Stetigkeit < VK 37: Kurvendiskussionen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 |
Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x^2-x-2}{x^2-1}[/mm]
Wo ist die Funktion stetig. Kann man sie an den Definitionslücken stetig fortsetzen? |
| Aufgabe 2 |
Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2+x-6}[/mm]
a) Wie verhält sich die Funktion für [mm]x \to\ +\infty[/mm] und [mm]x \to -\infty[/mm]
b) Wo ist die Funktion stetig?
c) Kann man sie an den Lücken von D (Definitionsbereich) stetig ergänzen?
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Für Erklärungen siehe den Thread Erklärung der Stetigkeit
hier
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1. [mm] f(x)=\bruch{x^2-x-2}{x^2-1}
[/mm]
Zuerst faktorisiere ich den Nenner.
Der Nenner lautet nun (x+1)(x-1).
Jetzt errechne ich mit der Mitternachtsformel [mm] x_1_2 [/mm] = [mm] \bruch{-b \pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a} [/mm] die x-Werte.
Ich erhalte : [mm] x_1= [/mm] +1, [mm] x_2=-2
[/mm]
Somit lautet der Zähler der Gleichung: (x+1)(x-2) und die Gleichung lautet:
[mm] \bruch{(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-1)} [/mm] wie man sieht, kann man durch den Faktor (x+1) kürzen.
Es bleibt [mm] \bruch{x-2}{x-1}
[/mm]
In Zähler und Nenner sind die Funktionen stetig, da beide Geraden sind. Der Zähler weist für x=2 auf eine Nullstelle hin (die gerade y=x-2 geht durch den [mm] P_0 [/mm] (2|0) und hat die Steigung a=1.
Die im Nenner stehende Geradenfunktion hat den Wert 0 bei [mm] x_0=1
[/mm]
Da man nicht durch 0 teilen kann, ist die Gesamtfunktion nicht definiert für [mm] x_0 [/mm] =1.
Ist [mm] x_0 [/mm] eine Polstelle oder eine Definitionslücke ?
Kurzer Weg:
[mm] x_0=1 [/mm] ist eine NST (Nullstelle) für den Nenner, aber nicht für den Zähler, damit ist es eine Polstelle.
mathematischer Weg:
f(1+h)= [mm] \bruch{(1+h)-2}{(1+h)-1}
[/mm]
Grenzwert für die Stelle [mm] x_0=1
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(1+h)-2}{(1+h)-1}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h-1}{h} [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{h}
[/mm]
für den anderesseitigen Grenzwert kommt heraus: [mm] 1+\bruch{1}{h}
[/mm]
Antwort zu Frage a)
für x [mm] \to \infty [/mm] und x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty:
[/mm]
Die y-Werte nähern sich dem Grenzwert 1 (Gerade mit der Formel y=1). Dies müsste eine waagerechte Asymptote sein, für die gelten muss:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}|f(x)-a(x)|=0
[/mm]
a(x) ist die Asymptote , die Gerade y=1. Erklären kann man diesen Wert auch, indem man in der Funktion [mm] y=\bruch{x-2}{x-1} [/mm] die Werte - und -1 vernachlässigt und für große x-Werte [mm] \bruch{x}{x}=1 [/mm] erhält.
Bei den Antworten zu Frage b) und c) weiß ich nicht weiter !
Ist die Funktion nun stetig oder nicht ? Ist bei [mm] x_0=1 [/mm] eine Definitionslücke ? Wenn man f(1) eingibt, kommt [mm] \pm \infty [/mm] heraus...
2. [mm] f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2+x-6}
[/mm]
Ich faktorisiere Zähler und Nenner:
Nach der Mitternachtsformel ergeben sich ffür den Zähler: [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-2, [/mm] für den Nenner [mm] x_3=2 [/mm] und [mm] x_4=-3
[/mm]
somit heißt die Funktion nun:
f(x)= [mm] \bruch{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}
[/mm]
man kann durch (x-2) kürzen und erhält:
f(x)= [mm] \bruch{x-1}{x+3}
[/mm]
Wie in der ersten Aufgabe sind die Funktionen in Zähler und nenner Geraden, stetig und abgeschlossen.
