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| Aufgabe | Untersuche folgende Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit:
a) [mm] f(x)=\begin{cases} {\bruch{arctan x}{x}}, & {x \not=0} \\ 1, & {x=0} \end{cases}
[/mm]
b) [mm] g(x)=\wurzel{\bruch{1-x^3}{1+x^3}} [/mm] |
Hallo, hab eine paar Fragen zu dieser Aufgabe:
Bei der a) habe ich gesagt, für x [mm] \not=0 [/mm] ist f stetig und diffbar, als Zusammensetzung von stetigen und diffbaren Funktionen. Zu Prüfen ist also noch die Stetigkeit für x=0:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{arctan x}{x}\underbrace{=}_{L'Hospital} \limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{1}{\bruch{1+x^2}{1}}=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^-} \bruch{arctan x}{x}\underbrace{=}_{L'Hospital} \limes_{x\rightarrow 0^-} \bruch{1}{\bruch{1+x^2}{-1}}=-1
[/mm]
Also ist f in 0 nicht stetig und somit nicht diffbar in 0.
Ist da so ok?
Zu b) Hier hab ich die Wurzel aufgeteilt in [mm] \bruch{\wurzel{1-x^3}}{\wurzel{1+x^3}} [/mm] das ist nur auf (-1,1] definiert und auf diesem Intervall stetig und diffbar als Zusammensetzung von stetigen und diffbaren Funktionen. Muss ich hier noch einen kritischen Punkt berücksichtigen, der mir vllt. nicht aufgefallen ist?
mfg
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Also deine erste gleichung stimmt, aber wieso bekommst du bei der zweiten (nach L'Hopital ein -1? da gehört auch eine 1 hin!
Dann kriegst du nämlich auch als grezwert 1 raus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
also ich meine das -1 unter [mm] 1+x^2
[/mm]
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Ach ja klar, da hab ich mich von einer anderen Aufgabe etwas zu stark beeinflussen lassen...
Wie siehts denn mit Aufgabe b) aus? ist das so in ordnung?
Vielen Dank
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Ja die beantwortung ist für b richtig
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