Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Yami |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich wollte mal ne neue frage stellen und zwar nochmal eine Aufgabe zur Stetigkeit:
Die Aufgabe
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x³-1}{x-1}, & \mbox{für } x \mbox{ x > 1} \\ 3x, & \mbox{für } x \mbox{ |x| <= 1}\\ \bruch{\wurzel{x²-1}}{x-5}, & \mbox{für } x \mbox{ x < - 1} \end{cases}
[/mm]
bin soweit das ich folgene Punkte betrachten{-1,1}
also [mm] \limes_{n\rightarrow\ - 1} [/mm] linksseitig [mm] \bruch{\wurzel{x²-1}}{x-5} [/mm] das ergab nun bei mir 0.... was ich wissen wollte muss ich nochwas mit der 3x machen, einsetzten?
bei:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 1} [/mm] rechtsseitig [mm] \bruch{x³-1}{x-1}
[/mm]
bin ich durch diepolynomdivision auf x²+x+1..... da kommt 3 raus (bei mir) mir wurde mal irgendetwas von nun mit 3x arbeiten aber ich habe das nicht mit 3x irgendwie in verbindung gebracht... wofür steht eigentlich dort die 3x?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
Jetzt schau dir mal noch [mm] \limes_{n\rightarrow\ - 1} [/mm] rechtsseitig und [mm] \limes_{n\rightarrow\ 1} [/mm] linksseitig an.
Die 3x dort bedeutet, dass f(x) im Intervall [-1,1] jeder Zahl das dreifache von ihr zuordnet.
Für x>1 und x<1 haste doch die Angabe auch richtig gelesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Yami |
> Jetzt schau dir mal noch [mm]\limes_{n\rightarrow\ - 1}[/mm]
> rechtsseitig und [mm]\limes_{n\rightarrow\ 1}[/mm] linksseitig an.
> Die 3x dort bedeutet, dass f(x) im Intervall [-1,1] jeder
> Zahl das dreifache von ihr zuordnet.
> Für x>1 und x<1 haste doch die Angabe auch richtig
> gelesen.
Das mit den 3x verstehe ich noch nicht ganz.... heißt das ich muss das Ergebnis nochmal durch 3 teilen oder mal 3 nehmen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x³-1}{x-1}, & \mbox{für } \mbox{ x > 1} \\ 3x, & \mbox{für } \mbox{ |x| <= 1}\\ \bruch{\wurzel{x²-1}}{x-5}, & \mbox{für } \mbox{ x < - 1} \end{cases}
[/mm]
bedeutet, dass die Funktion für x > 1 wie [mm] f(x)=\bruch{x³-1}{x-1} [/mm] ist, für -1≤x≤1 wie f(x)=3x und für x < -1 wie [mm] f(x)=\bruch{\wurzel{x²-1}}{x-5}.
[/mm]
Also z.b. f(-2) = [mm] \bruch{\wurzel{2²-1}}{2-5} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{-3}, [/mm] f(0.5) = 3(0.5) = 1.5 und f(2) = [mm] \bruch{2^{3}-1}{2-1} [/mm] = [mm] \bruch{7}{1}.
[/mm]
Deine beiden Ergebnisse die du hast stimmen. Es fehlen noch die beiden anderen (die ich dir gesagt habe, dass du sie ausrechnen sollst), dann kannste eine Aussage über die Stetigkeit der Funktion treffen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Yami |
Danke, bin mir jetzt sicherer bei solchen Aufgaben, habe auch fleißig weiter gerrechnet und es kammen noch fragen auf und zwar von einem anderen typ:
und zwar eine Aufgabe wo follgende Funktion gegeben ist:
f(x) = [mm] \bruch{1 - cos(\bruch{x}{2})}{1- cos(x)}
[/mm]
Bestimme den Df:
das habe ich auch das ist nämlich x [mm] \in \IR\{0}
[/mm]
Die Nullstellen ermitteln:
Da habe ich follgendes geschrieben:
f(x) = 0 bei x = 0, das geht aber nicht da der Nenner nicht null werden darf und 0 nicht im Df ist, ist das so richtig?
Zeigen Sie, daß f ein [mm] 4\pi-periodische [/mm] Funktion ist.
Da dachte ich mir das ich für x [mm] 4\pi [/mm] einsetzten muss also [mm] f(4\pi), [/mm] ist das so richitg?
In der letzten Aufgabe muss ich überprüfen ob sich f im Nullpunkt stetig ergänzen läßt.
Da weiß ich nicht wie ich da richtig vorgehen soll.
also das habe ich so gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] f(x) = [mm] \bruch{1 - cos(\bruch{x}{2})}{1- cos(x)}
[/mm]
bei:
f(x) = [mm] \bruch{1 - cos(\bruch{x}{2})}{1- cos(x)} [/mm] für [mm] x\not=0
[/mm]
und 0 für x = 0
Doch wenn ich das aussrechne kommt 4 raus..... ich weiß nicht was ich falsch mache.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 Do 17.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Der Kosinus ist eine periodische Funktion (und damit auch 1-cos). D.h. wenn du eine Stelle gefunden hast, an der eine Definitionslücke ist, so wiederholt sich diese immerwieder.
Gleiches gilt für die Nullstellen, da auch [mm] 1-cos(\bruch{x}{2}) [/mm] periodisch ist.
Deine Begründung ist, wenn du sie daran anpasst, auf dem richtigen Weg.
[mm] 4\pi-periodisch [/mm] bedeutet, dass sich die Werte der Funktion, wenn x um [mm] 4\pi [/mm] wächst, wiederholen.
Also: [mm] f(x)=f(x+4\pi) ,\forall [/mm] x
Die stetige Fortsetzung hat an der Definitionslücke den Wert, der zu den Umliegenden passt. Wenn man sich dem kritischen Punkt nähert, muss auch der Funktionswert sich dem eingesetzten Wert nähern.
Dein [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-cos(\bruch{x}{2})}{1-cos(x)} [/mm] war also bereits der richtige Ansatz.
(Es gibt also keinen Grund einfach f(0)=0 zu setzen.)
Wobei kommt 4 raus ? Beim Limes zumindest nicht.
Ciao.
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