Stetigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 Di 22.08.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo!
Ich hab grad ein kleines Verständnisproblem, evtl steh ich nur auf der Leitung (wär ja kein wunder zu dieser Uhrzeit...)
Also, es gibt bekanntlich die beiden folgenden Sätze zur Stetigkeit von Funktionen in einem topologischen Raum:
f:X [mm] \to [/mm] Y ist stetig falls
1. Das Urbild ist offen in X für alle offenen Mengen in Y
2. Das Urbild ist abgeschlossen in X für alle abgeschlossenen Mengen in Y
Meine Frage, warum macht man das über das Urbild? Könnte man genauso sagen f ist stetig, falls
1. das bild offener mengen in X wieder offen in Y ist
2. das bild abgeschlossener mengen in X wieder abgeschlossen in Y ist?
Ist beides äquivalent oder wo ist mein denkfehler?
Vielen Dank
Cruemel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Di 22.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Cruemel!
> Hallo!
>
> Ich hab grad ein kleines Verständnisproblem, evtl steh ich
> nur auf der Leitung (wär ja kein wunder zu dieser
> Uhrzeit...)
>
> Also, es gibt bekanntlich die beiden folgenden Sätze zur
> Stetigkeit von Funktionen in einem topologischen Raum:
>
> f:X [mm]\to[/mm] Y ist stetig falls
>
> 1. Das Urbild ist offen in X für alle offenen Mengen in Y
> 2. Das Urbild ist abgeschlossen in X für alle
> abgeschlossenen Mengen in Y
>
> Meine Frage, warum macht man das über das Urbild?
Weil es sonst nicht funktioniert 
> Könnte
> man genauso sagen f ist stetig, falls
> 1. das bild offener mengen in X wieder offen in Y ist
> 2. das bild abgeschlossener mengen in X wieder
> abgeschlossen in Y ist?
Das ist beides falsch!
Sei $X$ ein topologischer Raum und $O [mm] \subseteq [/mm] X$ nicht abgeschlossen. Statte $O$ mit der Relativtopologie aus, und betrachte die Inklusion $i : O [mm] \to [/mm] X$. Dann ist $O$ abgeschlossen in $O$, aber $i(O)$ ist nicht abgeschlossen in $X$. Jedoch ist $i$ stetig (das liegt gerade an der Definition der Relativtopologie!)...
Genauso kannst du eine Teilmenge $O$ nehmen, die nicht offen ist: Dann ist das Bild einer offenen Menge nicht offen, obwohl die Abbildung stetig ist.
Ein etwas anschaulicheres Beispiel fuer offen impliziert nicht Bild offen ist [mm] $\sin [/mm] : [mm] \IR \to \IR$; [/mm] das Bild von [mm] $\IR$ [/mm] ist $[-1, 1]$, also nicht offen.
Und fuer abgeschlossen impliziert nicht Bild abgeschlossen: Betrachte die Menge [mm] $\{ 2 \pi n + \frac{1}{n} \mid n \in \IN \}$. [/mm] Das Bild von dieser Menge unter [mm] $\sin [/mm] : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] hat einen Haeufungspunkt (bei $0$), der nicht im Bild liegt. Die Menge selber ist jedoch abgeschlossen.
(Hier ist es essentiell, dass die Menge nicht beschraenkt ist: Waere sie beschraenkt, so waere sie nach Heine-Borel kompakt, und kompakte Mengen werden von stetigen Funktionen auf kompakte Mengen abgebildet.)
HTH & LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:56 Di 22.08.2006 | | Autor: | cruemel |
Vielen Dank für die schnelle Antwort, dann kann ich jetzt ja beruhigt schlafen gehen
Grüße
cruemel
|
|
|
|
