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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm]
[mm] f(n)=\begin{cases} x^{3} - 3x + 2, & \mbox{falls } x \mbox{ rational ist} \\ x^{3} + x^{2} + 4, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational ist} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie alle Stellen y [mm] \in \IR, [/mm] an denen die Funktion stetig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da gibt es ja diesen Satz:
In einer beliebigen Umgebung einer rationalen Zahl a liegen irrationale Zahlen. In einer Beliebigen Umgebung einer irrationalen Zahl b befinden sich rationale Zahlen. .
Demnach dürfte es nicht viele Punkte geben an denen die Funktion stetig ist.
Ich habe dann versucht die Schnittpukte von
[mm] x^{3} [/mm] - 3x + 2 und [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 4 zu berechnen.
Also:
[mm] x^{3} [/mm] - 3x + 2 = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 4 | - [mm] x^{3} [/mm] , + 3x , -2
[mm] x^{2} [/mm] + 3x + 2 = 0 | quadratisch. Ergänzung + 0,25
[mm] x^{2} [/mm] + 3x + 2,25 = 0 ,25
(x + 1,5 [mm] )^{2} [/mm] = 0 ,25 | [mm] \wurzel{}
[/mm]
x + 1,5 = [mm] \pm [/mm] 0,5 | - 1,5
x1 = -2
x2 = 1
Ich dachte erst das diese Schnittpunkte die einzig möglichen Stellen für Stetigkeit wären da an allen anderen Stellen bzw. in direkter Umgebung beliebig viele andere Zahlen gefunden werden können die dann entweder rational oder irrational sind.
Aber um so mehr ich darüber lese umso verwirrter werde ich irgendwie.
Ist die Funktion vielleicht an diesen beiden Stellen nicht definiert und an allen anderen Stetig?
Hat jemand vielleicht einen kleinen Tip?
Danke schonmal im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sei die Funktion f: [mm]\IR \to \IR,[/mm]
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} x^{3} - 3x + 2, & \mbox{falls } x \mbox{ rational ist} \\ x^{3} + x^{2} + 4, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational ist} \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie alle Stellen y [mm]\in \IR,[/mm] an denen die
> Funktion stetig ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Da gibt es ja diesen Satz:
> In einer beliebigen Umgebung einer rationalen Zahl a
> liegen irrationale Zahlen. In einer Beliebigen Umgebung
> einer irrationalen Zahl b befinden sich rationale Zahlen..
> Demnach dürfte es nicht viele Punkte geben an denen die
> Funktion stetig ist.
> Ich habe dann versucht die Schnittpukte von
> [mm]x^{3}[/mm] - 3x + 2 und [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + 4 zu berechnen.
> Also:
>
> [mm]x^{3}[/mm] - 3x + 2 = [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + 4 | - [mm]x^{3}[/mm] ,
> + 3x , -2
> [mm]x^{2}[/mm] + 3x + 2 = 0 | quadratisch.
> Ergänzung + 0,25
> [mm]x^{2}[/mm] + 3x + 2,25 = 0 ,25
> (x + 1,5 [mm])^{2}[/mm] = 0 ,25 | [mm]\wurzel{}[/mm]
> x + 1,5 = [mm]\pm[/mm] 0,5 | - 1,5
> x1 = -2
> x2 = 1
>
> Ich dachte erst das diese Schnittpunkte die einzig
> möglichen Stellen für Stetigkeit wären
Das ist richtig. Das die Funktionen in den beiden Stellen jedoch stetig ist musst du noch zeigen.
> da an allen anderen
> Stellen bzw. in direkter Umgebung beliebig viele andere
> Zahlen gefunden werden können die dann entweder rational
> oder irrational sind.
Dieses Argument ist noch nicht vollstaendig, das gilt ja fuer jede Zahl in [mm] $\IR$.
[/mm]
> Aber um so mehr ich darüber lese umso verwirrter werde ich
> irgendwie.
> Ist die Funktion vielleicht an diesen beiden Stellen nicht
> definiert und an allen anderen Stetig?
Sie ist ueberall auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert. Und stetig halt hoechstens an den zwei angegebenen Stellen (sie ist dort auch stetig).
Rechne es am besten mit der Definition von Stetigkeit nach. Wenn du eine der beiden Stellen hast und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, dann gibt es ein [mm] $\delta_1 [/mm] > 0$ fuer die erste Funktion und ein [mm] $\delta_2 [/mm] > 0$ fuer die erste Funktion mit ... und wenn du [mm] $\delta [/mm] := [mm] \min\{\delta_1, \delta_2\} [/mm] > 0$ nimmst, dann ...
Und wenn du eine beliebige andere Stelle nimmst, dann sind die beiden Funktionen an dieser Stelle um einen gewissen Wert verschieden, etwa um $3 [mm] \cdot \varepsilon$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon [/mm] > 3$. Dazu gibt es nun ...
LG Felix
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