Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Fr 19.05.2006 | | Autor: | klaus_84 |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] > 1 fest vorgegeben und D= {x1, x2} [mm] \in R^{2}: [/mm] |x2| [mm] \le |x1|^{alpha} [/mm] eine Teilmenge des R2. Zeigen Sie, dass die folgendes Funktion f: D --> R2 im Nullpunkt stetig ist.
f(x1, x2) = [mm] (x1x2)/(x1^{2} [/mm] + [mm] x2^{2}) [/mm] für (x1, x2) [mm] \in [/mm] D ohne (0,0); 0 für (x1, x2) = (0,0)
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Hallo,
ich kann ohne diese "alpha"-Einschränkung leicht zeigen, dass diese Funktion im Nullpunkt unstetig wäre.
(Mit Hilfe der Folgenstetigkeit und [mm] x_{n} [/mm] = [mm] (t_{n}, t_{n}), t_{n} [/mm] --> 0, [mm] t_{n} \not= [/mm] 0)
Warum ändert sich die Stetigkeit nun, wenn ich x2 derart durch x1 beschränke?
Danke, klaus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Natürlich stimmt es, dass ohne die Einschränkung keine Stetigkeit gegeben ist. Aber eben in dieser Einschränkung liegt die Crux, denn es gilt:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \delta [/mm] := [mm] (\varepsilon)^{1/\alpha-1}. [/mm] Dann gilt
| f(x,y) | = |x|*|y| / [mm] |x^2+y^2| \le [/mm] |x|*|y| / [mm] |x|^2 [/mm] = |y| / |x| < [mm] |x|^{\alpha-1} [/mm] < [mm] \delta^{\alpha-1} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
für alle x,y [mm] \in [/mm] D mit [mm] \parallel [/mm] (x,y) [mm] \parallel \le \delta.
[/mm]
Ich hoffe, das war ausführlich genug.
Viel Spaß weiterhin,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 So 21.05.2006 | | Autor: | klaus_84 |
Vielen Dank.
Manchmal sehe ich den Wald (bzw. die Lösung) vor lauter Bäumen (bzw. Kriterien für Steitgkeit) nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 So 21.05.2006 | | Autor: | klaus_84 |
| Aufgabe | Du zeigst, dass der Funktionswert kleiner Epsilon ist, wenn || (x,y) || kleiner delta.
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Warum folgt daraus Stetigkeit?
Ich kenne Stetigkeit als
|| a - b || < delta ---> || f(a) - f(b) || < Epsilon .
Klaus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 So 21.05.2006 | | Autor: | klaus_84 |
Alles klar, jetzt hab ich's.
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