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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Einen wunderschönen guten Abend alle zusammen!
Beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe und hab dazu mal zwei kleine Fragen:
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] f_{n}:[0, \infty) \to \IR
[/mm]
[mm] f_{n}(x)=( x^{n+2}+e^{x}) [/mm] / [mm] (x^{n}+1)
[/mm]
1. Was genau ist mit der Menge D:= [mm] \{x \in [0, \infty) :f(x):=lim f_{n}(x) existiert \}gemeint? [/mm] n [mm] \to \infty
[/mm]
Ist das der Definitionsbereich?
Ich denke ja, diese Menge ist x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] ohne Einschränkung, da der lim da immer existiert, oder? Es könnt höchstens Probleme geben, wenn
[mm] x^{n}= [/mm] -1, da dann im Zähler 0 steht. Da aber x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] ist, dürfte es aber hier keine Probleme geben.
2. Ist f:D [mm] \to \IR [/mm] überall stetig oder muss ich hier irgendwelche Einschränkungen machen?
liebe Grüße
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Hallo.
> Einen wunderschönen guten Abend alle zusammen!
> Beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe und hab dazu
> mal zwei kleine Fragen:
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]f_{n}:[0, \infty) \to \IR[/mm]
>
> [mm]f_{n}(x)=( x^{n+2}+e^{x})[/mm] / [mm](x^{n}+1)[/mm]
>
> 1. Was genau ist mit der Menge D:= [mm]\{x \in [0, \infty) :f(x):=lim f_{n}(x) existiert \}gemeint?[/mm]
>
> n [mm]\to \infty[/mm]
> Ist das der Definitionsbereich?
> Ich denke ja, diese Menge ist x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty)[/mm] ohne
> Einschränkung, da der lim da immer existiert, oder? Es
> könnt höchstens Probleme geben, wenn
> [mm]x^{n}=[/mm] -1, da dann im Zähler 0 steht. Da aber x [mm]\in[/mm] [0,
> [mm]\infty)[/mm] ist, dürfte es aber hier keine Probleme geben.
Naja, die Idee ist schon gar nicht schlecht. Du mußt allerdings sehen, daß da "moralisch" sowas von der Größenordnung [mm] $\frac{x^{n+2}+e^x}{x^n}=x^2+\frac{e^x}{x^n}$ [/mm] steht, für große $x$ ist es also schon angebracht, sich Gedanken über die Existenz des [mm] $\lim_{n\to\infty}$ [/mm] zu machen.
(Allerdings auch nur eine ganz kurze Sekunde lang  )
> 2. Ist f:D [mm]\to \IR[/mm] überall stetig oder muss ich hier
> irgendwelche Einschränkungen machen?
>
> liebe Grüße
Wie sieht denn die Grenzfunktion aus, sofern sie existiert?
Dazu mußt Du erstmal wissen, wie $D$ aussieht.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Gut, das klingt einleuchtend. Aber der lim
n [mm] \to \infty
[/mm]
existiert doch gar nicht. Wie formuliere ich das jetzt passend für D?
liebe Grüße
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Warum sollt der [mm] $\lim_{n\to\infty}$ [/mm] nicht existieren?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Sorry, das war totaler Schwachsinn!!!!!!!!!
Der lim strebt natürlich gegen [mm] x^{2} [/mm] für große x.
Und wie bring ich das jetzt geeignet mit meinem D in Verbindung?
liebe Grüße
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> Sorry, das war totaler Schwachsinn!!!!!!!!!
> Der lim strebt natürlich gegen [mm]x^{2}[/mm] für große x.
Ja, genau... und für kleine $x$?
> Und wie bring ich das jetzt geeignet mit meinem D in
> Verbindung?
Das klärt sich mit der Überlegung oben... in $D$ nimmst Du einfach alle $x$ zusammen, für die der [mm] $\lim$ [/mm] existiert
Liebe Grüße,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Di 10.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Okay, also für große x strebt der lim gegen [mm] x^{2} [/mm] und für kleine x gegen [mm] \infty, [/mm] so viel steht fest.
Also formuliere ich mein D jetzt so, indem ich diese Erkenntnisse zusammenfasse:
D:= [mm] \{ x \in [ x^{2} ,\infty) \} [/mm] oder wie ist das gemeint?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Franzie!
Du hattest doch shcon selber festgestellt, dass [mm] $D=[0,+\infty[$ [/mm] gilt.
Nun musst du noch untersuchen, wie die Grenzfunktion $f(x)$ für die einzelnen $x [mm] \in [/mm] D$ aussieht.
Für $x>1$ gilt -da hattest du völlig Recht- [mm] $f(x)=x^2$.
[/mm]
Für $x=1$ gilt natürlich $f(x) = [mm] \frac{1+e^x}{2}$.
[/mm]
Was ist nun mit dem Fall $x<1$?
Dann gehen die beiden Potenzen gegen $0$, und es bleibt:
[mm] $f(x)=e^x$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Di 10.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Danke, der Aha-Effekt ist gerade eingetreten!!!!
liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Also hab jetzt die gewonnenen Erkenntnisse wie folgt zusammengefasst:
[mm] D:=\left\{x \in [0, \infty) :f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x >1 \mbox{ } \\ (1+e) /2, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \\ e^{x}, & \mbox{für } x<1 \mbox{ } \end{cases} \right\}
[/mm]
Kann ich jetzt damit aussagen, dass f:D [mm] \to \IR [/mm] stetig ist für x<1, weil die Exponentialfunktion ausnahmslos an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist und dass f:D [mm] \to \IR [/mm] stetig ist für für x >1, da [mm] x^{2} [/mm] stetig?
liebe Grüße
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Hallo Franziska,
ja, f ist aus den von Dir genannten Gruenden stetig an jeder Stelle
[mm] x\in D\setminus\{1\} [/mm] und zusaetzlich nicht stetig an der Stelle x=1.
Gruss,
Mathias
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