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| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
Die Funktion $f: [mm] \IQ \to \IR$ [/mm] gegeben durch
[mm] $f(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x<\wurzel{2} \\ 0, & \mbox{für } x>\wurzel{2}\end{cases}$
[/mm]
ist stetig auf ganz [mm] $\IQ$. [/mm] |
Hallo!
Ich komme im Moment nicht weiter. Ich soll also entweder zeigen oder widerlegen, dass f gleichmäßig stetig auf Ihrem Definitionsbereich [mm] \IQ [/mm] ist. Die Funktion macht ja bei Wurzel 2 einen Sprung, ist allerdings gar nicht für Wurzel 2 definiert.
Des Weiteren ist die Funktion sozusagen auf 2 Intervallen definiert, also
einmal von [mm] ]-\infty, \wurzel{2}[ [/mm] und [mm] ]\wurzel{2}, +\infty[
[/mm]
Auf diesen beiden Intervallen einzeln ist sie Stetig, was ja im Grunde bedeutet Sie ist auf Ihrem ganzen Definitionsbereich stetig.
Aber wenn ich die [mm] \varepsilon-\vardelta-Bedingung [/mm] versuche anzuwenden, kann ich mir doch rein theoretisch einen Punkt aus dem "linken" Intervall und einen Punkt aus dem "rechtem" Intervall schnappen und [mm] \varepsilon=0,5 [/mm] wählen, dann geht die Bedingung schief, da ich kein Delta finde.
So, meine Frage ist also: Ist die Funktion auf Q stetig weil sie auf Ihren beiden definierten Intervallen stetig ist? Oder ist sie unstetig, weil die epsilon-delta-bedingung nicht für alle x aus D klappt?
mfg,
robin
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Hallo, Robin!
Bei solchen Beispielen, die sich der Anschauung entziehen, ist es wichtig mit der Definition zu arbeiten. Sei [mm] $x_0 \in \IQ$. [/mm] Wir wollen zeigen, dass die Funktion in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist. Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. [mm] $\exists\ \delta [/mm] > 0$, sodass [mm] $|\delta [/mm] - [mm] x_0| [/mm] < [mm] |\sqrt [/mm] 2 - [mm] x_0|$. [/mm] Dann gilt [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in U_{\delta}(x_0)$ [/mm] $f(x) = [mm] f(x_0)$, [/mm] also insbesondere [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Das Problem bei deiner Argumentation ist, dass ich für ein vorgegebenes [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon$ [/mm] immer eine hinreichend kleine Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] finden kann, die immer noch auf "derselben" Seite wie [mm] $x_0$ [/mm] liegt, weil eben die Funktion für [mm] $\sqrt [/mm] 2$ nicht definiert ist (du kannst dir also insbesondere nicht zwei feste Punkte vorgeben).
Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mo 28.05.2007 | | Autor: | robbonaut |
Vielen Dank!
Jetzt hab' ichs. Mein Fehler war also, die Punkte beide fest vorzugeben.
Der Weg ist also der:
Ich gebe mir ein sehr kleines Epsilon vor, und für jeden Punkt aus [mm] \IQ [/mm]
finde ich eine sehr sehr kleine Delta-Umgebung, die noch "auf der richtigen Seite" liegt, folglich sind die Funktionswerte der aller Elemente aus dieser Umgebung dann gleich und somit ist der Abstand der Funktionswerte kleiner als epsilon.
Also ist f stetig auf ganz [mm] \IQ.
[/mm]
danke!!
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