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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Gibt es eine stetige Funktion $f: I [mm] \rightarrow \IR$, [/mm] die
$f(x) = [mm] \br{1}{1+x} +\br{1}{1-x}-2\sum^{\infty}_{n=0}x^{2n}+\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}$
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (-1,1)$ erfüllt, wenn $I = [-1,1)$. |
Hallo.
Also ich habe hier ein riesen großes Problem beim Verständnis der Aufgabe.
Für x gilt:
-1<x<1
Das heißt, eine Funktion könnte so aussehen:
$f(x) = [mm] \br{1}{1+0.5} +\br{1}{1-0.5}-2\sum^{\infty}_{n=0}0.5^{2n}+\sum^{\infty}_{n=0}0.5^{n}$
[/mm]
Was heißt jetzt aber dieses I?
f: [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] heißt ja so viel, die x Werte sind alle aus den reellen Zahlen und bilden auf reelle y ab.
Jetzt verstehe ich I=[-1,1) aber nicht. Das müsste nach meine Verständnis heissen, die x Werte werden so gewählt: [mm] $-1\le [/mm] x <1$ und dann geht es auf reelle beliebige Y.
Verstehe ich das richtig?
Hat hier jemand eine Beweisidee zu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Johann
für alle |x|<1 kannst du die Summen (geom.Reihe) durch ihre GW ersetzen, und hast f(x)=0 . Aber für x=-1 existieren die GW der Summen nicht, die fkt ist dort also nicht definiert. Da bleibt nur zu überlegen, ob man sie für x=-1 stetig dur f(-1)=0 ergänzen kann. zu dem Teil weiss ich erstmal nix.
Du hast den Funktionswert bei x=0.5 hingeschrieben, kein f(x).
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Guten Tag Leduart.
> für alle |x|<1 kannst du die Summen (geom.Reihe) durch
> ihre GW ersetzen, und hast f(x)=0 . Aber für x=-1
GW= Grenzwerte? Ich schreibe die Summen also als geometrische Reihe um, und dann berechne ich den Grenzwert der geometrischen Reihe, der dann das Ergebnis f(x) ist??
> existieren die GW der Summen nicht, die fkt ist dort also
> nicht definiert. Da bleibt nur zu überlegen, ob man sie für
> x=-1 stetig dur f(-1)=0 ergänzen kann. zu dem Teil weiss
> ich erstmal nix.
> Du hast den Funktionswert bei x=0.5 hingeschrieben, kein
> f(x).
Richtig. Ich verstehe den Unterschied zwischen I und [mm] x\in(-1,1) [/mm] nicht
Kann man mir das vielleicht noch mal erklären?
Gruß
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Johann
gefragt ist ob es eine stet. fkt. gibt, die auf [-1,1] definiert ist, und für dalle x mit -1<x<1 durch die Formel definiert ist.
D.h. an der Stelle -1 ist die Frage ob du dort (f(-1) so definieren kannst dass dann die fkt:
f(x)= deine Wahl für x=-1
und f(x)= gegebene fkt für -1<x<1
stetig ist.
das läuft daraus hinaus, dass deine Wahl f(-1)=0 und du musst zeigen, dass die fkt dann stetig ist.
Also das, was ich schon gesagt hab, gibts eine stetige Ergänzung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Gibt es eine stetige Funktion $ f: I [mm] \rightarrow \IR [/mm] $, die
$ f(x) = [mm] \br{1}{1+x} +\br{1}{1-x}-2\sum^{\infty}_{n=0}x^{2n}+\sum^{\infty}_{n=0}x^{n} [/mm] $
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (-1,1) $ erfüllt, wenn $ I = [-1,1) $. |
Hallo.
Jetzt denke ich, das Problem verstanden zu haben.
Wie suche ich denn jetzt so eine Funktion?
Ich dachte mir, dass ich ein paar Werte für x zunächst einmal einsetze:
f(0)=g(0)
f(1)=g(1)
f(0.5)=g(0.5)
f(-0.5))=g(-0.5)
Daraus erstelle ich dann eine Funktion g(x) vierten Grades, zusätzlich zur Bedingung, g(-1)=0 und gucke, ob sie stetig ist.
Ich glaube, ganzrationale Funktionen sind immer stetig oder?
Viele Grüße, Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Johann,
rechne doch f(x) erstmal für |x|<1 aus!!
eine fkt, die nur an ein paar Stellen f(x) ist hilft doch gar nix.
Ich hatte schon im 1.post gesagt: Summen bilden da es geom. Reihen sind. dann alles auf hauptnenner und addieren.
Aber sonst rechne halt f(0,1),f(0,2) usw aus, vielleicht merkst du dann auch was.
Nochmal die fkt f(x) ist dir überall in I gegeben, ausser bei x=-1 !
Gruss leduart.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Gibt es eine stetige Funktion $ f: I [mm] \rightarrow \IR [/mm] $, die
$ f(x) = [mm] \br{1}{1+x} +\br{1}{1-x}-2\sum^{\infty}_{n=0}x^{2n}+\sum^{\infty}_{n=0}x^{n} [/mm] $
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (-1,1) $ erfüllt, wenn $ I = [-1,1) $. |
Hallo
> rechne doch f(x) erstmal für |x|<1 aus!!
