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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:31 Di 14.12.2004 | | Autor: | Antiprofi |
Sei [mm] D\subseteq \IR, [/mm] f: D -> [mm] \IR, a\in [/mm] D. Untersuchen Sie (Nachweis oder Gegenbeispiel), aus welcher der folgenden Bedingungen die Stetigkeit von f in a folgt.
(i) Für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 für alle [mm] \delta [/mm] > 0 exisistiert ein [mm] x\in [/mm] D : [mm] |x-a|<\delta [/mm] und [mm] |f(x)-f(a)|<\epsilon [/mm] .
(ii) Für alle [mm] \alpha\in(0,1) [/mm] existiert ein [mm] \beta [/mm] > 0: [mm] |f(x)-f(a)|=<\alpha [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] D mit [mm] |x-a|=<\beta
[/mm]
(iii) Für alle [mm] \delta [/mm] > 0 für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 : [mm] |f(x)-f(a)|<\epsilon [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] D mit [mm] |x-a|<\delta
[/mm]
Soweit zur Aufgabe. Zum Teil (i) haben wir auch schon was anzubieten, nämlich: Wenn man die Funktion f(x)=0 für x<0 und f(x)=1 für x>=0 betrachtet, das erfüllt zwar die Bedingung, ist aber bei a=0 nicht stetig, somit Gegenbeispiel. Heisst aus (i) folgt keine Stetigkeit
Ach ja noch was: Wie bekommt man mit dem Formeleditor den All- und Existenzquantor hin?
MfG
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Hallo antiprofi,
wie du richtig erkannt hast, folgt aus (i) nicht die Stetigkeit.
(ii) ist ja quasi die Definition von Stetigkeit, nur dass statt < immer [mm] \le [/mm] dasteht. Du musst also schauen, ob das = wehtut.
(iii) ist was ganz besonderes, da möchte ich dir noch ein bisschen Zeit geben. Du darfst aber die beiden [mm] \forall [/mm] -Quantoren vertauschen, vielleicht wird dann klarer, was bei (iii) gefordert wird.
\forall ergibt [mm] \forall [/mm] und \exists ergibt [mm] \exists
[/mm]
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Antiprofi |
iii) müsste stetig sein, da [mm] P(\delta;\epsilon):<=>\forall x\in D:|x-a|<\delta
[/mm]
=> [mm] |f(x)-f(a)|<\epsilon
[/mm]
[mm] \forall \delta>0, \epsilon>0: P(\delta;\epsilon) [/mm] <=> [mm] \forall \epsilon>0, \forall \delta>0: P(\delta;\epsilon)
[/mm]
=> [mm] \forall \epsilon>0, \exists \delta>0: P(\delta;\epsilon) [/mm] <=> stetig
ii) noch nich probiert.
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Ich versteh deine Schreibweise zwar nicht, aber (iii) ist eine Aussage, die noch stärker ist als Stetigkeit, deshalb folgt die Stetigkeit aus ihr. Du hast also recht.
Hugo
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Maluma |
Hallo Hugo,
ich wollte (iii) jetzt damit begründen, dass, wenn die Aussage für alle [mm] \delta [/mm] gilt, sie ja erst recht für ein [mm] \delta [/mm] gelten muss, also die Stetigkeit folgt. Hast du das auch so gemeint und wäre meine Antwort damit richtig ;)?
Gruß,
Maluma
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Hey,
also ich glaub du hast das so richtig verstanden 
Zumindest hab ich es auch so verstanden und geht ja eigentlich auch aus dem hervor, was Antiprofi da hingepinselt hat, wobei mir da das P noch suspekt ist...
bis denn dann und viel Spaß mit den Aufgaben....
mfg
P.S.: man sieht sich...
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Das ist genau das, was ich auch denke.
Kleine Anmerkung noch: eine Funktion, die (iii) erfüllt nennen Eingeweihte auch 'konstant', weil man ja offensichtlich von einem vorgegebenen Funktionswert überall um beliebig wenig abweicht.
Hugo
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