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Forum "Funktionalanalysis" - Stetige, beschränkte Funktion
Stetige, beschränkte Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetige, beschränkte Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Di 11.11.2014
Autor: Die_Suedkurve

Aufgabe
Sei [mm] C_b(\IR^n) [/mm] der Raum der stetigen beschränkten Funktionen auf [mm] \IR^n. [/mm]

1.) Sei f [mm] \in C_b(\IR^n) [/mm] mit kompaktem Träger. Beweisen Sie, dass die Abbildung [mm] \IR^n \to C_b(\IR^n), [/mm] y [mm] \mapsto \tau_yf [/mm] stetig ist, wobei [mm] \tau_yf(x) [/mm] := f(x-y) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^n. [/mm]

2.) Zeigen Sie, dass die Aussage aus Teil 1 falsch sein kann, wenn der Träger von f nicht kompakt ist.


Hallo,

kann mir jemand bei 1.) helfen? Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.

Edit:

Also meine Lösung zu 1.) wäre folgende:

Definiere [mm] \Phi: \IR^n \to C_b(\IR^n), [/mm] y [mm] \mapsto \tau_yf [/mm]
Sei [mm] y_n \to [/mm] y für n [mm] \to \infty [/mm]

Dann folgt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \Phi(y_n)(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \tau_{y_n}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x-y_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x-y) = [mm] \tau_yf(x) [/mm] = [mm] \Phi(y)(x). [/mm] Hier wurde benutzt, dass f stetig ist, aber ich habe nicht benutzt, dass f einen kompakten Träger hat. Wo ist also der Fehler?

Grüße

        
Bezug
Stetige, beschränkte Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Di 11.11.2014
Autor: andyv

Hallo,

du willst Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm haben, d.h. $ [mm] \| f(\cdot-y_n)-f(\cdot-y)\|_\infty\to [/mm] 0 $.

Dafür ist zu zeigen, dass jede stetige Funktion mit kompektem Träger sogar glm. stetig ist.

Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Stetige, beschränkte Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:22 Mi 12.11.2014
Autor: fred97


> Sei [mm]C_b(\IR^n)[/mm] der Raum der stetigen beschränkten
> Funktionen auf [mm]\IR^n.[/mm]
>  
> 1.) Sei f [mm]\in C_b(\IR^n)[/mm] mit kompaktem Träger. Beweisen
> Sie, dass die Abbildung [mm]\IR^n \to C_b(\IR^n),[/mm] y [mm]\mapsto \tau_yf[/mm]
> stetig ist, wobei [mm]\tau_yf(x)[/mm] := f(x-y) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^n.[/mm]
>  
> 2.) Zeigen Sie, dass die Aussage aus Teil 1 falsch sein
> kann, wenn der Träger von f nicht kompakt ist.
>  
> Hallo,
>  
> kann mir jemand bei 1.) helfen? Ich weiß nicht, wie ich
> anfangen soll.
>  
> Edit:
>  
> Also meine Lösung zu 1.) wäre folgende:
>  
> Definiere [mm]\Phi: \IR^n \to C_b(\IR^n),[/mm] y [mm]\mapsto \tau_yf[/mm]
>  
> Sei [mm]y_n \to[/mm] y für n [mm]\to \infty[/mm]
>  
> Dann folgt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \Phi(y_n)(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tau_{y_n}f(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x-y_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x-y) = [mm]\tau_yf(x)[/mm] =
> [mm]\Phi(y)(x).[/mm] Hier wurde benutzt, dass f stetig ist, aber ich
> habe nicht benutzt, dass f einen kompakten Träger hat. Wo
> ist also der Fehler?

Ergänzend zu meinem Vorredner:

Mit

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \Phi(y_n)(x)[/mm] =  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tau_{y_n}f(x)[/mm] =  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x-y_n)[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x-y) = [mm]\tau_yf(x)[/mm] = [mm]\Phi(y)(x).[/mm]

hast Du nur die punktweise Konvvergenz von [mm] (\Phi(y_n)) [/mm] gegen [mm] \Phi(y) [/mm] gezeigt, aber nicht die gleichmäßige Konvergenz, also die Konvergenz in der Supremumsnorm.

FRED


>  
> Grüße


Bezug
                
Bezug
Stetige, beschränkte Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Di 18.11.2014
Autor: Die_Suedkurve

Danke euch beiden. Die Tipps haben mir geholfen.

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