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Hallo zusammen. Ich habe mal eine kurze und schnelle Frage zu zwei Funktionen:
Die erste lautet: [mm] f(x)=\begin{cases} sin\bruch{1}{x} & \mbox{} ,x \not= 0 \mbox{} \\ 0 & \mbox{} ,x = 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Die zweite lautet: [mm] f(x)=\begin{cases} x^2sin\bruch{1}{x} & \mbox{} ,x \not= 0 \mbox{} \\ 0 & \mbox{} ,x = 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ich würde nun folgendermaßen an die erste Funktion herangehen. Ich untersuche [mm] sin\bruch{1}{x} [/mm] und erkenne, dass [mm] \bruch{1}{x} [/mm] nach unendlich wächst. Da der Sinus ja beschränkt ist durch 1 und -1 (das sind die kleinsten oberen Schranken), heißt das, dass der Sinus durch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] alle Werte zwischen 1 und -1 unendlich oft annimmt. Somit ist die erste Funktion nicht stetig.
an die zweite würde ich soweit genauso rangehen. Allerdings würde ich nun zusätzlich mit dem Einschließkriterium argumentieren.
Das lautet folgendermaßen:
Seien [mm] a_n, b_n, c_n [/mm] Folgen reeller Zahlen mit [mm] a_n \le b_n \le c_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Falls die Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergieren und den gleichen Grenzwert a haben, so konvergeirt auch die Folge [mm] b_n [/mm] und ihr Grenzwert ist dann ebenfalls a.
Heißt für uns, dass ja wie schon gesagt, der Sinus beschränkt ist durch 1 und -1. [mm] \Rightarrow [/mm] -1 [mm] \le sin\bruch{1}{x} \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] -x [mm] \le xsin\bruch{1}{x} \le [/mm] x. Beide aüßeren Terme konvergieren für x [mm] \rightarrow [/mm] 0 gegen 0. und somit auch [mm] xsin\bruch{1}{x}.
[/mm]
Wäre das vorgehen soweit in Ordnung oder muss ich irgendwoe noch Sachen verbessern???
MFG domenigge135
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Hallo domenigge!
> Ich würde nun folgendermaßen an die erste Funktion
> herangehen. Ich untersuche [mm]sin\bruch{1}{x}[/mm] und erkenne,
> dass [mm]\bruch{1}{x}[/mm] nach unendlich wächst. Da der Sinus ja
> beschränkt ist durch 1 und -1 (das sind die kleinsten
> oberen Schranken), heißt das, dass der Sinus durch
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] alle Werte zwischen 1 und -1 unendlich oft
> annimmt. Somit ist die erste Funktion nicht stetig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Heißt für uns, dass ja wie schon gesagt, der Sinus
> beschränkt ist durch 1 und -1. [mm]\Rightarrow[/mm] -1 [mm]\le sin\bruch{1}{x} \le[/mm]
> 1 [mm]\Rightarrow[/mm] -x [mm]\le xsin\bruch{1}{x} \le[/mm] x. Beide aüßeren
> Terme konvergieren für x [mm]\rightarrow[/mm] 0 gegen 0. und somit
> auch [mm]xsin\bruch{1}{x}.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du musst die Ungleichheitskette schon mit [mm] $x^{\red{2}} [/mm] \ > \ 0$ multiplizieren.
Ansonsten erscheint mir die Argumentation schlüssig.
Gruß vom
Roadrunner
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Ja stimmt. Sorry hatte nicht mehr geguckt, wie die Funktion hieß. Dachte die hieße [mm] xsin\bruch{1}{x}. [/mm] also hast du natürlich recht.
Aber im Prinzip kann ich das doch auf beide anwenden oder??? Also sowohl auf [mm] xsin\bruch{1}{x}, [/mm] also auch auf [mm] x^2sin\bruch{1}{x}
[/mm]
MFG domenigge135
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Hallo domenigge!
Bei der Funktion $f(x) \ = \ [mm] x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)$ [/mm] musst Du aber eine Fallunterscheidung machen, wenn Du die Ungleichheitskette mit $x_$ multiplizierst, da sich bei negativem $x_$ das Ungleichheitszeichen umkehrt.
Das Ergebnis ist dann aber dasselbe ...
Gruß vom
Roadrunner
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Okay heißt im Prinzip ich schreibe dann -|x| [mm] \le xsin\bruch{1}{x} \le [/mm] |x| oder???
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Hallo domenigge!
Wie kommst Du darauf? Schließlich hast Du nun in der Bitte keine Betragsstriche.
Wie gesagt: Du wirst um die Fallunterscheidung nicht drumkommen.
$$(1) \ \ x \ < \ 0 \ \ \ : \ \ \ -x \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ +x$$
$$(2) \ \ x \ > \ 0 \ \ \ : \ \ \ -x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +x$$
Gruß vom
Roadrunner
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