Wenn der Nenner 0 ist, ist die Funktion für [mm] x_0=-3 [/mm] nicht definiert.
Der Definitionsbereich ist damit x [mm] \in \IR [/mm] \ (-3) (x Element von [mm] \IR [/mm] , außer -3)
Ist bei [mm] x_0=-3 [/mm] eine Polstelle oder eine Definitionslücke ?
Auch hier ist [mm] x_0=-3 [/mm] eine NST für den Nenner, aber nicht für den Zähler, damit ist es eine Polstelle.
Bei der Berechnung des Grenzwertes an der Stelle [mm] x_0=-3 [/mm] habe ich für den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert [mm] \bruch{4}{6}, [/mm] also [mm] \bruch{2}{3} [/mm] heraus !
Damit dürfte es keine Lücke sein, die man beheben könnte.
Hier meine Rechnung zum Grenzwert:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(-3+h)-1}{(-3+h)-3}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h-4}{h-6}=\bruch{4}{6}=\bruch{2}{3}
[/mm]
für den andersseitigen Grenzwert bekomme ich dieses Ergebnis auch heraus.
Auch hier weiß ich nicht weiter...Ist die Funktion bis auf [mm] x_0=-3 [/mm] stetig ? Gibt es eine Definitionslücke ?
Antwort zu a) wie bei Aufgabe 1 gilt für x [mm] \to \infty [/mm] und x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty:
[/mm]
Die y-Werte nähern sich dem Grenzwert 1 (Gerade mit der Formel y=1). Dies müsste eine waagerechte Asymptote sein, für die gelten muss:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}|f(x)-a(x)|=0
[/mm]
a(x) ist die Asymptote , die Gerade y=1. Erklären kann man diesen Wert auch, indem man in der Funktion [mm] y=\bruch{x-1}{x+3} [/mm] die Werte -1 und +3 vernachlässigt und für große x-Werte [mm] \bruch{x}{x}=1 [/mm] erhält.
Antwort zu b)
Die Funktion ist stetig, da sie für die Polstelle [mm] x_0=-3 [/mm] nicht definiert ist.
Definitionsbereich: x [mm] \in \IR [/mm] \ (-3)
Anmerkung: Habe mit dem Stetigkeitsbegriff doch erhebliche Probleme (üben, üben und immer wieder üben...sage ich mir) Für heute reicht´s aber auch erstmal mit dem Rechnen...
Schachschorsch
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Dein Eifer ist bemerkenswert hihi, wirklich...da die Antwort sehr lang ist, wird meine auch nicht gerade kurz ausfallen, also nimm dir viel Zeit. Machst das mit den Formeln inzwischen super ;)
Noch eine Anmerkung: Alle diese Funktionen sind stetig! Das solltet ihr langsam wissen ;) Stetig ist sie nur dann nicht bei so einfachen Funktionen, wenn ein Sprung vorliegt und dass passiert eigentlich nur bei zusammengesetzten FUnktionen, die wir noch gar nicht untersucht haben! Hier steht zwar immer "Untersuche auf Stetigkeit", aber wie ich schon bei den anderen gesagt habe, geht es eher um Definitionslücken und wo Lücke, da keine Stetigkeit, weil da auch gar keine Funktion definiert ;) Ist also ein wenig fies, aber Stetig bedeutet "es muss im Grunde mit einem Mal zeichenbar sein" und das sind all diese Funktionen. Man kann es sich auch so merken: gebrochenrationale Funktionen sind eine Verknüpfung zweier Funktionen, einer ganzrationalen Funktion im Nenner und einer im Zähler. Da ganzrationale Funktionen immer in sich stetig sein ist auch ein Bruch zweier ganzrationaler Funktionen stetig, nun aber ins Detail.
Ich weiß nicht so ganz, was du bei der 1 mit a und b meinst...nur bei Aufgabe 2 gibt es a-c, da hast du dich wohl etwas vertan aber macht nix
> 1. [mm]f(x)=\bruch{x^2-x-2}{x^2-1}[/mm]
>
> Zuerst faktorisiere ich den Nenner.