Ich probiers mal:
Für |x|<1
[mm] 2\sum^{\infty}_{n=0}x^{2n}=2*\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}
[/mm]
Nach der geometrischen Reihe gilt
[mm] \sum^{\infty}_{n=0}x^{n} [/mm] = [mm] \br{1}{1-x}
[/mm]
Das heißt, meine Funktion lautet
$ f(x) = [mm] \br{1}{1+x} +\br{1}{1-x}-2*(\br{1}{1-x})^2+\br{1}{1-x} [/mm] $
$ f(x) = [mm] \br{1}{1+x} +2\br{1}{1-x}-2*(\br{1}{1-x})^2$
[/mm]
Weiter vereinfacht erhalte ich
$f(x) = [mm] \br{3x^2-4x-3}{(x+1)(x-1)^2}$
[/mm]
> eine fkt, die nur an ein paar Stellen f(x) ist hilft doch
> gar nix.
> Ich hatte schon im 1.post gesagt: Summen bilden da es
> geom. Reihen sind. dann alles auf hauptnenner und
> addieren.
> Aber sonst rechne halt f(0,1),f(0,2) usw aus, vielleicht
> merkst du dann auch was.
>
> Nochmal die fkt f(x) ist dir überall in I gegeben, ausser
> bei x=-1 !
Du sagtest ja vorher
> das läuft daraus hinaus, dass deine Wahl f(-1)=0 und du musst zeigen, dass die fkt dann stetig ist.
Das stimmt ja jetzt leider nicht. Folglich habe ich es vermasselt, richtig?
Gruß,
Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Johann
[mm] (a^2+b^2) \ne [/mm] (a+b)*(a+b) !!
[mm]\sum^{\infty}_{n=0}x^{2n} \ne \sum^{\infty}_{n=0}x^{n}\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}[/mm]
sondern:
[mm]\sum^{\infty}_{n=0}x^{2n}=\sum^{\infty}_{n=0}(x^2)^n [/mm] !!
Neu rechnen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Gibt es eine stetige Funktion $ f: I [mm] \rightarrow \IR [/mm] $, die
$ f(x) = [mm] \br{1}{1+x} +\br{1}{1-x}-2\sum^{\infty}_{n=0}x^{2n}+\sum^{\infty}_{n=0}x^{n} [/mm] $
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (-1,1) $ erfüllt, wenn $ I = [-1,1) $. |
Einen wunderschönen guten Morgen wünsche ich.
> [mm](a^2+b^2) \ne[/mm] (a+b)*(a+b) !!
>
> [mm]\sum^{\infty}_{n=0}x^{2n} \ne \sum^{\infty}_{n=0}x^{n}\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}[/mm]
Danke, dass du es so detailliert aufgeschrieben hast, denn ansonsten hätte ich nicht verstanden, was gemeint ist.
> sondern:
>
> [mm]\sum^{\infty}_{n=0}x^{2n}=\sum^{\infty}_{n=0}(x^2)^n[/mm] !!
>
> Neu rechnen!
Wegen |x|<1, gilt auch [mm] |x|^2<1
[/mm]
Ergebnis also:
[mm] $\frac{1}{1-x^2}$
[/mm]
Noch einmal für
[mm] $\sum^{\infty}_{n=0}x^{n}$ [/mm]
[mm] $=\frac{1}{1-x}$
[/mm]
Funktion lautet erst einmal
$f(x) = [mm] \br{1}{1+x} +\br{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}+\br{1}{1-x} [/mm] $
Dann hätte ich jetzt aber für die Funktion
$f(x) = [mm] \br{1}{x-1}$
[/mm]
heraus.
Stimmt ja schon wieder nicht, wegen dem f(-1)=0. Wo ist nun der Fehler?
Viele Grüße,
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Sa 13.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte mich verrechnet, f(x) ist nicht 0 (ich hatte die eine Summe vergessen.
du hast also jetzt f(x)=1/(x-1) und musst ergänzen durch f(-1)=-1/2.
Also nur nen neuen Wert bei -1 sonst wie vorher.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> du hast also jetzt f(x)=1/(x-1) und musst ergänzen durch
> f(-1)=-1/2.
Also ich habe ja jetzt die Funktion $f(x) = [mm] \br{1}{x-1}$
[/mm]
Dann ist
$f(-1) = [mm] -\br{1}{2}$
[/mm]
Und bei welcher Funktion soll ich da nun etwas ergänzen?
Meinst du, ich soll an dieser Stelle:
$ f(x) = [mm] \br{1}{1+x} +\br{1}{1-x}-2\cdot{}(\br{1}{1-x})^2+\br{1}{1-x} [/mm] $
etwas ergänzen. Weil dort kann man ja in 1/(1+x) schlecht die minus 1 einsetzen.
> Also nur nen neuen Wert bei -1 sonst wie vorher.
Und wenn ich an der obengenannten Stelle das nun so ergänzt habe, dass da minus 1/2 für x=-1 herauskommt, kann ich die Funktion
$f(x) = [mm] \br{1}{x-1}$
[/mm]
auf Stetigkeit überprüfen?
Schöne Grüße,
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Sa 13.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(x)=... ist doch nur für -1<x<1 definiert. (bei x=-1 dürftest du nicht durch x+1 kürzen! bzw. die Summenformeln gelten nicht mehr automatisch. deshalb musst du definieren f(-1)=-1/2
und dann kurz zeigen, dass auch der GW von f(x) -1/2 ist.
So und jetzt bin ich weg. Wenn noch was unklar ist hilft dir vielleicht jemand anders
Dass 1/1-x für alle x mit -1<x<1 stetig ist ist klar und muss wohl nicht bewiesen werden, nur die stelle -1
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 So 14.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hi Leduart. Danke für deine geduldige Hilfe. Hast mir wirklich sehr geholfen!
Viele Grüße
Johann
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