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| Aufgabe | Zeige die Stetigkeit der Funktion $ f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] $
$ [mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{6xy^2}{3x^4+y^2}, & (x,y) \ne 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right. [/mm] $ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
habe mal eine kurze Frage.
Ich habe diese Aufgabe per Abschätzung gelöst, aber wollte mal fragen, ob es auch möglich wäre mit Polarkoordinaten diese Aufgabe zu lösen.
LG
AragornII
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Di 20.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige die Stetigkeit der Funktion [mm]f : \IR^2 \to \IR[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{6xy^2}{3x^4+y^2}, & (x,y) \ne 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right.[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> habe mal eine kurze Frage.
> Ich habe diese Aufgabe per Abschätzung gelöst,
Zeig mal her !
> aber
> wollte mal fragen, ob es auch möglich wäre mit
> Polarkoordinaten diese Aufgabe zu lösen.
Ja, das geht.
FRED
>
>
> LG
>
> AragornII
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Hallo nochmal,
Außerhalb von dem Punkt (0, 0) ist die Funktion als Komposition stetiger Funktionen stetig. Für den
Nullpunkt seinen [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] beliebige Nullfolgen, dann gilt:
[mm] \left| f(x_n,y_n)-f(0,0) \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{6x_ny_n^2}{3x_n^4+y_n^2} \right| \le \left| \bruch{6x_ny_n^2}{y_n^2} \right| [/mm] = 6 [mm] \left| x_n \right| \to [/mm] 0 wenn $ n $ [mm] \to [/mm] $ [mm] \infty [/mm] $
Damit ist f überall stetig.
PS: habe gerade gemerkt dass in der aufgabenstellung drinne steht " Zeige, dass die Funktion ...., in jeden Punkt stetig ist. habe ich oben in der Aufgabenstellung nicht erwähnt besser gesagt vergessen.
Ist meins richtig?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Di 20.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
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> Außerhalb von dem Punkt (0, 0) ist die Funktion als
> Komposition stetiger Funktionen stetig. Für den
> Nullpunkt seinen [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] beliebige Nullfolgen, dann
> gilt:
>
> [mm]\left| f(x_n,y_n)-f(0,0) \right|[/mm] = [mm]\left| \bruch{6x_ny_n^2}{3x_n^4+y_n^2} \right| \le \left| \bruch{6x_ny_n^2}{y_n^2} \right|[/mm]
> = 6 [mm]\left| x_n \right| \to[/mm] 0 wenn [mm]n[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\infty[/mm]
>
> Damit ist f überall stetig.
>
> PS: habe gerade gemerkt dass in der aufgabenstellung drinne
> steht " Zeige, dass die Funktion ...., in jeden Punkt
> stetig ist. habe ich oben in der Aufgabenstellung nicht
> erwähnt besser gesagt vergessen.
>
> Ist meins richtig?
Ja
FRED
>
> LG
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:36 Do 22.01.2015 | | Autor: | mxplusb |
Hallo,
ich wollte mal fragen ob man die Aufgabe auch direkt mit dem epsilon delta Kriterium lösen kann.
Also es sei [mm] |f(x,y)-f(0,0|<\epsilon [/mm] für ein [mm] \epsilon>0.
[/mm]
Wenn man für x und y jeweils [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] einsetzt kommt man nach mehreren Umformungsschritten auf:
[mm] |\frac{6\delta}{12\delta^2+4}|<|\frac{6\delta}{12\delta^2}|=|\frac{1}{2\delta}|
[/mm]
Sei [mm] \delta:=\frac{1}{\epsilon} [/mm] dann gilt:
[mm] |\frac{1}{\frac{2}{\epsilon}}|=|\frac{\epsilon}{2}|<\epsilon
[/mm]
Bin mir nicht sicher aber kann man sowas auch so machen ?
Danke schon mal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Sa 24.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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