Stetigkeit! < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Roxanna |
| Aufgabe | | [mm] \IR\to\IR,f(x)=\begin{cases} x^3+sin(x)+1, x<0 & \mbox{ } \\ e^x, x\ge0& \mbox{ } \mbox{} \end{cases} [/mm] |
Hallo, ich habe eine Frage, in der Shcule habe ich momentan Schwierigkeiten mit Mathe. Ich kann keine Rechung für Stetikeit aufstellen, ich weiß die Regeln mit dem Stift also wenn man den Stift ablegen muss ist es unstetig und wenn nicht dann stetig aber ich muss bei der Klausur meine Aussage mit eine Rechnung darlegen und das kann ich leider nicht.
Ich habe es so verstanden, für x eine bliebige Zahl einsetzen und das in beide Funktionen, wenn da gleiche Ergebnisse rauskommen dann ist die Funktion an diese Stelle zum beispiel x =1 stetig, ansonsten unstetig! Lieg ich da richtig oder bin ich auf dem falschen Weg? Was ist wenn in der Aufgabenstellung gar nicht angegeben ist, an welche Stellen ich Stetigkeit prüfen soll?!
Danke schon im voraus !
LIEBE GRÜSSE
ROXANNE
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
nun, du weist, dass deine Funktionen an sich stetig sind, weil sie eine Summe von stetigen Funktionen darstellt. Ich nehme mal an, dass die obere Funktion für x<0 gelten soll.
D.h. die einzige Stelle, wo deine Funktion unstetig sein könnte wäre bei x=0, da du dich von links mit dem oberen Funktionsterm näherst, von rechts aber mit dem anderen Funktionsterm [mm] e^x.
[/mm]
D.h. du musst den Grenzwert einmal linksseitig für x gegen 0 bilden und einmal rechtsseitig. Rechtsseitig ist einfach, du setzt für x in [mm] e^x [/mm] die 0 ein. Linksseitig ist im Prinzip genauso, stell dir vor, du würdest in den oberen Term die 0 einsetzen.
Wenn du den Stift nicht abstezen musst, um deinen Graphen zu zeichnen, was muss dann gelten, wenn du dich von rechts und von links der 0 näherst? Dürfen die Werte verschieden sein?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Roxanna |
Ja, danke erstmal. Soweit habe ich es auch verstanden aber der Lehrer verlangt eine Rechnung bei der ich nicht sicher bin wie sie gehen soll. Das mit Stetig ode unstetig habe ich verstanden aber wie stelle ich dass mit eine Rechung dar. Etwa durch einsetzen einer beliege x um zugucken ob alle Ergebnisse die gleiche Ergebnisse haben? Wenn alle Ergebnisse gleich sind ist es also stetig stimmts?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dass deine Funktionen für x ungleich 0 stetig sind kannst du einfach beweisen, da deine Funktionen eine Summation von stetigen Funktionen ist! Deshalb musst du nur bei x=0 zeigen, dass der Grenzwert für x gegen 0 von rechts (also der Grenzwert für [mm] e^x [/mm] gegen 0 von rechts) glech dem Grenzwert für x gegen 0 von links (also der Grenzwert für [mm] x^3+sin(x)+1 [/mm] für x gegen 0 von links) ist. Wenn da beides mal der selbe Wert rauskommt, ist deine Funktion stetig.
LG
Kroni
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