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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mo 07.04.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | | [mm] f:\IR \to \IR [/mm] ; f(x)= [mm] x^2 [/mm] zeige mit Hilfe der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition der Stetigkeit, dass f(x) in [mm] x_0 [/mm] = 4 stetig ist. |
Hey, also ich habe noch ein paar Probleme mit der Stetigkeit, ich krieg zwar denn Anfang hin, nur am Ende hapert es dann. Manchmal krieg ich auch ein nettes Ergebnis raus, nur ich weiss dann nie, warum genau das so ist. Vielleicht kann mir da einer mal helfen.
sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig, wähle [mm] \delta [/mm] := min [mm] \{ \} [/mm] hier weiss ich schonmal nicht, was ich wählen muss, oder wie ich das rausfinden kann.
|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = | [mm] x^2 [/mm] - 4| = | x - 2| | x+2| < [mm] \delta [/mm] | x + 4| hier hab ich auch schon einen kleinen hänger, mir ist klar, dass das kleine als [mm] \delta [/mm] sein muss, denn dies folgt ja aus der definition. Nur woher nehmen die das | x + 4| .
Es gilt | x + 4| = | (x-4)(x+4) | (dies folgt ja aus der Definition des Betrages.
| (x-4)(x+4) | < | x - 4| + 8 < [mm] \delta [/mm] +8 und nochmal eine Frage, woher nehmen die in den letzten beiden Teilen das + 8
und dann ist die letzte Zeile ein absolutes Rätsel fuer mich.
|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \delta [/mm] ( [mm] \delta [/mm] +8) [mm] \le \bruch{ \varepsilon }{10} [/mm] * 9 < [mm] \varepsilon
[/mm]
also es wäre echt super nett wenn mir jemand helfen könnte, denn ich hänge da zum Teil echt fest.
glg penguin
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Hi,
> [mm]f:\IR \to \IR[/mm] ; f(x)= [mm]x^2[/mm] zeige mit Hilfe der [mm]\varepsilon[/mm] -
> [mm]\delta[/mm] Definition der Stetigkeit, dass f(x) in [mm]x_0[/mm] = 4
> stetig ist.
> Hey, also ich habe noch ein paar Probleme mit der
> Stetigkeit, ich krieg zwar denn Anfang hin, nur am Ende
> hapert es dann. Manchmal krieg ich auch ein nettes Ergebnis
> raus, nur ich weiss dann nie, warum genau das so ist.
> Vielleicht kann mir da einer mal helfen.
>
> sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig, wähle [mm]\delta[/mm] := min [mm]\{ \}[/mm]
> hier weiss ich schonmal nicht, was ich wählen muss, oder
> wie ich das rausfinden kann.
>
>
> |f(x) - [mm]f(x_0)|[/mm] = | [mm]x^2[/mm] - 4| = | x - 2| | x+2| < [mm]\delta[/mm] | x
> + 4| hier hab ich auch schon einen kleinen hänger, mir ist
> klar, dass das kleine als [mm]\delta[/mm] sein muss, denn dies folgt
> ja aus der definition. Nur woher nehmen die das | x + 4|
> .
Hier hast du schon deinen ersten Fehler, denn:
[mm] $\left|f(x)-f(x_0) \right| [/mm] = [mm] \left| x^2 - 4^2 \right| [/mm] = [mm] \left| (x - 4)(x+4)\right| [/mm] = [mm] \left| (x - 4) \right| \left| (x+4)\right|\le \delta \left| x + 4 \right|\$
[/mm]
>
> Es gilt | x + 4| = | (x-4)(x+4) | (dies folgt ja aus der
> Definition des Betrages.
>
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Aus welcher Definition soll die Richtigkeit dieser Behauptung bitte folgen?!
> | (x-4)(x+4) | < | x - 4| + 8 < [mm]\delta[/mm] +8 und nochmal eine
> Frage, woher nehmen die in den letzten beiden Teilen das +
> 8
>
> und dann ist die letzte Zeile ein absolutes Rätsel fuer
> mich.
>
> |f(x) - [mm]f(x_0)|[/mm] < [mm]\delta[/mm] ( [mm]\delta[/mm] +8) [mm]\le \bruch{ \varepsilon }{10}[/mm]
> * 9 < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> also es wäre echt super nett wenn mir jemand helfen könnte,
> denn ich hänge da zum Teil echt fest.
>
> glg penguin
Gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mo 07.04.2008 | | Autor: | penguin |
Ach klar, oh man bin ich verpeilt...