> Der Nenner lautet nun (x+1)(x-1).
>
> Jetzt errechne ich mit der Mitternachtsformel [mm]x_1_2[/mm] =
> [mm]\bruch{-b \pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a}[/mm] die x-Werte.
>
> Ich erhalte : [mm]x_1=[/mm] +1, [mm]x_2=-2[/mm]
>
> Somit lautet der Zähler der Gleichung: (x+1)(x-2) und die
> Gleichung lautet:
>
> [mm]\bruch{(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-1)}[/mm] wie man sieht, kann man
> durch den Faktor (x+1) kürzen.
>
> Es bleibt [mm]\bruch{x-2}{x-1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") sehr schön, wäre auch einfacher gegangen, aber das ist sehr ausführlich so! Ds bedeutet aber auch gleich, dass der Wert x=-1 eine Definitionslücke ist, also ist die Funktion stetig behebbar! Daran denken für später :) Wenn man einen Faktor aus Nenner und Zähler kürzen kann => Lücke
>
> In Zähler und Nenner sind die Funktionen stetig, da beide
> Geraden sind. Der Zähler weist für x=2 auf eine Nullstelle
> hin (die gerade y=x-2 geht durch den [mm]P_0[/mm] (2|0) und hat die
> Steigung a=1.
Ich weiß gar nicht, warum du das untersuchst? Du brauchst den Zähler nicht weiter zu betrachten, erst recht nicht die Steigung der Geraden, dass es eine Gerade ist, sehe ich ja und du hoffentlich auch :) Also wenn du das nur für dich mit aufschreibst, gerne doch aber für die Aufgabe machst du dir sehr viel Mühe...wichtig sind immer nur die NST des Nenners, und die liegt bei [mm] \pm [/mm] 1
>
> Die im Nenner stehende Geradenfunktion hat den Wert 0 bei
> [mm]x_0=1[/mm]
>
> Da man nicht durch 0 teilen kann, ist die Gesamtfunktion
> nicht definiert für [mm]x_0[/mm] =1.
>
Vergiss aber hier nicht die Definitionslücke durch die du geteilt hast! Also du hast durch den Faktor (x+1) geteilt, also ist auch das eine NST der Gesamtfunktion, womit D= x [mm] \in \IR [/mm] \ {-1,1} gilt
> Ist [mm]x_0[/mm] eine Polstelle oder eine Definitionslücke ?
>
> Kurzer Weg:
>
> [mm]x_0=1[/mm] ist eine NST (Nullstelle) für den Nenner, aber nicht
> für den Zähler, damit ist es eine Polstelle.
>
> mathematischer Weg:
>
> f(1+h)= [mm]\bruch{(1+h)-2}{(1+h)-1}[/mm]
>
> Grenzwert für die Stelle [mm]x_0=1[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(1+h)-2}{(1+h)-1}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h-1}{h}[/mm]
> = [mm]1-\bruch{1}{h}[/mm]
>
> für den anderesseitigen Grenzwert kommt heraus:
> [mm]1+\bruch{1}{h}[/mm]
>
> Antwort zu Frage a)
>
Ach jetzt verstehe ich, du dachtest a-c gilt für beide Aufgaben? Entschuldige, eigentlich nur für Aufgabe 2, aber es kann nicht schaden XD
> für x [mm]\to \infty[/mm] und x [mm]\to[/mm] - [mm]\infty:[/mm]
>
> Die y-Werte nähern sich dem Grenzwert 1 (Gerade mit der
> Formel y=1). Dies müsste eine waagerechte Asymptote sein,
> für die gelten muss:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}|f(x)-a(x)|=0[/mm]
>
> a(x) ist die Asymptote , die Gerade y=1. Erklären kann man
> diesen Wert auch, indem man in der Funktion
> [mm]y=\bruch{x-2}{x-1}[/mm] die Werte - und -1 vernachlässigt und
> für große x-Werte [mm]\bruch{x}{x}=1[/mm] erhält.
wobei [mm] \bruch{1-\bruch{2}{x}}{1-\bruch{1}{x}} [/mm] noch schöner gewesen wäre :)
>
>
> Bei den Antworten zu Frage b) und c) weiß ich nicht weiter
> !
