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| Aufgabe | a) Gibt es eine stetige funktion f:R-> R mit f(0)=1 und f'(x)= 1/x für alle x>0?
b) gibt es eine stetige funktion g:R->R mit g(0)=1 und g'(x)= 1/ [mm] \wurzel{x} [/mm] für alle x>0? |
Hallo,
ich soll Beispiele dafür aufschreiben oder die Nichtexistenz begründen. Könntet ihr mir helfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 So 19.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo xxela89xx,
ich weise mal auf unsere Forenregeln hin: Wir sind keine Maschine, die fertige Lösungen ausspuckt. Du solltest schon eigene AnsätzeÜberlegungen posten.
> a) Gibt es eine stetige funktion f:R-> R mit f(0)=1 und
> f'(x)= 1/x für alle x>0?
Ich gehe mal davon aus, dass [mm]f\colon \mathbb R\longrightarrow\mathbb R[/mm] bedeutet, dass die Funktion auf ganz [mm]\mathbb R[/mm] definiert sein soll.
Zunächst: Welche Funktionen kennst du denn, für die [mm]f^\prime (x)=\frac 1x[/mm] ist? Gilt für eine dieser Funktionen [mm]f(0)=1[/mm]? Ist diese auf ganz [mm]\mathbb R[/mm] definiert?
> b) gibt es eine stetige funktion g:R->R mit g(0)=1 und
> g'(x)= 1/ [mm]\wurzel{x}[/mm] für alle x>0?
Stell dir dieselben Fragen, wie oben.
> Hallo,
>
> ich soll Beispiele dafür aufschreiben oder die
> Nichtexistenz begründen. Könntet ihr mir helfen?
Solltest du alle Fragen oben mit 'ja' beantworten können, hast du eine/die gesuchte Funktion gefunden.
Sollte ein 'nein' dabei sein, begründe dies und du bist fertig.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hi,
also, ich habe mir für die a) log(x)+1 überlegt, und für die b) [mm] 2*\wurzel{log(x)}+1 [/mm] überlegt, jedoch wusste ich nicht, ob das eine stetige Funktion ist und, ob das geht.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 19.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo zurück!
> Hi,
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> also, ich habe mir für die a) log(x)+1 überlegt, und für
Ich prüfe mal. Also, es ist [mm]f(x)=\ln(x)+1[/mm] (ich gehe davon aus, dass du den natürlichen Logarithmus meinst).
[mm]f^\prime(x)=\frac 1x[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Falls es so eine Funktion [mm]f[/mm] gibt, dann ist (zumindest für [mm]x>0[/mm]) [mm]f(x)=\ln(x)+c[/mm] für ein [mm]c\in\mathbb R[/mm].
[mm]f(0)=\ldots[/mm] ups, [mm]\ln(0)[/mm] ist nicht definiert!
> die b) [mm]2*\wurzel{log(x)}+1[/mm] überlegt, jedoch wusste ich
Test:
[mm]f^\prime(x)=\frac{1}{x\cdot \ln(x)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]f(0)[/mm] ist auch nicht definiert
Beide deiner Funktionen sind nur auf [mm]\mathbb R^+[/mm] definiert. Ich weiß nicht, wie genau dein Prof das [mm]f\colon\mathbb R\longrightarrow\mathbb R[/mm] nimmt, denn für [mm]x<0[/mm] kriegst du bei beiden Aufgaben Probleme. Bei der Funktion, die es gibt (das ist nur bei einer Teilaufgabe der Fall) musst du dir dann ggf. mit einer stückweise definierten Funktion behelfen...
> nicht, ob das eine stetige Funktion ist und, ob das geht.
Ob die Funktion(en), die du gefunden hast stetig sind, solltest du aber schon begründen können... Da gibt es z.B. den Satz, dass die Komposition stetiger Funktionen stetig ist.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Mo 20.10.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mo 20.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> a) Gibt es eine stetige funktion f:R-> R mit f(0)=1 und
> f'(x)= 1/x für alle x>0?
> b) gibt es eine stetige funktion g:R->R mit g(0)=1 und
> g'(x)= 1/ [mm]\wurzel{x}[/mm] für alle x>0?
> Hallo,
>
> ich soll Beispiele dafür aufschreiben oder die
> Nichtexistenz begründen. Könntet ihr mir helfen?
ZU a): Wir nehmen an, es gäbe eine solche Funktion. Für x>0 gilt dann f(x)= [mm] \ln(x)+c. [/mm] Da f stetig auf [mm] \IR [/mm] sein soll, ist f auch stetig in 0, also gilt:
[mm] 1=f(0)=\limes_{x\rightarrow 0+0}f(x).
[/mm]
Wenn Dir nun klar ist, wie [mm] \limes_{x\rightarrow 0+0}f(x) [/mm] ausfällt, sollte klar sein, dass wir einen Widerspruch erhalten.
Zu b): Sei g: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Funktion mit g(0)=1 und g'(x)= 1/ $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ für x>0.
Dann haben wir, mit einem c [mm] \in \IR: g(x)=2\wurzel{x}+c [/mm] für x>0
Überlege Dir:
1. es ist c=1, also [mm] g(x)=2\wurzel{x}+1 [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0
2. [mm] 2\wurzel{x}+1 [/mm] kannst Du stetig auf (- [mm] \infty,0) [/mm] fortsetzen (wie ?)
FRED
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> Gruß
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