Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo alle miteinander!
Ich wollte mal wissen, was ich an folgender Betrachtung noch ändern muss, damit es korrekt ist. Ich soll mit der Epsilon-Delta-Definition zeigen, dass f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , f(x)=x/(1+ [mm] x^{2} [/mm] ) an der Stelle a=3 stetig ist.
Da hab ich folgendes gemacht:
|f(x)-f(3) |= | x/(1+ [mm] x^{2}-(-3/10)| [/mm] = | x/(1+ [mm] x^{2}+3/10|= [/mm] | [mm] (10x+3*(1+x^{2})/(10+10x^{2})
[/mm]
[mm] \le [/mm] |10x |/10 * [mm] (3+3x^{2})
[/mm]
setzte x [mm] \in [/mm] (2,4), also |10x |/10 * [mm] (3+3x^{2}) \le 4*(3+3x^{2}) [/mm] < epsilon
für [mm] (3+3x^{2})< [/mm] delta:=min [mm] \{1/4*epsilon,3 \}
[/mm]
danke fürs durchgucken
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Mo 19.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
> Hallo alle miteinander!
> Ich wollte mal wissen, was ich an folgender Betrachtung
> noch ändern muss, damit es korrekt ist. Ich soll mit der
> Epsilon-Delta-Definition zeigen, dass f: [mm]\IR \to \IR[/mm] ,
> f(x)=x/(1+ [mm]x^{2}[/mm] ) an der Stelle a=3 stetig ist.
> Da hab ich folgendes gemacht:
> |f(x)-f(3) |= | x/(1+ [mm]x^{2}-(-3/10)|[/mm] = | x/(1+
> [mm]x^{2}+3/10|=[/mm] | [mm](10x+3*(1+x^{2})/(10+10x^{2})[/mm]
1. Fehler: warum [mm]|x^{2}-(-3/10)|[/mm]: f(3)=+3/10, also [mm]|x^{2}-3/10|[/mm]
[mm] \le[/mm] [/mm] |10x |/10 * [mm](3+3x^{2})[/mm]
da versteh ich gar nicht was du gemacht hast!
> setzte x [mm]\in[/mm] (2,4), also |10x |/10 * [mm](3+3x^{2}) \le 4*(3+3x^{2})[/mm]
> < epsilon
> für [mm](3+3x^{2})<[/mm] delta:=min [mm]\{1/4*epsilon,3 \}[/mm]
wieso setzest du [mm] (3+3x^{2})<[/mm] [/mm] delta, das macht doch keinen Sinn!
du musst doch ein [mm] |3-x|<\delta [/mm] finden ausserdem kannst du kein [mm] \delta<\varepsilon/4 [/mm] finden, so dass ausserdem noch [mm] 3<\delta [/mm] ist.
Also irgendwie hast du das mit der Stetigkeit noch nicht kapiert. Du musst wirklich ein [mm] \delta [/mm] finden, so dass für [mm] |x-a|<\delta |f(x)-f(a)|<\varepsilon [/mm] ist.
und du kannst nicht einfach irgendwas kleiner [mm] \delta [/mm] setzen.
(überprüf wenigstens, ob deine Abschätzungen richtig sind, wenn du [mm] \varepsilon [/mm] =0.001 und dann dein gefundenes delta einsetzt.
Also probier es noch mal! Sieh dir noch mal einen Steigkeitsbeweis in nem Buch oder aus der Vorlesung an!
Gruss leduart
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