>
> Ist die Funktion nun stetig oder nicht ? Ist bei [mm]x_0=1[/mm] eine
Nun nähern wir uns dem Knackpunkt des Ganzen. Hier noch einmal, natürlich ist sie stetig, denn für alle x-Werte existiert der eindeutige Grenzwert. Nur nicht für eine NST des Nenners, nämlich, wie du gezeigt hast, für [mm] x_0=1, [/mm] aber dafür ist die Funktion auch nicht definiert! Alle Funktionen sind hier stetig, wenn sie nicht zusammengesetzt sind (und das heißt nicht etwa, ein Bruch, sondern sie sind für verschiedene Bereiche anders definiert, siehe Beispiel in meiner Erklärung)
> Definitionslücke ? Wenn man f(1) eingibt, kommt [mm]\pm \infty[/mm]
> heraus...
Wie schon gesagt, handelt es sich um eine Definitionslücke bei x=-1. Wenn es eine Lücke ist, muss ein links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren. Hier reicht der mathematische Beweis, dass Nenner und Zähler durch (x+1) teilbar sind, denn das heißt ja, dass (x+1) eine NST für Zähler und Nenner ist, also beide Funktionen quasi den Wert gemeinsam haben. Dennoch der Grenzwert:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(-1+h)^2-(-1+h)-2}{(-1+h)^2-1}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1-2h+h^2+1-h-2}{1-2h+h^2-1}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h^2-3h}{h^2-2h}=\bruch{3}{2} [/mm] $
für den rechtsseitigen Grenzwert gilt analog:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(-1-h)^2-(-1-h)-2}{(-1-h)^2-1}=\bruch{3}{2} [/mm] $
Es existiert für x=-1 ein eindeutiger Grenzwert, also kann man die Lücke stetig beheben:
$ [mm] f\*(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \mbox{ ungleich -1} \\ \bruch{3}{2}, & \mbox{für } x \mbox{ =-1} \end{cases} [/mm] $
Diese neue Funktion ist nichts anderes als die Funktion [mm] y=\bruch{x-2}{x-1}, [/mm] nur eben mit der Ausgangsfunktion. Diese Funktion, also [mm] f\*, [/mm] ist STETIG in x=-1, weil sie extra definiert wurde. Die Ausgangsfunktion war auch stetig, war aber für x=-1 gar nicht definiert.
Wir fassen zusammen:
Ausgangsfunktion f(x) ist stetig in ganz D, besitzt zwei Definitionslücken bei [mm] x_0=-1 [/mm] und [mm] x_1=1. [/mm] Davon ist [mm] x_0 [/mm] eine behebbare Lücke und [mm] x_1 [/mm] eine waagrechte Asymptote mit Vorzeichenwechsel. Der Definitionsbereich ist [mm] \IR [/mm] außer {-1,1}
>
> 2. [mm]f(x)=\bruch{x^2-3x+2}{x^2+x-6}[/mm]
>
> Ich faktorisiere Zähler und Nenner:
>
> Nach der Mitternachtsformel ergeben sich ffür den Zähler:
> [mm]x_1=1[/mm] und [mm]x_2=-2,[/mm] für den Nenner [mm]x_3=2[/mm] und [mm]x_4=-3[/mm]
>
> somit heißt die Funktion nun:
>
> f(x)= [mm]\bruch{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+3)}[/mm]
>
> man kann durch (x-2) kürzen und erhält:
>
> f(x)= [mm]\bruch{x-1}{x+3}[/mm]
was sofort wieder heißt, der gekürzte Term ist IMMER eine behebbare Definitionslücke, ja? :) Also [mm] x_0=2 [/mm] ist eine Definitionslücke und zwar behhebbar
>
> Wie in der ersten Aufgabe sind die Funktionen in Zähler und
> nenner Geraden, stetig und abgeschlossen.
