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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Di 07.01.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Für welche [mm] k\in\IN_{0} [/mm] sind die Funktionen [mm] f_{k} :\IR \to \IR, [/mm] definiert durch
[mm] f_{k}(x):=\begin{cases} x^{k}*sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
stetig?
Für welche [mm] k\in\IN_{0} [/mm] sind die Funktionen [mm] f_{k} [/mm] gleichmäßig stetig? |
Hallo erstmal!
Ich weiß, dass diese Funktion stetig ist und ich vermute, dass sie für kein k stetig ist, aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen kann, kann mir da jemand einen Tipp geben?
Ich bin für jeden Hinweis dankbar!
Viele Grüße, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Di 07.01.2014 | | Autor: | Petrit |
Ich weiß, dass diese Funktion stetig ist und kann dies auch beweisen. Mir geht es darum zu zeigen, dass sie gleichmäßig stetig ist. Ich vermute dass sie für kein k gleichmäßig stetig ist, weiß aber nicht wie ich dies zeigen kann.
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Hallo Petrit,
> Für welche [mm]k\in\IN_{0}[/mm] sind die Funktionen [mm]f_{k} :\IR \to \IR,[/mm]
> definiert durch
> [mm]f_{k}(x):=\begin{cases} x^{k}*sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> stetig?
> Für welche [mm]k\in\IN_{0}[/mm] sind die Funktionen [mm]f_{k}[/mm]
> gleichmäßig stetig?
>
> Hallo erstmal!
> Ich weiß, dass diese Funktion stetig ist
Richtig für die o.g. [mm] k\in\IN_0.
[/mm]
> und ich vermute,
> dass sie für kein k [gleichmäßig] stetig ist,
(blaue Einfügung aus Deiner Mitteilung)
> aber ich weiß nicht, wie
> ich das zeigen kann, kann mir da jemand einen Tipp geben?
Schau Dir die Funktion mal in der Nähe des Nullpunkts an. Wo wird da die Bedingung für gleichmäßige Stetigkeit verletzt? Wird sie es überhaupt? Tipp: Ableiten hilft. 
> Ich bin für jeden Hinweis dankbar!
Hast Du Dich übrigens schon gefragt, warum [mm] k\in\IN_0 [/mm] sein soll und nicht nur [mm] k\in\IN [/mm] ?
> Viele Grüße, Petrit!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Di 07.01.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal vielen Dank, reverend für deine Hilfe!
Ich komm aber irgendwie nicht weiter. Ableitungen haben wir noch nicht gemacht und dürfen sie somit auch nicht verwenden. Falls jemand noch einen anderen Hinweis hat, nehme ich diesen gerne an.
Viele Grüße, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Di 07.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Wir sind auch keine Hellseher und können nicht wissen was du schon alles benutzen darfst. Es werden hier Verständnisfragen, Übungen, Hausaufgaben, Klausuren usw. gestellt. Wenn die Fragen, wie bei dir, ohne weitere Angaben so Allgemein gestellt werden, dann geht man in der Regel davon aus, dass man alles benutzen darf. Hier wäre es dann der Stoff aus Analysis I.
Wenn nichts hilft, dann probiert man es mit der Definition
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Di 07.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Für welche [mm]k\in\IN_{0}[/mm] sind die Funktionen [mm]f_{k} :\IR \to \IR,[/mm]
> definiert durch
> [mm]f_{k}(x):=\begin{cases} x^{k}*sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> stetig?
Zur Stetigkeit:
Sei [mm] $k\not=0$, [/mm] dann gilt:
1.Für [mm] $x\not=0$ [/mm] ist [mm] f_k [/mm] stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen.
2.Für $x=0$ muss die Stetigkeit überprüft werden.
Es gilt:
[mm] |\sin(\frac{1}{x})|\le1 [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] $x\not=0$
[/mm]
Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge, demnach gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}x^k\sin(\frac{1}{x})=0 [/mm] für alle [mm] $k\not=0$
[/mm]
Damit wird [mm] f_k [/mm] für alle [mm] $k\not=0$ [/mm] durch den Funktionswert $0$ in $0$ stetig fortgesetzt.
Sei $k=0$, dann gilt:
[mm] f_{k}(x)=\begin{cases} sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
1.Für [mm] $x\not=0$ [/mm] ist [mm] f_k [/mm] stetig als Verknüpfung stetiger Funktionen.
2.Für $x=0$ muss die Stetigkeit überprüft werden.
Jetzt bist du dran!
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Di 07.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Auch Fallunterscheidung probieren.
Eventuell die Definition einsetzen und zum Widerspruch kommen.
Hattet ihr den folgenden Satz?
Eine stetige Funktion [mm] f:(a,b)\to\IR [/mm] ist genau dann gleichmäßig. stetig,
wenn sie stetig fortsetzbar auf $[a,b]$ ist.
DieAcht
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