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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Di 29.04.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Ich wollte nur mal kurz prüfen, ob ich (endlich) die Definition der Stetigkeit einer Funktion richtig verstanden habe.
Eine Funktion [mm] f:M\to\IC [/mm] heißt stetig in [mm] z_0\in [/mm] M, wenn zu jeder Umgebung V von [mm] f(z_0) [/mm] in [mm] \IC [/mm] eine Umgebung U von [mm] z_0 [/mm] in [mm] \IC [/mm] existiert, so dass gilt: [mm] f(U\cap [/mm] M) [mm] \subset [/mm] V
Also ich habe mir versucht, das folgendermaßen zu erklären:
Umgebungen sind ja immer sehr sehr klein, also eine Kugel um einen Punkt mit einem gegen 0 gehenden Radius.
Wenn mein Funktionswert [mm] f(z_0) [/mm] nun so eine Umgebung hat (die V heißt), dann soll auch mein abzubildender Wert [mm] z_0 [/mm] eine Umgebung (die U heißt) haben.
Darüber hinaus soll ja dann diese Bedingung gelten:
Die "Funktionsmenge" [mm] f(U\cap [/mm] M) soll Teilmenge von V sein.
Ich hab das so verstanden:
U [mm] \cap [/mm] M ist meiner Meinung nach einfach U. Weil U ist ja eine sehr sehr kleine Umgebung von [mm] z_0, [/mm] und da [mm] z_0 [/mm] in M liegt, müsste ja auch die Umgebung in M liegen, also eine Teilmenge von M sein. Und wenn ich eine Teilmenge einer Menge mit der Menge selbst schneide, müsste ja genau die Teilmenge überbleiben.
Ist das richtig? Oder kann es auch sein, dass die Umgebung aus M rausragt?
Naja, auf jeden Fall, wenn der Schnitt nun U ist, dann ist das ja die Umgebung, und das sind ja alle Punkte, die ganz ganz nah an [mm] z_0 [/mm] liegen. Und wenn ich nun alle diese Punkte abbilde, dann sollen die dazugehörigen Funktionwerte alle in der Umgebung V von [mm] f(z_0) [/mm] liegen, dass sind ja alle die Werte, die ganz ganz nah am Funktionswert [mm] f(z_0) [/mm] liegen.
Und das definiert nun stetig, weil:
Wenn ich mir das graphisch betrachte, heißt stetig ja quasi "keine Lücken". Und das heißt ja wiederrum, dass wenn ich einen Punkt auf einen Funktionswert abbilde, das ein weiterer Punkt ganz nahe dem ersten Punkt seinen Funktionwert ganz nahe bei dem ersten Funktionswert haben muss. Und genau das sagt mit doch die obige Definition, oder?
Habe ich das so richtig verstanden?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
> Umgebungen sind ja immer sehr sehr klein, also eine Kugel
> um einen Punkt mit einem gegen 0 gehenden Radius.
Naja für [mm] $z_0\in \IC$ [/mm] ist [mm] \IC [/mm] eine Umgebung, nicht unbedingt sehr klein. Umgebungen müssen auch keine Kugeln sein und gehen nirgendwo hin...
im Falle der Definition von Stetigkeit sind aber die kleinen die interessanten. zB ist die Bedingung für [mm] U=\IC [/mm] trivial...
> U [mm]\cap[/mm] M ist meiner Meinung nach einfach U. Weil U ist ja
> eine sehr sehr kleine Umgebung von [mm]z_0,[/mm]
Der Schnitt mit M ist nach obigem Argument natürlich wichtig, U könnte nun mal "zu groß" sein. Lass dich aber nicht davon stören, es ist nur zur Sicherung der Wohldefiniertheit, rein technisch.
> Ist das richtig? Oder kann es auch sein, dass die Umgebung
> aus M rausragt?
Jepp, aber wie gesagt, nicht stören lassen in der Anschauung
> Naja, auf jeden Fall, wenn der Schnitt nun U ist, dann ist
> das ja die Umgebung, und das sind ja alle Punkte, die ganz
> ganz nah an [mm]z_0[/mm] liegen.
Nicht unbedingt ganz nah, falls U nicht so ganz ganz klein ist. Da diese Bedingung aber für alle Umgebungen gefordert wird, gilt sie auch für die ganz winzigen ^^ "beliebig klein" hört sich trotzdem besser an*g*
>Und wenn ich nun alle diese Punkte
> abbilde, dann sollen die dazugehörigen Funktionwerte alle
> in der Umgebung V von [mm]f(z_0)[/mm] liegen, dass sind ja alle die
> Werte, die ganz ganz nah am Funktionswert [mm]f(z_0)[/mm] liegen.
>
> Und das definiert nun stetig, weil:
> Wenn ich mir das graphisch betrachte, heißt stetig ja
> quasi "keine Lücken". Und das heißt ja wiederrum, dass wenn
> ich einen Punkt auf einen Funktionswert abbilde, das ein
> weiterer Punkt ganz nahe dem ersten Punkt seinen
> Funktionwert ganz nahe bei dem ersten Funktionswert haben
> muss. Und genau das sagt mit doch die obige Definition,
> oder?
>
> Habe ich das so richtig verstanden?
Eigentlich schon. Ich persönlich finde folgendes einfacher (kürzer ist es auch):
Die Funktionswerte sind beliebig nah an [mm] f(z_0), [/mm] so lange ich nur nah genug an [mm] z_0 [/mm] bin (im Definitionsbereich).
Denk mal darüber nach was bei einer unstetigen Funktion hier schief geht.
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 01.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Vielen Dank für deine Antort. Da bin ich ja froh, dass ich es soweit richtig verstanden habe ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
> Eigentlich schon. Ich persönlich finde folgendes einfacher
> (kürzer ist es auch):
>
> Die Funktionswerte sind beliebig nah an [mm]f(z_0),[/mm] so lange
> ich nur nah genug an [mm]z_0[/mm] bin (im Definitionsbereich).
>
> Denk mal darüber nach was bei einer unstetigen Funktion
> hier schief geht.
Naja, die Treppenfunktion ist ja z.B. unstetig.
An einer Sprungstelle sind zwar die Werte im Definitionsbereich nahe aneinander, aber die Funktionwerte sind ja dann weit auseinander.
Das steht ja dann im Widerspruch zur Definition, oder?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Do 01.05.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Naja, die Treppenfunktion ist ja z.B. unstetig.
>
> An einer Sprungstelle sind zwar die Werte im
> Definitionsbereich nahe aneinander, aber die Funktionwerte
> sind ja dann weit auseinander.
Genau.
> Das steht ja dann im Widerspruch zur Definition, oder?
Ja. Ist [mm] z_{0} [/mm] eine Sprungstelle, dann gibt es zu keiner V um [mm] f(z_{0}), [/mm] die "kleiner als der Sprung" ist, eine U um [mm] z_{0}, [/mm] s.d. [mm] f(U)\subset [/mm] V, da U auch die "springenden" Definitionspunkte enthält.
Gruss,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Vielen Dank für eure Hilfe
LG, Nadine
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