>
> Wenn der Nenner 0 ist, ist die Funktion für [mm]x_0=-3[/mm] nicht
> definiert.
> Der Definitionsbereich ist damit x [mm]\in \IR[/mm] \ (-3) (x
> Element von [mm]\IR[/mm] , außer -3)
>
> Ist bei [mm]x_0=-3[/mm] eine Polstelle oder eine Definitionslücke ?
>
> Auch hier ist [mm]x_0=-3[/mm] eine NST für den Nenner, aber nicht
> für den Zähler, damit ist es eine Polstelle.
ACHTUNG! Du sagst selbst, es ist keine NST des Zählers, damit kann [mm] x_0=-3 [/mm] KEINE DEFINITIONSLÜCKE SEIN, die behebbar ist, sondern es muss eine Polstelle sein, ok?
>
> Bei der Berechnung des Grenzwertes an der Stelle [mm]x_0=-3[/mm]
> habe ich für den rechtsseitigen und den linksseitigen
> Grenzwert [mm]\bruch{4}{6},[/mm] also [mm]\bruch{2}{3}[/mm] heraus !
kann nicht sein, s. o. hier die Korrekturrechnung:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-3+h-1}{-3+h+3}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h-4}{h} [/mm] $
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-3-h-1}{-3-h+3}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-h-4}{-h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h+4}{h} [/mm] $
Augenscheinlich nicht der gleiche Grenzwert :) Die Mühe kannst du dir aber in Zukunft sparen, wenn du siehst, dass es keine NST des Zählers ist, das reicht uns als Kriterium!
>
> Damit dürfte es keine Lücke sein, die man beheben könnte.
>
> Hier meine Rechnung zum Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(-3+h)-1}{(-3+h)-3}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h-4}{h-6}=\bruch{4}{6}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> für den andersseitigen Grenzwert bekomme ich dieses
> Ergebnis auch heraus.
wenn dem so wäre, wäre es eine behebbare Lücke, aber das haben wir ja schon geklärt
>
> Auch hier weiß ich nicht weiter...Ist die Funktion bis auf
> [mm]x_0=-3[/mm] stetig ? Gibt es eine Definitionslücke ?
Du vergisst immer deine erste Lösung, also hier [mm] x_0=2, [/mm] der Faktor, durch den du geteilt hast am Anfang. Das ist auch immer eine Definitionslücke bzw NST des Nenners.
Ja, die Funktion ist bis auf die beiden Def-Lücken {-3,2} stetig und ja, es gibt zwei Def-Lücken, wobei die eine eine stetig behhebbare ist [mm] (x_0=2) [/mm] und die andere eine Polstelle [mm] (x_1=-3). [/mm] Für die behhebbare kann man eine neue Funktion schreiben.
>
> Antwort zu a) wie bei Aufgabe 1 gilt für x [mm]\to \infty[/mm] und x
> [mm]\to[/mm] - [mm]\infty:[/mm]
>
> Die y-Werte nähern sich dem Grenzwert 1 (Gerade mit der
> Formel y=1). Dies müsste eine waagerechte Asymptote sein,
> für die gelten muss:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}|f(x)-a(x)|=0[/mm]
>
> a(x) ist die Asymptote , die Gerade y=1. Erklären kann man
> diesen Wert auch, indem man in der Funktion
> [mm]y=\bruch{x-1}{x+3}[/mm] die Werte -1 und +3 vernachlässigt und
> für große x-Werte [mm]\bruch{x}{x}=1[/mm] erhält.
>
> Antwort zu b)
>
> Die Funktion ist stetig, da sie für die Polstelle [mm]x_0=-3[/mm]
> nicht definiert ist.
und auch nicht für die behebbare Lücke 2
>
> Definitionsbereich: x [mm]\in \IR[/mm] \ (-3)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und 2 ^^
>
> Anmerkung: Habe mit dem Stetigkeitsbegriff doch erhebliche
> Probleme (üben, üben und immer wieder üben...sage ich mir)
> Für heute reicht´s aber auch erstmal mit dem Rechnen...
> Schachschorsch
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Dafür bin ich da
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