dx} [/mm]

F(k) - F(0) = 0,75

[( -e ^( -0.004 * k ) ) - ( - e ^- 0.004 * 0) = 0.75 ]

[( -e ^( -0.004 * k ) ) + 1 = 0.75]

Allerdings bin ich mir mit der Schreibweiße nicht sicher... !
Nun weiß ich nicht wie ich weiter rechnen soll.. meine Idee wäre mit dem Logarithmus weiter zu rechnen, doch ich weiß nicht wie ich das machen soll :-S ??!!

..ich habe trotzdem etwas versucht :
  Weitere Berechnung mit dem Logarithmus:

( -e ^( -0.004 * k ) ) + 1 = 0.75  | - 1
( -e ^( -0.004 * k ) )  = - 0.25     | l
( -0.004 * k ) ln( -e ) )=  ln -0.25     (Logarithmus von negativen   Zahlen & von "e" funktionirt glaub ich nicht..!!!)

( -0.004 * k ) ln( -e ) )=  ln -0.25  |
k = (ln (-0.25) / ln (-e) ) : 0.004

Naja, das hat auch nicht geklappt!!! :/


Es wäre sehr nett wenn ihr mir weiter helfen würdet ^^ :D

zur Aufgabe b)

Zu der Aufgabe habe ich auch leider keinen Ansatz!

Würde mich auf hilfreiche Antworten sehr freuen.
Bedanke mich im voraus
Lg Su92


        
Bezug
Stetige Zufallsgrößen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:59 Di 02.11.2010
Autor: su92

hi,
zur Aufgabe a) habe ich die richtige Rechung gefunden :)) :

-e-0.004k + 1 = 0,75 | -1 | * (-1)
e-0.004k = 0,25         |ln  | : (-0,004)
k = 347

d.h ich musste die negativen Zahlen mir -1 multilizieren, damit ich den negativen Virzeichen wegkriege und die Rechung am Ende :

(ln (-0.25) / ln (-e) ) : 0.004 war FALSCH !

Schöne Grüße
Su

Bezug
        
Bezug
Stetige Zufallsgrößen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:31 Mi 03.11.2010
Autor: Marc

Hallo su92,

> Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% leuchtet eine
>  zufällig ausgewählte Glühlampe dieses Typs
>  mindestens k Stunden.
>  
>
> gegeben: f(x)=0,004 e-0,004x
>  
> a) Ermittle den Erwartungswert für die Brenndauer dieser
>  Glühlampen.
>  
> LSG: k = 347
>  
> b) Ermittle den Erwartungswert für die Brenndauer dieser
> Glühlampen.

Mit der Aufgabenstellung stimmt vieles nicht, könntest du bitte nochmal die komplette Aufgabenstellung posten?
Damit $f$ eine Dichtefunktion ist, ist wahrscheinlich $f$ definiert als
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0{,}004\mathrm{e}^{-0{,}004} & x\ge 0 \\ 0 & x<0 \end{cases}$ [/mm]

> hab zur Aufgabe a) einen Ansatz :
>  
> Ansatz: P(X≥k) = 0,75

[ok]

> [mm]\integral_{0}^{k}{f(x) dx}[/mm]

[notok]

[mm] $P(X\ge k)=1-P(X\le k)=1-\integral_{-\infty}^k [/mm] f(x) [mm] dx=1-\integral_{0}^k [/mm] f(x) dx$

(Die letzte Gleichheit gilt wegen [mm] $\int_{-\infty}^0 [/mm] f(x) dx=0$.)
  

> F(k) - F(0) = 0,75
>  
> [( -e ^( -0.004 * k ) ) - ( - e ^- 0.004 * 0) = 0.75 ]
>  
> [( -e ^( -0.004 * k ) ) + 1 = 0.75]
>  
> Allerdings bin ich mir mit der Schreibweiße nicht
> sicher... !

Stimmt, Schreibweise schreibt man mit s ;-)

Die mathematische Schreibweise ist aber richtig, obwohl sie mit unserem Formeleditor lesbarer gewesen wäre.

>  Nun weiß ich nicht wie ich weiter rechnen soll.. meine
> Idee wäre mit dem Logarithmus weiter zu rechnen, doch ich
> weiß nicht wie ich das machen soll :-S ??!!

[ok]

> ..ich habe trotzdem etwas versucht :
>  Weitere Berechnung mit dem Logarithmus:
>
> ( -e ^( -0.004 * k ) ) + 1 = 0.75  | - 1
>  ( -e ^( -0.004 * k ) )  = - 0.25     | l
>  ( -0.004 * k ) ln( -e ) )=  ln -0.25     (Logarithmus von
> negativen   Zahlen & von "e" funktionirt glaub ich
> nicht..!!!)

Klar, das Problem kann man umgehen, indem man vor Anwendung des Logarithmus beide Seiten der Gleichung mit -1 multipliziert (wie in deiner zweiten Mitteilung).

> ( -0.004 * k ) ln( -e ) )=  ln -0.25  |
> k = (ln (-0.25) / ln (-e) ) : 0.004
>  
> Naja, das hat auch nicht geklappt!!! :/
>  
>
> Es wäre sehr nett wenn ihr mir weiter helfen würdet ^^
> :D

Die angegebene Lsg. (k=347) erhalte ich übrigens nicht, es kann aber auch sein, dass ich mich vertan habe. Die vollständige Aufgabenstellung sollte Klarheit bringen.
  

> zur Aufgabe b)
>  
> Zu der Aufgabe habe ich auch leider keinen Ansatz!

Hier müsstest du mal in deine Unterlagen schauen und die Formel für den Erwartungswert für stetige ZV finden. Die Formel wird lauten:

[mm] $E(X)=\integral_{-\infty}^\infty [/mm] xf(x) dx$

Zur Berechnung dieses Integrals überlege erst, wie mit den [mm] $\infty$-Symbolen [/mm] als Grenzen umzugehen ist.

Viele Grüße,
Marc

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