$ [mm] \left|f(x)-f(x_0) \right| [/mm] = [mm] \left| x^2 - 4^2 \right| [/mm] = [mm] \left| (x - 4)(x+4)\right| [/mm] = [mm] \left| (x - 4) \right| \left| (x+4)\right|\le \delta \left| x + 4 \right|\ [/mm] $
nur troztdem verstehe ich die rechte Seite mit dem delta nicht und klar, das war auch nicht die Definition des Betrages, habe ich verwechselt.
und wie sieht das nun mit der letzten Zeile aus... denn die versteh ich auch nicht so ganz, genauso wie ich noch nicht so ganz raus habe, wie ich das delta wählen muss.
|f(x) - $ [mm] f(x_0)| [/mm] $ < $ [mm] \delta [/mm] $ ( $ [mm] \delta [/mm] $ +8) $ [mm] \le \bruch{ \varepsilon }{10} [/mm] $
> * 9 < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
vielen lieben Dank fuer deine Hilfe uebrigens
penguin
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Hallo,
s. die andere Antwort 
LG
schachuzipus
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Hallo penguin,
> [mm]f:\IR \to \IR[/mm] ; f(x)= [mm]x^2[/mm] zeige mit Hilfe der [mm]\varepsilon[/mm] -
> [mm]\delta[/mm] Definition der Stetigkeit, dass f(x) in [mm]x_0[/mm] = 4
> stetig ist.
> Hey, also ich habe noch ein paar Probleme mit der
> Stetigkeit, ich krieg zwar denn Anfang hin, nur am Ende
> hapert es dann. Manchmal krieg ich auch ein nettes Ergebnis
> raus, nur ich weiss dann nie, warum genau das so ist.
> Vielleicht kann mir da einer mal helfen.
>
> sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig, wähle [mm]\delta[/mm] := min [mm]\{ \}[/mm]
> hier weiss ich schonmal nicht, was ich wählen muss, oder
> wie ich das rausfinden kann.
Das [mm] $\delta$ [/mm] konstruierst du dir ja durch die folgenden Abschätzungen quasi "rückwärts" und schreibst es nachher im Beweis vornean hin..
>
> |f(x) - [mm]f(x_0)|[/mm] = | [mm]x^2[/mm] - 4| ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch wohl [mm] $f(x_0)=x_0^2=4^2=16$
[/mm]
> = | x - 2| | x+2| < [mm]\delta[/mm] | x
> + 4| hier hab ich auch schon einen kleinen hänger, mir ist
> klar, dass das kleine als [mm]\delta[/mm] sein muss, denn dies folgt
> ja aus der definition. Nur woher nehmen die das | x + 4|
> .
>
> Es gilt | x + 4| = | (x-4)(x+4) | (dies folgt ja aus der
> Definition des Betrages.
Alles weitere bis hierhin ist Unfug
Also nochmal [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|x^2-4^2|=|x^2-16|=|(x+4)(x-4)|=|x+4|\cdot{}|x-4|$
[/mm]
>
> | (x-4)(x+4) | < | x - 4| + 8 < [mm]\delta[/mm] +8 und nochmal eine
> Frage, woher nehmen die in den letzten beiden Teilen das +
> 8
es ist ausgehend vom letzten Term oben: [mm] $|x+4|\cdot{}|x-4|=|x\blue{-4+4}+4|\cdot{}|x-4|\le(|x-4|+|8|)\cdot{}|x-4|=(|x-4|+8)\cdot{}|x-4|$ [/mm] nach der [mm] $\triangle$-Ungleichung
[/mm]
Wenn du also [mm] $\delta:=\min\{\red{1},\green{\frac{\varepsilon}{10}}\}$ [/mm] wählst, so gilt für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|=|x-4|<\delta$:
[/mm]
[mm] $|f(x)-f(x_0)|\le\underbrace{(|x-4|+8)}_{<\delta+8}\cdot{}\underbrace{|x-4|}_{<\delta}<(\red{1}+8)\cdot{}\green{\frac{\varepsilon}{10}}=\frac{9}{10}\varepsilon<\varepsilon$
[/mm]
Bedenke, dass, wenn [mm] $|x-x_0|<\delta=\min\{1,\frac{\varepsilon}{10}\}$ [/mm] ist, so ist [mm] $|x-x_0|<1$ [/mm] und auch [mm] $|x-x_0|<\frac{\varepsilon}{10}$
[/mm]
> und dann ist die letzte Zeile ein absolutes Rätsel fuer
> mich.
>
> |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \delta [/mm] ( [mm] \delta [/mm] +8) [mm] \le \bruch{ \varepsilon }{10}* [/mm] 9 < [mm] \varepsilon
[/mm]
> also es wäre echt super nett wenn mir jemand helfen könnte,
> denn ich hänge da zum Teil echt fest.
>
> glg penguin
LG
schachuzipus
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